체르누스-보넷 정리

수학에서, Chern(천싱선, 카를 프리드리히 가우스와 피에르 오시안 보넷은 또는 후에 Chern–Gauss–Bonnet theorem[1][2][3])은 폐쇄된even-dimensional 리만 다양체의 Euler-Poincaré 특성( 위상적인 invariant 위상적인 공간의 베티는 숫자의 교대의 합으로 정의된)은 정리. 같은곡률 형태(분석 불변제)의 특정 다항식(Uler class)의 적분

고전적인 가우스-보넷 정리(2차원 다지관/표면의 경우)를 고이븐 차원 리만 다지관으로 고도로 일반화한 것이다.1943년, 칼 B. 알렌도르퍼와 안드레 웨일은 외인성 다지기의 특별한 경우를 증명했다.1944년에 발표된 고전 논문에서, 시잉-선 체른은 지구 위상과 지역 기하학을 연결하는 완전한 일반성으로 그 정리를 증명했다.^[4]

리만-로치와 아티야-싱어는 가우스-보넷 정리의 다른 일반화다.

성명서

체르누스 정리의 한 유용한 형태는^[5][6]

${\displaystyle \chi(M)=\int _{M}e(\Oomega )}$

여기서 $\chi {\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \chi (M)}$은 M의 오일러 특성을 나타낸다$$.오일러 클래스는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle e(\Oomega )={\frac {1}{{{n}}\operatorname {Pf}(\Oomega )}$

여기서 Pafeian ${\displaystyle \mathrm{Pf}}$ ${\displaystyle }$($){\displaystyle \operatorname {Pf} (\Oomega$ $)\}.$ 여기서 M은 경계가 없는 콤팩트한 방향의 2n차원 리만 다지관이며, $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$는 Levi-Civita 연결의 관련 곡률 형식이다.$실제로{\displaystyle \mathrm{}}$ 이 문장은 접선 번들에 대한 모든 메트릭 연결의$$ 곡률형태를 비롯하여 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 통한 다른 벡터 번들에 대해 Ω ${\displaystyle \Oomega }$을(를) 사용한다$.$^[7]

치수가 2n이므로 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$이(가) S${\displaystyle o\mathfrak{}}$ (${\displaystyle \mathrm{2n}}$) ${\displaystyle {\mathfrak {s}{\mathfrak {o}(2n)}$ - 값은$$ M에 2-differential 형식임을 알 수 있다(특수 직교 그룹 참조).따라서 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$은(는) 항목이 2-폼인 스큐 대칭 2n × 2n 매트릭스로 볼 수 있으므로$$, T${}^{}even{}^{}{}^{}$ ${}^{}$ ${\textyle {\bigwedge }^{\text{ven}\,$ $\backslash ,{}^{}$ 짝수 링 위의 매트릭스라고 할 수 있다.$T^{*}M$ 따라서 파피안은 2n 형식이다.그것은 또한 불변 다항식이다.

그러나, 체른의 일반적으로 정리하는 것은 닫힌 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$ ${\$ 방향의$$ n-차원 M,^[5]

${\displaystyle \chi(M)=(e(TM), [M])}$

여기서 위의 페어링(,)은 접선 번들 TM의 오일러 클래스와 캡 제품을 나타낸다.

교정쇄

1944년, 일반 정리는 프린스턴 대학 수학학부가 펴낸 고전 논문에서 S. S. 체른에 의해 처음 증명되었다.^[8]

2013년에는 초대칭 유클리드 장 이론에 의한 정리의 증명도 발견되었다.^[3]

적용들

체르누스-가우스-보넷 정리는 특성계급 이론에서 특별한 예로 볼 수 있다.체르누스 통합은 오일러 계급이다.1차원 미분형이기 때문에 닫힌다.오일러 계급의 자연성은 리만 계량법을 변경할 때 같은 코호몰로지 계급을 유지한다는 것을 의미한다.즉, 오일러 클래스의 적분은 측정지표가 다양할 때 일정하게 유지되며 따라서 매끄러운 구조의 세계적 불변성인 것이다.^[6]

이 정리는 물리학에서도 다음과 같은 수많은 응용을 찾아냈다.^[6]

• 단상이나 베리의 단상이나
• 끈 이론,
• 응축물리학,
• 위상 양자장 이론,
• 물질의 위상학적 단계(Duncan Haldane 등의 2016년 노벨 물리학상 참조).

특례

4차원 다지관

치수 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$= ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 2n=4$에서 콤팩트한 방향 다지관의 경우

${\displaystyle \chi (M)={\frac {1}{8\pi ^{2}}\int_{M}\왼쪽({\text{Riem}}}^{2}-4 {\text{Ric}}}^{2}+R^{2}\rim}}}\d\mu }}}$

여기서 ${\displaystyle \text{Riem}}$ ${\$은(는) 전체 Rieman 곡률 텐서, ${\displaystyle \text{Rich}}$ ${\$Ric}은$(는)$ Ricci$$ 곡률 텐서, R {\$displaysty{\displaystyle }$ R$}$은(는$)$가 $스칼라$ 곡률이다.이는 특히 4차원 다지관으로 보는 일반상대성이론에서 중요하다.

짝수형 하이퍼러페이스

M이 R에서ⁿ⁺¹ 콤팩트하고 고른 차원의 초저면일 때 우리는^[9]

${\displaystyle \int _{M}K\,dV={\frac {1}{1}2}}\gamma _{n}\,\chi(M)}$

여기서 dV는 초대면의 볼륨 요소, $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$은 가우스 지도의 자코비안 결정 요소, ${\displaystyle {\gamma n}_{}}$ n ${\$는 단위 n-sphere의 표면 영역이다.

가우스-보넷 정리

가우스-보넷 정리는 M이 2차원 다지관일 때 특별한 경우다.위상학적 지수를 베티 숫자로 정의하고 분석 지수를 가우스-보넷 통합으로 정의한 특수한 경우로 발생한다.

2차원 가우스-보넷 정리처럼 M이 경계를 가진 다지관일 때 일반화가 있다.

추가 일반화

아티야-싱어

가우스-보넷 정리의 광범위한 일반화는 아티야-싱어 지수 정리다.^[6]

$D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$을(를) 벡터 번들 사이의 약한 타원형 차동 연산자로 두십시오$$.그것은 주된 상징이 이등형이라는 것을 의미한다.또한 강한 타원성은 기호가 양립할 수 있어야 한다.

$∗{\$을(를) 보조 연산자로 두십시오$$.그러면 분석 지수는 다음과 같이 정의된다.

딤(커)(D) - 딤(커)(D*),

타원성에 의해 이것은 항상 유한하다.지수 정리에서는 타원 연산자가 원활하게 변화하기 때문에 이것이 일정하다고 한다.위상학 지수와 같으며, 오일러 계급과 같은 특성 계급을 기준으로 표현할 수 있다.

체르누스-가우스-보넷 정리는 디락 연산자를 고려하여 도출된다.

$[\displaystyle D=d+d^{*}}$

홀수 치수

체르누스 공식은 오일러 특성이 홀수 치수에 대해 사라지기 때문에 짝수 치수에 대해서만 정의된다.홀수 치수에 대한 비교 결과를 주기 위해 K 이론의 지수 정리를 '트위팅'하는 연구가 진행되고 있다.^[10][11]

체른의 오비폴즈 공식도 있다.^[12]

역사

시잉선 체르누스는 1944년 고등연구소에 재직하면서 정리정리에 대한 그의 증거를 발표했다.역사적으로 유클리드 공간에 다지관이 박혀 있다고 가정하지 않고 이 공식이 증명된 것은 이번이 처음이었는데, 이것이 바로 '내성적'이라는 뜻이다.초대면(n차원 유클리드 공간의 n-1차원 서브매니폴드)에 대한 특수 케이스는 H에 의해 증명되었다. 통합이 Gauss-Kronecker 곡률인 홉프(초음파면 한 지점에서 모든 주요 곡선의 산물).이것은 1939년 알렌도어퍼와 1940년 펜첼에 의해 독립적으로 일반화되었고, 리만니아 부매니폴드에 의해 모든 코디멘션의 유클리드 공간(Lipschitz-Killing 곡률)을 사용하였다(정상 공간의 단위 구위에 있는 각 단위 정상 벡터를 따라 가우스-Kronecker 곡률의 평균; 짝수 치수 서브마니.접기, 이것은 서브매니폴드의 리만 미터법에 따라서만 불변량이다.이들의 결과는 내시 임베딩 정리를 가정할 수 있다면 일반적인 경우에 유효할 것이다.그러나 1956년 존 내쉬가 리만 다양체를 위한 그의 유명한 임베딩 정리를 발표했기 때문에, 이 정리는 그 때 구할 수 없었다.1943년 알렌도어퍼와 웨일은 H의 근사 정리를 처음 사용한 일반 사례에 대한 증거를 발표했다.휘트니는 리만다지관 분석 사례를 축소하기 위해, 그리고 나서 카르탄-자넷 지역 임베딩 정리의 도움을 받아 다지관의 "작은" 이웃들을 유클리드 공간에 등축적으로 삽입하여, 이들 임베디드 이웃들을 함께 패치하고 알렌도퍼와 펜첼의 위와 같은 정리를 적용하여 g를 확립할 수 있도록 했다.헛된 결과이것은 물론 정리가 다지관의 내적 불변성만을 포함한다는 이유로 만족스럽지 못하며, 그렇다면 정리의 유효성은 유클리드 공간에 그 내장에만 의존해서는 안 된다.웨일은 체른이 1943년 8월에 도착한 후 프린스턴에서 체른을 만났다.그는 체르누스에게 본질적인 증거가 있어야 한다고 말했는데 체르누스는 2주 안에 그것을 얻을 수 있었다.그 결과는 체른의 고전 논문 "폐쇄된 리만 다양체를 위한 가우스-보넷 공식의 간단한 본질적 증거"이다.알렌도어퍼, 펜첼, 알렌도어퍼, 웨일의 초기 작품은 본 논문에서 체른에 의해 인용되었다.알렌도어퍼와 웨일의 작품도 같은 주제와 관련된 그의 두 번째 논문에서 체른에 의해 인용되었다.^[4]

참고 항목

참조