가우스-보넷 정리

미분기하학의 수학 분야에서, 가우스-보넷 정리()는 표면의 곡률을 기본 위상과 연결하는 기본 공식입니다.

가장 간단한 응용에서 평면상의 삼각형의 경우 각도의 합은 180도입니다.^[1] 가우스-보넷 정리는 이를 더 복잡한 모양과 곡면으로 확장하여 국소 기하학과 전역 기하학을 연결합니다.

이 정리는 버전을 개발했지만 한 번도 출판하지 않은 칼 프리드리히 가우스와 1848년에 특별한 사례를 출판한 피에르 오시안 보닛의 이름을 따서 지어졌습니다.^{[not verified in body]}

진술

$M$ 이 $경계$ 가∂M인 콤팩트한 2차원 리만 다양체라고 가정하자. $K$ 를 $M$ 의 가우스 곡률이라고 하고, $k$ 를∂M의 측지 곡률이라고 합니다. 그러면^[2]^[3].

\int _{M}K\,dA+\int _{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi \chi (M),\,

여기서 $dA$ 는 표면의 면적 요소이고 $ds$ 는 $M$ 의 경계를 따른 선 요소입니다. 여기서χ(M)은 M의 오일러 $특성$ 입니다.

경계 ∂M이 부분적으로 매끄러운 경우 $,$ $적분$ ∫ kd를 경계의 매끄러운 부분을 따라 대응하는 적분과 매끄러운 부분이 경계의 모서리에서 회전하는 각도의 합으로 해석합니다.

많은 표준적인 증명들은 접선을 돌리는 정리를 사용하는데, 이 정리는 요르단 곡선의 감은 수가 정확히 ±1이라고 대략적으로 말합니다.^[2]

간단한 예

$M$ 을 반지름 $R$ 의 구에서 잘라낸 북반구라고 가정하자. 오일러 특성은 1입니다. 정리의 왼쪽에는 $K=1/R^{2}$ = $K=1/R^{2}$ / $K=1/R^{2}$ 2 {\ $displaystyle$ K = 1 / R^{2}}와 k g = 0 {\displaystyle k_{g}= 0}이 있습니다. 왜냐하면 경계는 적도이고 적도는 구의 측지학이기 때문입니다. 그런 다음 $\int _{M}KdA=2\pi$ = 2 π ${\$ displaystyle \ $int_{M}$ KdA = 2\pi}를 ∫합니다.

반면에 반구를 납작하게 만들어 원반으로 만든다고 가정해 보겠습니다. 이 변환은 동형 사상이므로 오일러 특성은 여전히 1입니다. 그러나 정리의 왼쪽에는 $K=0$ = 0 ${\$ $displaystyle$ K = 0 $}$ 과 k g = 1 / R {\displaystyle k_{g}= 1/R}이 있습니다. 왜냐하면 원주는 평면의 측지선이 아니기 때문입니다. $\int _{\partial M}k_{g}ds=2\pi$ 다음 ∫ ∂ $\int _{\partial M}k_{g}ds=2\pi$ $\int _{\partial M}k_{g}ds=2\pi$ = 2 π $\int _{\partial M}k_{g}ds=2\pi$ {\displaystyle \int_{\partial M}k_{g}ds = 2\pi}을(를) 표시합니다.

마지막으로, 앞의 경우와 동형인 구 팔분자를 취합니다. $\int _{M}KdA={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {4\pi R^{2}}{8}}={\frac {\pi }{2}}$ 다음 ∫ M Kd $\int _{M}KdA={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {4\pi R^{2}}{8}}={\frac {\pi }{2}}$ = $\int _{M}KdA={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {4\pi R^{2}}{8}}={\frac {\pi }{2}}$ $\int _{M}KdA={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {4\pi R^{2}}{8}}={\frac {\pi }{2}}$ $\int _{M}KdA={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {4\pi R^{2}}{8}}={\frac {\pi }{2}}$ π $\int _{M}KdA={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {4\pi R^{2}}{8}}={\frac {\pi }{2}}$ $\int _{M}KdA={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {4\pi R^{2}}{8}}={\frac {\pi }{2}}$ = π $2$ {\ $displaystyle$ \ $int$ _{M} $KdA$ = ${\frac$ { $1}{R^{$ 2}}{\frac {4\ $pi$ R $^{$ 2}}{ $8}}$ = {\ $k_{g}=0$ {\pi }{ $k_{g}=0$ }}. 이제 $kg$ = 0 ${\display$ k_{g} = 0 국경을 따라 거의 모든 곳에서 측지 삼각형입니다. 그러나 $\int _{\partial M}k_{g}ds={\frac {3\pi }{2}}$ 코너가 3개 있으므로 $\int _{\partial M}k_{g}ds={\frac {3\pi }{2}}$ ∫ ∂ $\int _{\partial M}k_{g}ds={\frac {3\pi }{2}}$ $\int _{\partial M}k_{g}ds={\frac {3\pi }{2}}$ = 3 $\int _{\partial M}k_{g}ds={\frac {3\pi }{2}}$ π $\int _{\partial M}k_{g}ds={\frac {3\pi }{2}}$ 2 ${\$ displaystyle \int_ ${\$ partial M}k_{g}ds = {\frac {3\pi}{2}}.

해석 및 의의

이 정리는 특히 경계가 없는 콤팩트한 표면에 적용되며, 이 경우 적분

\int_{\partial M}k_{g}\,ds

생략할 수 있습니다. 이러한 닫힌 표면의 총 가우시안 곡률은 표면의 오일러 특성의 2 π 배와 같다는 것입니다. 경계가 없는 방향성 콤팩트한 표면의 경우 오일러 특성은 $2$ - $2g$ 이며, $여기$ 서 g는 표면의 속입니다. 경계가 없는 임의의 방향성 컴팩트한 표면은 일부 손잡이가 부착된 구와 위상적으로 동일하며 $g$ 는 손잡이의 수를 세습니다.

표면 $M$ 을 구부리고 변형시키면 위상 불변인 오일러 특성은 변하지 않는 반면 일부 지점의 곡률은 변하지 않습니다. 이 정리는 다소 놀랍게도 변형이 어떻게 되든 모든 곡률의 총 적분은 그대로 유지된다는 것을 말합니다. 예를 들어, "멍이 든" 구를 가지고 있다면, 그 전체 곡률은 4 π(구의 오일러 특성은 2)입니다. 그것은 얼마나 크든 깊든 상관없이 말입니다.

표면의 컴팩트함이 매우 중요합니다. 예를 들어, 경계가 없고 곡률이 0이고 오일러 특성이 1인 비콤팩트 리만 표면인 개방 단위 디스크를 생각해 보십시오: 가우스-보넷 공식은 작동하지 않습니다. 그러나 오일러 특성이 1인 콤팩트 폐쇄 단위 디스크의 경우 값 2 π에 경계 적분이 추가되어 사실입니다.

응용 프로그램으로 토러스는 오일러 특성이 0이므로 총 곡률도 0이어야 합니다. 토러스가 $R$ 에³ 포함된 일반적인 리만 메트릭을 운반하면 내부는 음의 가우시안 곡률을 가지며 외부는 양의 가우시안 곡률을 가지며 총 곡률은 실제로 0입니다. 정사각형의 반대쪽을 식별하여 토러스를 구성할 수도 있는데, 이 경우 토러스 위의 리만 미터법은 평평하고 일정한 곡률 0을 가지므로 다시 전체 곡률 0이 됩니다. 모든 곳이 양이거나 모든 곳이 음의 가우시안 곡률을 갖는 토러스에 리만 메트릭을 지정할 수는 없습니다.

삼각형의 경우

때때로 가우스-보넷 공식은 다음과 같이 표현됩니다.

\int _{T}K=2\pi -\sum \alpha -\int _{\partial T}\kappa _{g}

여기서 $T$ 는 측지삼각형입니다. 여기서 우리는 $M$ 위의 "삼각형"을 경계가 3개의 측지학으로 구성된 단순하게 연결된 영역으로 정의합니다. 그러면 우리는 그 삼각형의 안쪽과 삼각형의 조각 경계에 의해 $형성$ 된 표면 T에 GB를 적용할 수 있습니다.

경계 지오데식의 지오데식 곡률은 0이고 $T$ 의 오일러 특성은 1입니다.

따라서 측지 삼각형의 회전 각도의 합은 2 π에서 삼각형 내의 전체 곡률을 뺀 것과 같습니다. 모서리의 $회전각$ 은 π에서 내부각을 뺀 값과 같으므로 이를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

측지 삼각형의 내각의

합

은

\sum (\pi -\alpha )=\pi +\int _{T}K.

π에

\sum (\pi -\alpha )=\pi +\int _{T}K.

으로 둘러싸인 전체 곡률을 더한 것과 같습니다

\sum (\pi -\alpha )=\pi +\int _{T}K.

∑ (π -

\sum (\pi -\alpha )=\pi +\int _{T}K.

α)

\sum (\pi -\alpha )=\pi +\int _{T}K.

= π + ∫ T K.

{\displaystyle \sum

(\pi -\alpha ) =\pi +\int _{T}K.}

평면의 경우(가우시안 곡률이 0이고 지오데틱스가 직선인 경우), 우리는 일반적인 삼각형에서 각도의 합에 대한 친숙한 공식을 복구합니다. 곡률이 모든 곳이 1인 표준 구에서, 우리는 측지 삼각형의 각도 합이 $항상$ π보다 크다는 것을 알 수 있습니다.

특수한 경우

구면기하학과 쌍곡기하학에서 이전 세기에 걸쳐 발견된 많은 초기 결과는 가우스-보넷의 특별한 경우로 포함되었습니다.

삼각형

구면 삼각법과 쌍곡 삼각법에서 삼각형의 면적은 내각이 180°까지 합하지 못하는 양에 비례하거나, 내각이 360°까지 합하지 못하는 (역) 양에 비례합니다.

구면 삼각형의 면적은 그것의 초과에 비례하는데, 이는 그것의 내각이 180°이상이 되는 양이며, 이는 그것의 내각이 360°이하가 되는 양과 같습니다.

쌍곡 삼각형의 면적은 반대로 요한 하인리히 램버트에 의해 확립된 것처럼 그 결점에 비례합니다.

다면체

다면체의 전체 각도 결함에 대한 데카르트의 정리는 다면체 유사체인데, 구와 동형인 다면체의 모든 꼭짓점의 결함의 합은 4 π이라고 합니다. 더 일반적으로 다면체가 오일러 특성 χ = 2 - 2g(여기서 g는 속, "구멍의 수"를 의미함)을 가지면 $결점$ 의 합은 2 πχ입니다. 이것은 가우스-보넷의 특별한 경우로, 곡률이 이산점(정점)에 집중되어 있습니다.

곡률을 함수가 아닌 측도로 생각하는 데카르트의 정리는 곡률이 이산 측도인 가우스-보넷이고, 측도에 대한 가우스-보넷은 매끄러운 다양체에 대한 가우스-보넷과 데카르트의 정리를 모두 일반화합니다.

조합형 아날로그

가우스-보넷 정리에는 몇 가지 조합 유사체가 있습니다. 우리는 다음과 같은 것을 진술합니다. $M$ 을 유한 2차원 의사 매니폴드라고 하자. $꼭짓점$ v를 포함하는 삼각형의 수를χ(v)로 표시합니다. 그리고나서

\sum_{v\,\in \,\operatorname {int} M}{\bigl(}6-\chi(v){\bigr )}+\sum_{v\,\in \,\partial M}{\bigl(}3-\chi(v){\bigr()}=6\chi(M),\

여기서 첫 번째 $합$ 은 M 내부의 정점들 위에 있고, 두 번째 합은 경계 정점들 위에 있으며,χ(M)은 M의 오일러 $특성$ 입니다.

삼각형을 더 높은 다각형으로 대체할 때 2차원 유사 매니폴드에 대해서도 유사한 공식을 얻을 수 있습니다. $n개$ 의 꼭짓점으로 이루어진 다각형의 경우, 위의 공식에서 3과 6을 각각 $n / n$ - $2$ 와 $2n / n$ - 2로 $치환$ 해야 합니다. 예를 들어, 4사방체의 경우 위의 공식에서 3과 6을 각각 2와 4로 치환해야 합니다. 좀 더 구체적으로, $만약$ M이 닫힌 2차원 디지털 다양체라면, 그 속은

g=1+{\frac {M_{5}+2M_{6}-M_{3}}{8}},

여기서 $M$ 은_i 표면 $위$ 에 i개의 인접한 점이 있는 표면 점의 수를 나타냅니다. 이것은 3차원 디지털 공간에서 가우스-보넷 정리의 가장 간단한 공식입니다.

일반화

체른 정리(Chern Theorem)는 GB의 2n차원 일반화(Chern-Weil 동형 참조)입니다.

리만-로흐 정리는 GB를 복소다양체로 일반화하는 것으로도 볼 수 있습니다.

위에서 언급한 모든 정리를 포함하는 광범위한 일반화는 Atiyah-Singer 인덱스 정리입니다.

콤팩트할 필요가 없는 2-매니폴드에 대한 일반화는 Cohn-Vossen의 부등식입니다.

대중문화에서는

그렉 이건의 소설 디아스포라에서 두 인물이 이 정리의 파생에 대해 이야기합니다.

정리는 조각을 제어하는 시스템으로 직접 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 에드먼드 해리스가 아칸소 대학교 아너스 칼리지의 컬렉션에서 작업한 것입니다.^[6]

참고 항목

참고문헌

^ Chern, Shiing-Shen (March 4, 1998). "Interview with Shiing-Shen Chern" (PDF) (Interview). Interviewed by Allyn Jackson. Retrieved 2019-07-22.
^ ^a ^b do Carmo, Manfredo Perdigão (1992). Riemannian geometry. Boston: Birkhäuser. ISBN 0817634908. OCLC 24667701.
^ do Carmo, Manfredo Perdigão (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall. ISBN 0132125897. OCLC 1529515.
^ Weeks, Jeffrey R. (2001-12-12). The Shape of Space. CRC Press. doi:10.1201/9780203912669. ISBN 9780203912669 – via Taylor & Francis.
^ Chen, Li; Rong, Yongwu (August 2010). "Digital topological method for computing genus and the Betti numbers". Topology and Its Applications. 157 (12): 1931–1936. doi:10.1016/j.topol.2010.04.006.
^ Harriss, Edmund (2020). "Gauss-Bonnet Sculpting". Proceedings of Bridges 2020: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture. 2020: 137–144. Retrieved 2020-11-17.

외부 링크

볼프람 수학계의 가우스-보넷 정리

[1] Chern, Shiing-Shen (March 4, 1998). "Interview with Shiing-Shen Chern" (PDF) (Interview). Interviewed by Allyn Jackson. Retrieved 2019-07-22.

[doCarmo1992-2] Carmo, Manfredo Perdigão (1992). Riemannian geometry. Boston: Birkhäuser. ISBN 0817634908. OCLC 24667701.

[doCarmo1976-3] Carmo, Manfredo Perdigão (1976). Differential geometry of curves and surfaces. Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall. ISBN 0132125897. OCLC 1529515.

[4] Weeks, Jeffrey R. (2001-12-12). The Shape of Space. CRC Press. doi:10.1201/9780203912669. ISBN 9780203912669 – via Taylor & Francis.

[5] Chen, Li; Rong, Yongwu (August 2010). "Digital topological method for computing genus and the Betti numbers". Topology and Its Applications. 157 (12): 1931–1936. doi:10.1016/j.topol.2010.04.006.

[6] Harriss, Edmund (2020). "Gauss-Bonnet Sculpting". Proceedings of Bridges 2020: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture. 2020: 137–144. Retrieved 2020-11-17.

[1]

[2]

[3]

[6]

v t 리만 기하학 (광학)
기본개념	곡률 텐서의 스칼라 리치 단면 지수지도 측지학 내품 미터 텐서 레비-시비타 연결 공변 도함수 서명 지수 상승 및 하강/음악적 동형화 평행운송 리만 다양체 의사 리만 다양체 리만 음량형
다양체의 종류	에르미트어 쌍곡 케흘러 겐모쓰
주요결과	리만 기하학의 기본 정리 Gauss's lemma 가우스-보넷 정리 호프-리노우 정리 내쉬 임베딩 정리 리치 흐름 Schur's lemma
일반화	핀슬러 힐베르트 서브리만어
적용들	일반 상대성 이론 기하화 추측 푸앵카레 추측 균일화 정리

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