조던 곡선 정리

위상학에서, 조던 곡선 정리는 모든 조던 곡선(단순 닫힌 곡선)이 곡선으로 둘러싸인 "내부" 영역과 가깝고 먼 모든 외부 점을 포함하는 "외부" 영역으로 평면을 분할한다고 주장한다.한 영역의 점과 다른 영역의 점을 연결하는 모든 연속 경로는 어딘가에서 곡선과 교차합니다.그 정리가 직관적으로 명백해 보이지만, 그것을 기본적인 방법으로 증명하려면 약간의 독창성이 필요하다."JCT는 가장 잘 알려진 위상 이론 중 하나이지만, 전문 수학자들 사이에서도 증명서를 읽어본 적이 없는 사람이 많습니다." (Tverberg(1980년, 입문)보다 투명한 증명은 대수적 위상학의 수학적 기계에 의존하며, 이것은 더 높은 차원의 공간으로 일반화를 이끈다.

조던 곡선 정리는 수학자 카밀 조던(1838–1922)의 이름을 따왔다.수십 년 동안, 수학자들은 일반적으로 이 증명은 결함이 있으며 최초의 엄격한 증명은 오스왈드 베블렌에 의해 수행되었다고 생각했다.그러나 토마스 C는 이 개념을 뒤집었다. 헤일즈, 기타.

요르단 정리의 정의와 진술

평면² R 내의 조던 곡선 또는 단순 폐곡선은 평면 내 원의 사출 연속 지도의 화상 C이며, 평면¹ 내 조던 호는 평면 내에서의 폐경계 구간 [a, b²]의 사출 연속 지도의 화상이다.이것은 반드시 평활하지도 대수적이지도 않은 평면 곡선이다.

또는 조던 곡선은 연속맵 θ: [0,1] → R의 화상으로 θ(0) = θ²(1) 및 θ의 [0,1]에 대한 제한이 주입되도록 한다.처음 두 조건은 C가 연속 루프라고 하는 반면, 마지막 조건은 C에 자기 교차점이 없다고 규정하고 있습니다.

이러한 정의를 통해, 조던 곡선 정리는 다음과 같이 기술될 수 있다.

이와는 대조적으로 평면 내 조던 호의 보완은 연결되어 있습니다.

증명과 일반화

조던 곡선 정리는 1911년 H. 르베그와 L.E.J. 브루어에 의해 독립적으로 더 높은 차원으로 일반화되었고, 결과적으로 조던-브라우어 분리 정리가 되었다.

그 증거는 호몰로지 이론을 사용한다.보다 일반적으로 X가 k-sphere와 동형인 경우, Yⁿ⁺¹ = R \ X의 감소된 적분 호몰로지 그룹은 다음과 같다.

이는 Mayer-Vietoris 시퀀스를 사용한 k 단위의 유도에 의해 증명된다.n = k일 때, Y의 0번째 감소 호몰로지는 1등급이 된다. 즉, Y는 2개의 연결된 성분(더구나 연결된 경로)을 가지고 있으며, 약간의 추가 작업을 통해 공통 경계가 X임을 알 수 있다.또한 Jⁿ⁺¹. W. 알렉산더는 R의 콤팩트 부분집합 X의 감소된 호몰로지와 그 보체의 감소된 코호몰로지 사이에 알렉산더 이중성을 확립하였다.X가 경계가 없는 R(또는ⁿ⁺¹ S)의ⁿ⁺¹ n차원 콤팩트 연결 서브매니폴드인 경우, 그 보완체는 2개의 연결 성분을 가진다.

조던 곡선 정리(Jordan-Schönflys 정리)는 R의 조던² 곡선에 의해 결정되는 내부 및 외부 평면 영역이 단위 디스크의 내부 및 외부와 동형이라는 것을 나타냅니다.특히 내부 영역의 점 P 및 조던 곡선상의 점 A에 대해 P와 A를 연결하는 조던 호가 존재하며, 끝점 A를 제외하고 내부 영역에 완전히 놓여 있습니다.요르단-쇤파리 정리의 대안적이고 등가적인 공식은 S가 평면에서 단위 원으로 보이는 어떤¹ 요르단 곡선 θ¹: S² → R은 평면의 동형사상 θ²: R² → R로 확장될 수 있다고 주장한다.는 요르단 곡선 정리의 르베그와 브라우어의 일반화와는 달리 이 발언 더 높은 차원에서:R3이기 때문입니다. 단위 영역에 원위치로 되돌리는 동안 R3에 있는 부대 공의 외부 단순히 연결되어 있으면 알렉산더의 뿔 달린 영토는 하위 집합을 가진 구에homeomorphic지만 그 무한한 com우주에서 꼰 거짓이 된다.pR에서의³ 보완은 단순하게 연결되어 있지 않으며, 따라서 단위 볼의 외부와 동질적이지 않다.

디스크리트 버전

조던 곡선 정리는 브루어 고정점 정리(2차원)^[1]에서 증명될 수 있고, 브루어 고정점 정리는 헥스 정리(2차원)에서 증명될 수 있다: "헥스의 모든 게임에는 적어도 한 명의 승자가 있으며, 여기서 우리는 논리적인 의미를 얻는다."16진정리는 브루어 고정점 정리를 의미하며, 이는 조던 곡선 ^[2]정리를 의미한다.

조던 곡선 정리가 "강력한 헥스 정리"를 내포하고 있는 것은 분명하다: "헥스의 모든 게임은 양쪽이 지거나 양쪽이 이길 가능성이 없이 정확히 한 명의 승자로 끝난다." 그래서 조던 곡선 정리는 순전히 이산적인 정리인 강한 헥스 정리와 동등하다.

Bouwer 고정점 정리도 두 개의 동등한 정리 사이에 끼임으로써 ^[3]두 개의 정리와 동등합니다.

역수학과 컴퓨터 공식화 수학에서, 조던 곡선 정리는 먼저 강한 헥스 정리와 유사한 동등한 이산 버전으로 변환한 다음 이산 ^[4]버전을 증명함으로써 일반적으로 증명된다.

이미지 처리에의 응용 프로그램

이미지 처리에서 바이너리 픽처는 0과 1의 이산 정사각형 그리드 또는 이에 상당하는 $(\$displaystyle $\mathbb {Z}$^{$2$의 콤팩트 서브셋입니다.$(\$^{$2$ 등) $상의{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 위상 불변량은$Z2$(\displaystyle ${\mathbbbb})$에 $대해{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 잘 정의되지 않을 수 있습니다.$^{2}}:$ ${\displaystyle {}^{}}$ 2$${\$displaystyle \mathbb {Z} ^{2$}}의$$ 그래프 구조가 적절하게 정의되지 않은 $경우{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$.

$(\$에는$$2개의 명확한 그래프 구조가 있습니다.

• 각 정점$({\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$ $){디스플레이$ 스타일$(x$${\displaystyle }$,$y$ ${\displaystyle ),}$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ),}$ (${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ,y}$ ), (${\displaystyle x}$ , y +${\displaystyle 1),}$ ${\displaystyle (x}$, y -${\displaystyle 1}$){$디스플레이 스타일(x$+ 1, $y),$ ($x-1,$y), ($x, y+1),$ (x, $y-1$), ($x, y-1$과${\displaystyle }$연결됩니다.
• 각 정점$({\displaystyle x,}$ $)$ {$displaystyle(x,y)}$이$({\displaystyle }$가) (${\displaystyle {}^{},{}^{}}$)${\displaystyle }${$displaystyle(x',y')${{displaystyle(x',y')} {${\displaystyle displaystyle}$(x,${\displaystyle y}$')} {$displaystyle$x$$ - $x-x'$ 1, y - y${\displaystyle {)\}}^{}}$$11$ 및${\displaystyle }$x로 연결되어 있는 "8-x${\displaystyle "}$ (${\displaystyle {}^{}}$,${\displaystyle y}$$')$의 각 정점(x, y, y, y, y${\displaystyle ,}$ y, y, y, y, y, y, y, y, y${\displaystyle ,}$ y, y${\displaystyle )}$

두 그래프 구조 모두 강한 헥스 정리를 만족시키지 못한다.4-네이버 사각 그리드는 승자가 없는 상황을 가능하게 하고, 8-네이버 사각 그리드는 2승자가 되는 상황을 가능하게 합니다.따라서 조던 곡선 정리 등 $(\$^{$2$의 연결성 특성은 어느 그래프 구조에서도 $(\$^{$2})$로 일반화되지 않는다.

$(\$2$\})$에 "6-neighbor square grid" 구조가 적용되면, 이는 육각형 격자이며, 따라서 강한 헥스 정리를 만족하므로 조던 곡선 정리가 일반화된다.이 때문에 바이너리 이미지에서 연결된 컴포넌트를 계산할 때는 일반적으로 6개의 이웃 정사각형 그리드가 사용됩니다.^[5]

슈타인하우스 체스판 정리

어떤 의미에서 스타인하우스 체스판 정리는 4-근접 그리드와 8-근접 그리드가 "함께" 조던 곡선 정리를 의미하며, 6-근접 그리드는 ^[6][7]그들 사이의 정확한 보간이다.

이 정리에는 다음과 같이 되어 있습니다${\displaystyle .}$예를 들어 킹이 폭탄을 밟지 않고는 아래쪽에서 위쪽으로 이동할 수 없도록 하기 $위해$ n ×$n$(디스플레이$스타일 n\$times $n{\displaystyle }$) 체스판의$$ 일부 정사각형에 폭탄을 장착하면 루크는 왼쪽에서 오른쪽으로만 폭탄을 밟을 수 있습니다.

이력 및 추가 증거

요르단 곡선 정리의 진술은 처음에는 분명해 보일 수 있지만, 증명하기 어려운 정리이다.Bernard Bolzano는 그것이 자명한 진술이 아니라 ^{[citation needed]}증거가 필요하다는 것을 관찰하면서 정확한 추측을 최초로 공식화한 사람이다.폴리곤에 대해 이 결과를 확립하는 것은 쉽지만, 문제는 코흐 눈송이와 다른 프랙탈 곡선, 심지어 오스굿(1903)이 구축한 양의 영역의 조던 곡선 등 구별 가능한 곡선이 전혀 없는 모든 종류의 잘못된 동작 곡선으로 일반화하는 데 있었다.

이 정리의 첫 번째 증거는 카미유 조던이 실제 분석에 대한 그의 강의에서 제시했고 그의 책 Cours d'analyse de l'E'^[8]cole Polytechnique에 발표되었습니다.조던의 증거가 완전했는지에 대해서는 논란이 있다.대부분의 논평가들은 조던의 증거에 대해 다음과 같이 말한 오스왈드 베블렌에 의해 최초의 완전한 증거가 나중에 제공되었다고 주장했다.

그러나 그의 증명은 많은 수학자들에게 만족스럽지 못하다.그것은 단순한 다각형에 대한 중요한 특별한 경우에 증거 없이 정리를 가정하고, 그 시점부터의 논의는 적어도 모든 세부 사항이 ^[9]주어지지 않았다는 것을 인정해야 한다.

하지만 토마스 C. Hales는 다음과 같이 썼다.

내가 찾은 거의 모든 현대 인용문은 베블렌의 첫 번째 정확한 증거가...조던의 증거에 대한 혹독한 비판을 고려하여, 나는 조던의 증거를 읽기 위해 앉았을 때, 그것에 대해 아무런 불쾌감을 느끼지 못했다.그 후 조던을 비판한 저자와 접촉해 본 결과, 조던의 ^[10]증거에 대한 직접적인 지식이 없음을 인정했습니다.

헤일스는 또한 단순한 폴리곤의 특별한 경우는 쉬운 연습일 뿐만 아니라 어쨌든 조던에 의해 실제로 사용되지 않았다고 지적하고 마이클 리켄의 말을 인용했다.

조던의 증거는 본질적으로 옳다...조던의 증거는 세부사항을 만족스럽게 제시하지 못한다.하지만 그 생각은 옳고, 약간의 연마만 한다면 그 증거는 ^[11]흠잡을 데 없을 것이다.

이전에, 조르단의 증거와 샤를 장 드 라 발레 푸생에 의한 또 다른 초기 증거는 이미 Schoenflys에 의해 비판적으로 분석되고 완성되었다.^[12]

저차원 위상과 복소해석에서의 요르단 곡선 정리의 중요성 때문에 20세기 전반의 저명한 수학자들로부터 많은 관심을 받았다.정리 및 일반화의 다양한 증명은 J. W. 알렉산더, 루이 앙투안, 루드비히 비버바흐, 루이젠 브루어, 아르노 덴조이, 프리드리히 하르톡스, 벨라 케레키하르토, 알프레드 프링스하임, 아서 모리츠 쇤파리에 의해 구성되었다.

조던 곡선 정리의 새로운 기본 증명과 이전의 증명들의 단순화가 계속 수행되고 있다.

• 필리포프(1950)와 트베르베르크(1980)가 기본적인 증거를 제시했다.
• 나렌스의 비표준 분석을 사용한 증명(1971년).
• Gordon O의 건설적인 수학을 이용한 증명.Berg, W. Julian, R.광산 등(1975년)
• 마에하라(1984)의 브루어 고정점 정리를 이용한 증명.
• 완전한 초당 그래프 K의 비평면성을 이용한 증거는_3,3 Thomassen(1992)에 의해 제시되었다.

난이도의 근원은 Tverberg(1980)에서 다음과 같이 설명된다.조던 곡선 정리가 모든 조던 폴리곤(렘마 1)에 대해 유지되고 모든 조던 곡선이 조던 폴리곤(렘마 2)에 의해 임의로 잘 근사될 수 있음을 증명하는 것은 비교적 간단합니다.조던 폴리곤은 경계로 연결된 열린 집합의 경계인 다각형 사슬이며, 이를 열린 폴리곤이라고 하며, 닫힌 폴리곤이라고 합니다.닫힌 폴리곤에 포함된 가장 큰 디스크의 직경$$†(\$displaystyle\delta)$을 고려합니다.$확실히{\displaystyle }$,$$positive(\$displaystyle\delta)$는 긍정적입니다.주어진 조던 곡선으로 수렴하는 조던 폴리곤의 시퀀스를 사용하면 조던 곡선으로 둘러싸인 영역에 포함된 가장 큰 디스크의 $직경$인 양수로 수렴하는 시퀀스 ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$$$1,${\displaystyle {}_{}{\theta \mathrm{}}_{}}$2, …, $...(\$$displaystyle \delta$ _${1},\dots$$})$가 있습니다.단, 시퀀스 ${\displaystyle {11\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {22\mathrm{}}_{}}$ $...(\displaystyle$ \$delta _{$1},\$delta _${2},\$dots}$가 곡선에 의해 경계가 되는 영역이 아닌 주어진 조던 곡선만을 사용하여 0으로 수렴되지 않음을 증명해야 합니다.이것이 트베르베르크의 Lema 3의 포인트이다.대략적으로 닫힌 폴리곤은 어디에서나 0으로 얇아지지 않아야 합니다.게다가 Tverberg의 Lemma 4의 포인트인 0까지 얇아져서는 안 된다.

요르단 곡선 정리의 첫 번째 공식 증명은 Hales(2007a)가 2005년 1월에 HOL 라이트 시스템에서 만들었고 약 60,000개의 선을 포함했다.또 다른 6,500줄의 엄밀한 공식 증명은 2005년 미자르 시스템을 이용한 국제 수학자들에 의해 작성되었다.Mizar와 HOL Light Proof는 모두 이전에 입증된 정리 라이브러리에 의존하기 때문에 이 두 가지 크기는 비교할 수 없습니다.사카모토 노부유키와 요코야마 게이타(2007)는 역수학에서 조던 곡선 정리가 R ${\displaystyle {\mathsf{C}}_{}}$ ${\displaystyle A_{\mathrm{}}}$ 0$(\${RCA$}_{0$에 대한 약한 쾨니그의 보조정리에 해당함을 보여주었다.

어플

계산기하학에서, 조던 곡선 정리는 점이 단순한 ^[13][14][15]폴리곤의 안쪽에 있는지 밖에 있는지를 테스트하기 위해 사용될 수 있다.

주어진 지점에서 폴리곤의 정점을 통과하지 않는 광선을 추적합니다(유한 수를 제외한 모든 광선이 편리합니다).그런 다음 다각형 모서리와 광선의 교차 수 n개를 계산합니다.조던 곡선 정리 증명은 n이 홀수인 경우에만 점이 폴리곤 안에 있음을 나타냅니다.

「 」를 참조해 주세요.

• Denjoy-Riesz 정리, 요르단 곡선의 부분 집합이 될 수 있는 평면의 특정 점 집합에 대한 설명
• 와다 호
• 조던 곡선을 보존하는 수학 그룹인 준후치안 군

메모들

레퍼런스

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• Courant, Richard (1978). "V. Topology". Written at Oxford. What is mathematics? : an elementary approach to ideas and methods. Herbert Robbins ([4th ed.] ed.). United Kingdom: Oxford University Press. p. 267. ISBN 978-0-19-502517-0. OCLC 6450129.
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외부 링크

• M.I. Voitsekhovskii (2001) [1994], "Jordan theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• 미자르에서의 조던 곡선 정리에 대한 6,500선 공식 증명.
• 앤드류 라니키의 홈페이지에 있는 조던 곡선 정리의 증명집
• David B에 의한 조던 곡선 정리(PDF)의 간단한 증명.고루도
• Brown, R.; Antolino-Camarena, O. (2014). "Corrigendum to "Groupoids, the Phragmen-Brouwer Property, and the Jordan Curve Theorem", J. Homotopy and Related Structures 1 (2006) 175-183". arXiv:1404.0556 [math.AT].

doi: 10.1007/15.40062-014-0089-0