쿤보센의 부등식

미분 기하학에서 스테판 쿤-보센의 이름을 딴 쿤-보센의 부등식은 비복합 표면의 가우스 곡률의 적분성을 오일러 특성과 연관시킨다. 그것은 콤팩트한 표면의 가우스-보넷 정리와 유사하다.

리만 다지관 내의 다른 경로는 다지관의 어떤 콤팩트한 부분집합 내에 포함되지 않는 다지관의 부드러운 곡선이다. 완전한 다지관은 모든 갈림길이 다지관의 리만 미터법에 대해 무한히 길이로 되어 있는 것이다. 쿤보센의 불평등은 모든 리만 2-매니폴드 S가 유한한 총 곡률과 유한한 오일러 특성을 가지고 있고^[1],

${\displaystyle \iint _{S}K\,dA\leq 2\pi \chi(S),}$

여기서 K는 가우스 곡률이고, dA는 면적의 원소, χ은 오일러 특성이다.

예

• S가 (경계가 없는) 콤팩트 표면이라면, 그 불평등은 콤팩트 다지관에 대한 통상적인 가우스-보넷 정리에 의한 동등이다.
• S가 경계를 가지고 있다면 가우스-보넷 정리는 다음과 같은 것을 준다.

${\displaystyle \iint _{S}K\,dA=2\pi \chi(S)-\int _{\partial S}k_{g}\,ds}$

여기서 ${\displaystyle g_{}}$ ${\$는 경계의 지오데틱 곡률이며, 그 적분인 총 곡률이며, 경계 곡선에 대해 반드시 양이며, 불평등은 엄격하다. (S의 경계가 조각처럼 매끄러울 때 유사한 결과가 나타난다.)

• S가 평면 R인² 경우 S의 곡률은 0이고, s(S) = 1이므로 불평등은 엄하다: 0 < 2 π.

참고 및 참조

• S. E. Cohn-Vossen, 큰 틀의 차등 기하학의 몇 가지 문제, 모스크바 (1959년) (러시아어)

외부 링크

• 쿤보센의 불평등에 대한 간략한 설명을 포함한 수학 백과사전에서 가우스-보넷 정리