총곡률

곡선의 차등 기하학적 형상에 대한 수학 연구에서는 함몰 평면 곡선의 총 곡면성은 호 길이에 대해 측정한 곡선을 따른 곡률의 정수다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}k\,ds.}$

닫힌 곡선의 총 곡률은 항상 2㎛의 정수 배수로 원점에 대한 단위 접선 벡터의 구불구불한 숫자 또는 그 지점의 단위 속도 벡터인 곡선의 각 지점에 할당되는 단위 원에 대한 지도의 정도와 같다.이 지도는 표면의 가우스 지도와 비슷하다.

표면과의 비교

국소 기하학적 불변제인 곡률과 지구 위상학적 불변제인 지수 사이의 이러한 관계는 가우스-보넷 정리 같은 고차원 리만 기하학으로 귀결되는 특징이 있다.

인비언스

휘트니-그루스타인 정리에 따르면, 곡선의 규칙적인 호모토피(homotopopy) 하에서는 총 곡률(total curtain)이 불변한다: 그것은 가우스 지도의 정도다.그러나 호모토피에서는 불변성이 아니다: 꼬임(정지)을 통과하면 회전수가 1로 바뀐다.

이와는 대조적으로, 점의 구불구불한 숫자는 점을 통과하지 않는 호모토피에서 불변하며, 점을 통과하면 1씩 변한다.

일반화

유한 일반화는 삼각형의 외부 각, 또는 보다 일반적으로 단순한 폴리곤이 회전수 1에 해당하는 360° = 2㎛ 라디안까지 더해지는 것이다.보다 일반적으로 자기자신에게 돌아가지 않는 폴리곤 사슬(180° 각도 없음)은 곡면성을 각도에서의 점 질량으로 해석하여 총 곡면성이 잘 정의되어 있다.

곡선의 총 절대 곡률은 총 곡률과 거의 동일한 방식으로 정의되지만 부호화된 곡률 대신 곡률의 절대값을 사용한다.평면에서 볼록한 곡선의 경우 2㎛이고, 비콘벡스 곡선의 경우 커진다.^[1]γ까지 발달할 수 있는 탄젠트를 평면으로 평평하게 하고, 결과 곡선의 총 곡률을 계산함으로써 더 높은 차원의 공간에서의 곡선으로 일반화할 수도 있다.즉, n차원 공간에서 곡선의 총 곡면성은

${\displaystyle \int _{a}^{b}\왼쪽 \putname {sgn} \kappa _{n-1}s\,ds}$

여기서 κ은_n−1 마지막 Frenet 곡률(곡선의 비틀림)이고 sgn은 기호함수다.

주어진 매듭을 나타내는 3차원 곡선의 최소 절대 곡률은 매듭의 불변성이다.이 불변성분은 언코트에 대해 2㎛의 값을 가지지만, 파리와 밀노르 정리에 의해 다른 매듭에 대해서는 최소 4㎛이다.^[2]

참조

• Kuhnel, Wolfgang (2005), Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3988-1 (Bruce Hunt에 의해 번역됨)
• Sullivan, John M. (2008), "Curves of finite total curvature", Discrete differential geometry, Oberwolfach Semin., vol. 38, Birkhäuser, Basel, pp. 137–161, arXiv:math/0606007, doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_7, MR 2405664