전체 함수

복합해석에서는 적분함수라고도 하는 전체함수는 전체 복합평면에서 홀로모르픽인 복합치함수다. 전체 함수의 대표적인 예로는 다항식 및 지수함수, 그리고 삼각함수 사인 및 코사인, 쌍곡선 함수 sinh 및 cosh와 같은 이것들의 유한한 합계, 제품 및 구성, 오류함수와 같은 전체 함수의 파생 및 통합 등이 있다. 전체 함수 $f (z)$ 가 $w$ 에 루트를 갖는 경우, $w$ 에서 한계값을 취하는 $f (z) /$ ( $z$ - w)는 전체 함수다. 반면에 자연 로그나 제곱근은 전체 함수가 아니며, 전체 함수에 대해 분석적으로 계속할 수도 없다.

초월 전체 함수는 다항식이 아닌 전체 함수다.

특성.

모든 기능 $f (z)$ 는 파워 시리즈로 표현될 수 있다.

f(z)=\sum _{n=0}^{\n={n}^{n}a_{n}z^{n}}}}}

복잡한 평면의 모든 곳에 모여, 따라서 균일하게 콤팩트 세트로 모여든다. 수렴 반경은 무한하다, 라는 것을 암시한다.

\lim _{n\to \inflt } a_{n} ^{\frac {1}{n}=0

또는

\lim _{n\to \flt }{\frac {\ln a_{n}}{n}}{n}=-\flt .

이 기준을 만족하는 모든 파워 시리즈는 전체 기능을 나타낼 것이다.

만일 (그리고 만약) 권력 시리즈의 계수가 모두 진짜라면, 함수는 분명히 실제 인수에 대한 실제 값을 취하며, $z$ 의 복잡한 결합에서 함수 값은 $z$ 에서의 값의 복잡한 결합이 될 것이다. 그러한 기능을 셀프 콘주게이트(접합 함수 $F^{*}(z)$ $F^{*}(z)$ ( $){\displaystyle F^{*}(z)})$ 라고 부르기도 하는데 $F^{*}(z)$ ${\bar {F}}({\bar {z}})$ 의 ${\bar {F}}({\bar {z}})$ ${\displaystyle {\f}({\bar {z})})$ 가 이 기능을 부여한다. ${\bar {F}}({\bar {z}})$ ^[1]

만약 전체 함수의 실제 부분이 점의 근방에서 알려져 있다면, 실제 부분과 가상 부분 모두 전체 복잡한 평면에 대해 상수까지 알려져 있다. 예를 들어, 실제 부품이 0의 근방에서 알려진 경우, 실제 변수 r과 관련하여 다음과 같은 파생 모델에서 n > 0에 대한 계수를 찾을 수 있다.

{\begin{aigned}\operatorname {Re} a_{n}&={\frac {1}{n!}}{{\frac{d^{n}}{dr^{n}}\operatorname {Re} f(r)&{\text{at }r=0\\\\operatorname {Im} a_{n}&={\frac {1}{n!}}{{\frac{d^{n}}}{dr^{n}}\operatorname {Re} f\left(re^{-{\frac {i\pi }}{2n}\right)&{\text}{}r=0\ended}}}}}}}}}}}}}}

(현지어와 마찬가지로 상상의 부분이 이웃에 알려지면 그 기능은 실제 상수까지 결정된다.) 실제로 실제 부분이 원의 호로만 알려져 있으면 함수는 가상 상수까지 결정된다.(예를 들어 실제 부분이 단위 원의 일부에 알려져 있으면 분석적 확장에 의해 전체 단위 원 위에 알려져 있고, 무한 계열의 계수는 th의 계수로 결정된다.e 단위 원의 실제 부품에 대한 푸리에 시리즈). 그러나 전체 함수는 모든 곡선의 실제 부분에 의해 결정되지 않는다는 점에 유의하십시오. 특히, 일부 다른 전체 함수의 실제 부분이 0인 복잡한 평면의 곡선에 실제 부품이 주어진다면, 그 함수의 어떤 배수라도 우리가 결정하려고 하는 함수에 추가될 수 있다. 예를 들어, 실제 부분이 알려진 곡선이 실제 선이라면, i 곱하기 자가 콘주게이트 함수를 추가할 수 있다. 곡선이 루프를 형성하면, 곡선에서 실제 부분이 0인 유일한 함수는 모든 곳에 있는 어떤 상상의 숫자와 동일한 함수들이기 때문에, 그것은 루프에 있는 함수의 실제 부분에 의해 결정된다.

위어스트라스 인자화 정리는 모든 기능이 0(또는 "뿌리")을 포함하는 제품으로 표현될 수 있다고 주장한다.

복합 평면의 전체 기능은 일체형 도메인(사실상 프뤼퍼 도메인)을 형성한다. 그들은 또한 복잡한 숫자에 대해 상호교합적인 결합 대수학을 형성한다.

리우빌의 정리에는 어떤 경계된 전체 함수가 일정해야 한다고 명시되어 있다. 리우빌의 정리는 대수의 기본 정리를 우아하게 증명하는 데 사용될 수도 있다.

리우빌의 정리 결과, 리만 전체 구체(복잡한 평면과 무한대의 점)에 있는 어떤 기능도 일정하다. 따라서 모든 비정규적 전체 함수는 다항식용 극 또는 초월적 전체 함수에 대한 필수 특이점 중 하나인 무한대의 복잡한 지점에서 특이점을 가져야 한다. 구체적으로, 카소라티-에 의해-Weierstrass 정리, 어떤 초월적 전체 함수 $f$ 와 어떤 복잡한 $w$ 에 대해서도, $(z_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ $(z_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ $(z_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ ) $(z_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ $(z_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ N ${\$ 이 있다 $(z_{m})_{m\in \mathbb {N} }$ .

\lim _{m\to \ft}z_{m} =\inflt,\qquad {\text{and}}\qquad \lim_{m}=w.

피카르의 작은 정리는 훨씬 더 강력한 결과물이다: 모든 비정규적인 전체 함수는 모든 복잡한 숫자를 하나의 예외로 할 수 있는 값이다. 예외가 존재하면 함수의 열문 값이라고 한다. 열문 값의 가능성은 지수함수에 의해 설명되며, 지수함수는 절대 0 값을 차지하지 않는다. 0을 결코 치지 않는 전체 함수의 로그의 적절한 분기를 취하여 이것 역시 전체 함수가 될 수 있다(Weierstrass 인자화 정리에 따라). 로그는 하나의 숫자를 제외한 모든 복잡한 숫자에 도달하는데, 이는 첫 번째 함수가 0 이외의 값을 무한정 여러 번 타격한다는 것을 의미한다. 마찬가지로 특정 값을 치지 않는 일정하지 않은 전체 함수는 다른 모든 값에 무한히 많은 횟수를 치게 된다.

리우빌의 정리는 다음과 같은 진술의 특별한 경우다.

정리 — $M$ , $R$ 은 양의 상수, $n$ 은 음이 아닌 정수라고 가정한다. $|z|\geq R,$ $|z|\geq R,$ $|z|\geq R,$ , ${\displaystyle$ z $\geq R,}$ 이(가) 있는 모든 $z$ 에 대해 $|f(z)|\leq M|z|^{n}$ 불평등 $|f(z)|\leq M|z|^{n}$ ( $|f(z)|\leq M|z|^{n}$ ) $|f(z)|\leq M|z|^{n}$ $|f(z)|\leq M|z|^{n}$ $|f(z)|\leq M|z|^{n}$ ${\$ f $(z) \leq$ z $^{n}}}}}$ 을(를) $만족$ 하는 전체 함수는 최대 $n$ 의 다항식이어야 $|z|\geq R,$ 한다.^[2] 마찬가지로, $|z|\geq R,$ r $|z|\geq R,$ , $|z|\geq R,$ $M|z|^{n}\leq |f(z)|$ $displaystyle$ $z ^{n}\$ $leq$ $f($ $z)}$ 의 모든 $z$ 에 대해 $M|z|^{n}\leq |f(z)|$ 불평등 $M|z|^{n}\leq |f(z)|$ $z$ n $M|z|^{n}\leq |f(z)|$ f $M|z|^{n}\leq |f(z)|$ 를 $만족$ 하는 전체 함수는 최소한 $|z|\geq R,$ $n$ 의 다항식이다.

성장

전체 함수는 증가함수만큼 빠르게 증가할 수 있다: 증가함수 $g : [0,$ 196] $\to$ $[$ 0,196 $]$ 에 대해 $f (x)$ > $g (x$ ) 모든 실제 $x$ 에 대해 전체 함수 $f$ 가 존재한다. 이러한 함수 $f$ 는 형식에서 쉽게 찾을 수 있다.

f(z)=c+\sum _{k=1}^{\inflit }\frac {z}{k}}\오른쪽)^{n_{k}}

상수 c $및$ 엄격히 증가하는 양의 정수 $n k$ . 그러한 시퀀스도 하고, 힘 선택된다 적절하게 우리는 불평등 f())을을 만족시킬 수도 있고 모든 실수인데(만약 한 c를 선택하는 예를 들면,:=g(2보유하고 있)에 g())고, 어떤 정수 k1{\displaystyle k\geq 1}들은 심지어 지수 nk{\displaystyle n_{k}}을 선택한 tha ≥ 온전한 함수 f(z)을 정의합니다.t ${\displaystyle \left({\frac {k+1}{k}\오른쪽)$ $^{n_{k}}\geq$ g $(k+2$ )} $\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)$ ). $\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)$

순서 및 종류

전체 $f(z)$ $f(z)$ ( z $f(z)$ ) $f(z)$ 의 순서(무한도)는 상위의 한계를 사용하여 다음과 같이 정의된다 $f(z)$ .

\rho =\limsup _{r\to \fln }{\frac {\ln \left(\ln\\\f\{\inflty,B_{r}\right)}{\ln r},},

여기서 $B$ 는_r 반경 $r$ 과 $\|f\|_{\infty ,B_{r}}$ f $\|f\|_{\infty ,B_{r}}$ 의 디스크로 $\|f\|_{\infty ,B_{r}}$ $\|f\|_{\infty ,B_{r}}$ $\|f\|_{\infty ,B_{r}}$ {\ $displaystyle$ \ $f\ _{\infit$ , $B_{r}}$ 는 $\|f\|_{\infty ,B_{r}}$ $B$ 에_r $f(z)$ $f(z)$ ( z ) ${\displaystyle$ f( $z)}$ 의 우월적 규범을 나타낸다. 순서는 음수가 아닌 실수 또는 무한대(모든 $z$ 에 $f(z)=0$ f $f(z)=0$ ( $f(z)=0$ ) $f(z)=0$ = 0 $f(z)=0$ 인 경우는 제외)이다. 즉 $f(z)$ ( $f(z)$ ) $f(z)$ 의 순서는 다음과 같은 모든 $m$ 의 최소값이다 $f(z)$ .

[\displaystyle f(z)=]O\reft(\exp \left(z ^{m}\right)\right),\quad {\text{}as }z\to \inflt.}

$f$ $f(z)=\exp(2z^{2})$ ( $f(z)=\exp(2z^{2})$ ) $f(z)=\exp(2z^{2})$ = $f(z)=\exp(2z^{2})$ $f(z)=\exp(2z^{2})$ $f(z)=\exp(2z^{2})$ $f(z)=\exp(2z^{2})$ 2 $f(z)=\exp(2z^{2})$ ) ${\displaystyle f(z)=\exp(2z$ $^{$ $2}}$ 의 예제를 보면 $f(z)$ ( $)$ 가 $f(z)$ m 순서인 경우 f( $z$ ) = O( exp)를 의미하지 않는다는 것을 $f(z)=\exp(2z^{2})$ 알 수 있다.

$0<\rho <\infty ,$ < $0<\rho <\infty ,$ < $0<\rho <\infty ,$ , ${\displaystyle 0<\rho <\inforty ,})$ 의 경우, 다음과 $0<\rho <\infty ,$ 같은 유형도 정의할 수 있다.

\sigma =\limsup _{r\flac {\ln\f\_{\f\}{r}{r^{\rho}}}}.

순서가 1이고 유형이 $is이면$ 함수는 "지수형 $σ$ "이라고 한다. 1보다 작은 순서는 지수형 0이라고 한다.

만약

f(z)=\sum _{n=0}^{\n={n}^{n}a_{n}z^{n}}}}}

그 다음 순서와 유형은 공식으로 찾을 수 있다.

{\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{-\ln  a_{n} }}\\[6pt](e\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=\limsup _{n\to \infty }n^{\frac {1}{\rho }} a_{n} ^{\frac {1}{n}}\end{aligned}}

$f^{(n)}$ ( $){\$ 는 $f$ 의 n번째 파생상품을 나타내도록 하고 $f^{(n)}$ , 그러면 임의의 지점 $z$ 에서₀ 파생상품의 관점에서 이러한 공식들을 다시 설명할 수 있다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\rho&=\limsup _ᆱᆲᆳ(z_{0})}}=\left(1-\limsup_{n\to}\infty{\frac{\ln f^{(n)}(z_{0})}{nn\ln}}\right)^ᆵ\\[6pt](\rho \sigma)^{\frac{1}{\rho}}&=e^{1-{\frac{1}{\rho}}}\limsup _ᆺᆻ(z_{0})^{\frac{1}{n}}}{n^{1-{\frac{1}{\rho}}}.}}\end{ligned}}}

형식은 역수 감마 함수의 경우와 같이 무한할 수 있으며, 0일 수 있다(§ 순서 1에 따른 아래의 예 참조).

예

다음은 다양한 주문의 몇 가지 기능 예시들이다.

주문 ρ

임의의 양수 $ρ$ 과 $σ$ 의 경우, 순서 $ρ$ 의 전체 함수의 예를 구성하고 다음을 사용하여 $σ$ 을 입력할 수 있다.

f(z)=\sum _{n=1}^{n1}\flatty }\frac {e\rho\rho \{n}\right)^{\frac {n}{\rho}{}z^{n}}}}}}

주문 0

0이 아닌 다항식
$\sum _{n=0}^{\infit }2^{-n^{2}}z^{n}}}}}$

주문 1/4

f({\sqrt[{4}]{z}}

어디에

f(u)=\cos(u)+\cosh(u)

주문 1/3

f({\sqrt[{3}]{z}}

어디에

f(u)=e^{u}+e^{\omega u}+e^{\omega ^{2}u}=e^{u}+2e^{-{\frac {u}{2}}}\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}u}{2}}\right),\quad {\text{with }}\omega {\text{ a complex cube root of 1}}.

주문 1/2

\cos \left(a{\sqrt {z}\오른쪽)

≠ 0(형식이 σ = a)으로 주어지는 경우

주문 1

$exp(az)$ 은 0 $($ $xp$ = a )이다.
$죄(z)$
$cosh(z)$
베셀 $함수 0$ J $(z)$ ^{[citation needed]}
역수 감마함수 $1/NV(z)$ ( $수치$ 는 무한)
$\sum _{n=2}^{\inflt }{\frac {z^{n}}{{(n\ln)^{n}}}}.\cHB(\filma =0)$

주문 3/2

에어리 함수 $아이(z)$

주문2길

$exp(az 2)$ 은 0 $($ $xp$ = a )이다.
반스 G-함수(σσ는 무한함).

오더 인피니티

$exp(z)$

속

유한 질서의 전체 기능은 다음과 같은 Hadamard의 표준적 표현을 가지고 있다.

f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+\cdots +{\frac {1}{p}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p}\right),

where $z_{k}$ are those roots of $f$ that are not zero ( $z_{k}\neq 0$ ), $m$ is the order of the zero of $f$ at $z=0$ (the case $m=0$ being taken to mean $f(0)\neq 0$ $f(0)\neq 0$ $f(0)\neq 0$ ) $f(0)\neq 0$ 0 ${\displaystyle f(0)\neq$ 0 $}),$ $P$ {\ $displaystyle P$ } 다항식 $P$ (who we call $q$ {\ $displaysty q})$ 및 $p$ ${\displaystyp}$ 은 시리즈와 같은 최소 음수가 아닌 정수임 $p$

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\nflac {1}{z_{n} ^{p+1}:{n2}}:

수렴하다 음이 아닌 정수 $g=\max\{p,q\}$ = $g=\max\{p,q\}$ { $g=\max\{p,q\}$ , $g=\max\{p,q\}$ $g=\max\{p,q\}$ $g=\max\{p,q\}}$ 은 전체 $함수$ f $f$ 의 속이라고 불린다 $g=\max\{p,q\}$ $f$

ρ 순서가 정수가 아닌 경우 $g=[\rho ]$ = [ $g=[\rho ]$ $g=[\rho ]$ ${\displaystyle$ g $=[\rho$ $]}$ 의 정수 부분인 $g=[\rho ]$ $display$ {\ $displaystyle$ \rho $\rho$ 순서가 양의 정수인 경우 $g=\rho -1$ = $g=\rho -1$ - 1 ${\displaystysty$ $g$ $=1$ $}$ 또는 $g=\rho -1$ $g=\rho$ = ${\rho }$ 의 두 가지 가능성이 있다 $g=\rho$

예를 들어 $\sin$ ${\displaystyle \sin$ $\sin$ $\cos$ ${\displaystyle \cos },$ $\exp$ $\exp$ 은 $\cos$ $\exp$ 속 1의 전체 함수다.

기타 예

J. E. Littlewood에 따르면 Weierstrass 시그마 함수는 '일반적인' 전체 함수다. 이 문장은 무작위 전체함수의 이론에서 정밀하게 만들 수 있다: 거의 모든 함수의 점근거동이 시그마 함수의 점근거동과 유사하다. 다른 예로는 프레스넬 통합, 자코비 세타 함수, 상호 감마 함수를 들 수 있다. 지수함수와 오차함수는 미탁-레플러함수의 특수한 경우다. Paley와 Wiener의 기본 정리에 따르면, 한정된 지지로 함수(또는 분포)의 푸리에 변환은 순서 1과 유한형의 전체 함수다.

다른 예로는 다항식 계수가 있는 선형 미분 방정식의 해법이 있다. 가장 높은 파생상품의 계수가 일정하다면, 그러한 방정식의 모든 해법은 전체 함수다. 예를 들어 지수함수, 사인, 코사인, 에어리함수 및 포물선 실린더함수는 이런 방식으로 발생한다. 전체 기능의 클래스는 구성과 관련하여 폐쇄된다. 이것은 전체 기능의 역학을 연구하는 것을 가능하게 한다.

$\cos({\sqrt {z}})$ $\cos({\sqrt {z}})$ ( $\cos({\sqrt {z}})$ ) $\cos({\sqrt{z})$ 와 같이 원래 함수가 짝수인 경우 복합수의 제곱근 전체 함수는 전체다 $\cos({\sqrt {z}})$

만약 일련의 다항식들이 그 뿌리가 진짜인 모든 다항식들이 0과 동일하지 않은 한계로 기원의 한계에 수렴된다면, 이 한계는 전체 함수다. 그러한 전체 기능은 라구에르-를 형성한다.Polya class, 즉, F는 Hadamard product 측면에서도 특징지을 수 있는데, $만일$ Hadamard $present$ 에서 모든 $z$ 가_n real이면 이 $class$ 에 속하고 $P (z)$ = $a$ + $bz$ + $cz 2$ , 여기서 $b$ 와 $c$ 는 real이고 $c$ 는 $0$ 이다. 예를 들어, 다항식의 시퀀스

\left(1-{\frac {(z-d)^{2}}{n}\오른쪽)^{n}}

$n$ 이 증가하면 $expos(z-d$ )로 수렴한다 $. 2$ 다항식

{\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(왼쪽(1+{\frac {iz}{n}\오른쪽)^{n}+\왼쪽(1-{{\frac {iz}{n}\오른쪽)^{n}\right)

모든 진짜 뿌리를 가지고 있고, $cos(z$ )로 수렴한다 $.$ 다항식

\prod_{m=1}^{n}\좌측(1-{\frac {z^{2}}:}\좌측(\좌측(m-{\frac {1}{1}{2}}\우측)\pi \^{2}}\우측)}

또한 $cos(z$ )로 수렴하여 $,$ cosine용 Hadamard 제품의 축적을 보여준다.

참고 항목

메모들

^ 예를 들면 (Boas 1954, 페이지 1)
^ The converse is also true as for any polynomial ${\textstyle p(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}}$ of degree $n$ the inequality ${\textstyle p(z) \leq \left(\sum _{k=0}^{n} a_{k} \right) z ^{n}}$ holds for any $z \geq 1$ .

참조

Boas, Ralph P. (1954). Entire Functions. Academic Press. ISBN 9780080873138. OCLC 847696.
Levin, B. Ya. (1980) [1964]. Distribution of zeros of entire functions. Amer. Math. Soc. ISBN 978-0-8218-4505-9.
Levin, B. Ya. (1996). Lectures on entire functions. Amer. Math. Soc. ISBN 978-0-8218-0897-9.

[1] 예를 들면 (Boas 1954, 페이지 1)

[2] The converse is also true as for any polynomial ${\textstyle p(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}}$ of degree $n$ the inequality ${\textstyle p(z) \leq \left(\sum _{k=0}^{n} a_{k} \right) z ^{n}}$ holds for any $z \geq 1$ .

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