체르-윌 동형성

수학에서 체르-웨이일 동형체론은 M의 드 럼 코호몰로지 링의 계급을 나타내는 연결과 곡률 면에서 부드러운 다지관 M에 벡터 번들과 주요 번들의 위상학적 불변성을 계산하는 체르-웨이일 이론의 기초적인 구성이다.즉, 이론은 대수 위상 영역과 미분 기하학 영역 사이에 다리를 형성한다.일반화된 가우스-보넷 정리의 증거에 따라 1940년대 후반에 시잉-센 체른과 안드레 웨일에 의해 개발되었다.이 이론은 특성계급 이론의 중요한 단계였다.

Let G be a real or complex Lie group with Lie algebra ${\mathfrak {g}}$ , and let $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]$ denote the algebra of $\mathbb {C}$ -valued polynomials on ${\mathfrak {g}}$ (exactly the same argument works if we used $\mathbb {C}$ ${\$ $\mathbb {R}$ { $C}$ 이( $\mathbb {C}$ 가) 아닌 $\mathbb {R}$ $\mathb$ { $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ $}$ } } C [ $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ ${\$ { $g}}]^$ ${G}}$ be the subalgebra of fixed points in $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]$ under the adjoint action of G; that is, the subalgebra consisting of all polynomials f such that $f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)$ , for all g in G and x in ${\displaystyle {\$ $mathfrak{g$

$\mathbb {C}$ 에 G-번들 P 주체가 주어지면, C ${\$ { $C}$ -algebras $\mathbb {C}$ ,

{\displaystyle \mathb {C}[{\mathfak {g}]^

{G}\to

H

^{*}(M;\mathb {C}

\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )

체르-윌 동형성이라고 불리며, 여기서 오른쪽 코호몰리학은 드 람 코호몰리학이다.이 동형성은 주어진 묶음의 어떤 연결의 곡률에서 불변 다항식을 취함으로써 얻어진다.G가 콤팩트하거나 반단순이면 $G번들$ 분류공간의 코호몰로지 링인 $B$ G ${\displaystyle BG$ 는 대수 $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ [ $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ ] $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ G ${\$ 불변 다항식의 $\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ ${G}:$

H^{*}(BG;\mathb {C} )\cong \mathb {C}[{\mathfak {g}]^{G}.

(BG의 코호몰로지 링은 여전히 de Rham의 의미로 주어질 수 있다.

H^{k}(BG;\mathb {C} )=\varinjlim \operatorname {ker}(d\colon \Oomega^{k}(B_{j}G)\Oomega ^{k+1}(B_{j}G)/operatorname {im}d.

$BG=\varinjlim B_{j}G$ $BG=\varinjlim B_{j}G$ = $BG=\varinjlim B_{j}G$ → $BG=\varinjlim B_{j}G$ $BG=\varinjlim B_{j}G$ $BG=\varinjlim B_{j}G$ $BG=\varinjlim B_{j}G$ 및 $BG=\varinjlim B_{j}G$ $B_{j}G$ $B_{j}G$ $B_{j}G$ 이(가) 다지관일 $B_{j}G$ 때)

동형성의 정의

P에서 임의의 연결 형태 Ω을 선택하고, Ω을 관련 곡률 형태(예: $\Omega =D\omega$ $\Omega =D\omega$ $\Omega =D\omega$ $\Omega =D\omega$ {\ $displaystyle \Oomega =D\omega$ Ω의 외부 공변량 파생 모델인 Ω으로 한다. $f\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ $f\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ $f\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ [ $f\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ $f\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ $f\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}$ ${\$ { $g}]^$ ${G}}$ is a homogeneous polynomial function of degree k; i.e., $f(ax)=a^{k}f(x)$ for any complex number a and x in ${\mathfrak {g}}$ , then, viewing f as a symmetric multilinear functional on ${\textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}$ (see the ring 다항식 함수의 g)

f(\Displaystyle f(\Oomega )}

에 의해 주어진 P에 2k 형식은 2k 형식이다.

f(\Oomega )(v_{1},\dots,v_{2k}={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (v_{\sigma (2k-1)},v_{\sigma (2k)}))

where v_i are tangent vectors to P, $\epsilon _{\sigma }$ is the sign of the permutation $\sigma$ in the symmetric group on 2k numbers ${\mathfrak {S}}_{2k}$ (see Lie algebra-valued forms#Operations as well as Pfaffian).

If, moreover, f is invariant; i.e., $f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)$ , then one can show that $f(\Omega )$ is a closed form, it descends to a unique form on M and that the de Rham cohomology class of the form is independent of $\omega$ . First, $f(\Omega )$ ( $f(\Omega )$ ) $f(\Oomega )$ 이 $f(\Omega)$ (가) 닫힌 형태라는 것은 다음 두 개의 레마에서 다음과 같다.^[1]

Lemma 1: The form

f(\Omega )

on P descends to a (unique) form

{\overline {f}}(\Omega )

on M; i.e., there is a form on M that pulls-back to

f(\Omega )

.

Lema 2: P에 있는

\varphi

\varphi

\varphi

의 형식이 M에 있는 형식으로 내려간다면 d

d\varphi =D\varphi

=

d\varphi =D\varphi

d\varphi =D\varphi

{\displaystyle d\varphi =D\varphi

d\varphi =D\varphi

.

Indeed, Bianchi's second identity says $D\Omega =0$ and, since D is a graded derivation, $Df(\Omega )=0.$ Finally, Lemma 1 says $f(\Omega )$ satisfies the hypothesis of Lemma 2.

$\pi \colon P\to M$ 2를 보려면 : $\pi \colon P\to M$ : P $\pi \colon P\to M$ → $\pi \colon P\to M$ $\colon P\to M$ 을(를) 투영으로 $\pi \colon P\to M$ 하고 h를 수평 하위 공간에 $T_{u}P$ $T_{u}P$ $T_{u}P$ $T_{u}P$ 의 투영으로 한다.그렇다면 Leemma $d\pi (hv)=d\pi (v)$ 는 d $d\pi (hv)=d\pi (v)$ ( $d\pi (hv)=d\pi (v)$ v $d\pi (hv)=d\pi (v)$ ) = $d\pi (hv)=d\pi (v)$ $d\pi (hv)=d\pi (v)$ ( $d\pi (hv)=d\pi (v)$ $d\pi (hv)=d\pi (v)$ ${\displaystyle$ d\ $pi (hv)=d\pi (v)}($ $d\pi$ $d\pi$ ${\displaystyle$ d\ $pi }$ 의 커널은 정확히 수직 하위 공간이라는 $d\pi$ 사실의 결과물이다.Lemma 1, 첫 번째 노트

f(\DR_{g}(v_{1})),\dots,dR_{g}(v_{2k})=f(\Oomega )(v_{1},\dots,v_{2k}),\,R_{g}(u)=ug;

그 $R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} _{g^{-1}}\Omega$ 는 R $R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} _{g^{-1}}\Omega$ g $R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} _{g^{-1}}\Omega$ = $R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} _{g^{-1}}\Omega$ g - $R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} _{g^{-1}}\Omega$ 1 $R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} _{g^{-1}}\Omega$ Ω {\ $displaystyle R_$ {g $}^{*}\Oba$ =\ $operatorname {Ad} _{g^{-1}\Oba}$ 과 $R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad}_{{g^{{-1}}}}\Omega$ (와) f가 불변하기 때문이다.따라서 다음과 같은 공식으로 ${\overline {f}}(\Omega )$ $){\displaystyle {\overline{f}(\Oomega )}$ 을 정의할 수 있다.

{f}(\Oba){f}({v_{1}}},\dots, {\overline {v_{2k}}}}=f(\Oba)(v_{1},\dots ,v_{2k}),}

여기서 $v_{i}$ $v_{i}$ ${\$ 은 $v_{i}$ (는) v ${\overline {v_{i}}}$ 의 {\ $displaystyle {\displaystyle$ { $v_{i$ : $d\pi (v_{i})={\overline {v}}_{i}$ $d\pi (v_{i})={\overline {v}}_{i}$ 는 $d\pi (v_{i})={\overline {v}}_{i}$ = v " $d\pi (v_{i})={\overline {v}}_{i}$ i ${\$ 의 리프트. $={\overline{v}_{i$

다음으로 M에 ${\overline {f}}(\Omega )$ f ω $){\displaystyle {\overline{f}(\Oomega )}$ 의 de Rham cohomology 클래스는 연결 선택과 무관하다는 것을 보여준다.^[2] $\omega _{0},\omega _{1}$ $\omega _{0},\omega _{1}$ $\omega _{0},\omega _{1}$ $\omega _{0},\omega _{1}$ ${\$ 1}를 P에 임의의 연결 형태로 하고 $\omega _{0},\omega _{1}$ $p\colon P\times \mathbb {R} \to P$ : P $p\colon P\times \mathbb {R} \to P$ $p\colon P\times \mathbb {R} \to P$ → $p\colon P\times \mathbb {R} \to P$ ${\colon P\times \mathb {R} \to P}$ 을(를) 투영으로 $p\colon P\times \mathbb {R} \to P$ 한다.놓다

\omega '=t\,p^{**}\omega _{1}+(1-t)\,p^{*}\omega _{0}

where t is a smooth function on $P\times \mathbb {R}$ given by $(x,s)\mapsto s$ . Let $\Omega ',\Omega _{0},\Omega _{1}$ be the curvature forms of $\omega ',\omega _{0},\omega _{1}$ . Let $i_{s}:M\to M\times \mathbb {R} ,\,x\mapsto (x,s)$ ${\displaystyle i_{s}:$ $M\to M\times \mathb {R},\,x\mapsto(x,s)}$ 이(가) 포함 항목이다 $i_{s}:M\to M\times \mathbb {R} ,\,x\mapsto (x,s)$ .그러면 $i_{0}$ $i_{0}$ ${\$ 은(는 $)$ $i_{1}$ 1 {\ $displaystyle i_{1$ }에 대해 동일시된다 $i_{0}$ $i_{1}$ Thus, $i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')$ and $i_{1}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')$ belong to the same de Rham cohomology class by the homotopy invariance of de Rham cohomology.마지막으로, 자연성과 하강하는 고유성으로,

i_{0}^{*}{\overline {f}(\Oomega ')={\overline {f}(\Oomega _{0})}

그리고 $\Omega _{1}$ 1 $\Omega _{1}$ {\ $displaystyle \Oomega_{1$ 따라서 f ${\overline {f}}(\Omega _{0}),{\overline {f}}(\Omega _{1})$ (Ω ${\overline {f}}(\Omega _{0}),{\overline {f}}(\Omega _{1})$ ) ${\overline {f}}(\Omega _{0}),{\overline {f}}(\Omega _{1})$ , ${\overline {f}}(\Omega _{0}),{\overline {f}}(\Omega _{1})$ $){\displaystyle {\overline{f}(\Oomega_{0$ }),{\ $overline{f$ }(\ $Oomega_{1})$ 은 동일한 코호몰로지 클래스에 속한다 ${\overline {f}}(\Omega _{0}),{\overline {f}}(\Omega _{1})$ .

따라서 선형 지도가 제공된다: (cf. Lema 1)

\mathfrak {g}_{k}^{G}\to H^{2k}(M;\mathbb {C}),\,f\mapsto \left[{\overline {f}(\Oomega )\right].

실제로 다음과 같은 방법으로 지도를 얻었는지 확인할 수 있다.

\mathb{C} [{\mathfrac {g}}]^{G}\to H^{*}(M;\mathb {C} )

대수적 동형상이다.

예:체르 계급과 체르 인성

Let $G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ = $G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ $G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ $G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ ( $G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ ) ${\displaystyle$ G $=\operatorname {GL} _{n}(\mathb {C} )$ 과 $G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )$ = ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )$ ( ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )$ ){n} ${\mathfrak{g}={\mathfak{g}}}}{n}}}(\mathb {C$ )의 ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )$ Liev $.$ ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 의 ${\mathfrak {g}}$ 각 x에 대해 t:^[3]

\det \left(I-t{x \over 2\pi i}\오른쪽)=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)t^{k}}}}}}}

여기서 나는 -1의 제곱근이다.그 다음 $f_{k}$ $f_{k}$ ${\$ 는 방정식의 왼쪽이 그렇으므로 ${\mathfrak {g}}$ ${\$ 에 불변 다항식이다 $f_{k}$ ${\mathfrak {g}}$ 다지관 M의 순도 n의 부드러운 복합 벡터 번들 E의 k-th Chener 클래스:

c_{k}(E)\in H^{2k}(M,\mathb {Z})

E(또는 보다 정확하게 E의 프레임 묶음)가 정의한 체르-웨이일 동형상(Chern-Weil homomorphism)에 $f_{k}$ 따른 $f_{k}$ $f_{k}$ ${\$ 의 이미지로 주어진다.t = 1이면 $\det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)$ - x $\det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)$ $\det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)$ i $\det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)$ ) $\det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)$ = 1 $\det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)$ + $\det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)$ $\det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)$ ( x $\det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)$ ) $\det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)$ + $\det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)$ + $\det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)$ ( $\det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)$ ) ${\displaystyle \det \left(I-{x \over 2\pi$ i $}\right)=1+f_{1}+cdots +f_{n}(x)$ 는 불변성 다항식 다항식이다 $\det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)$ .E의 체르누스 계급 총계는 이 다항식의 이미지다. 즉,

c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E).

정의에서 직접, 위에 주어진 $c_{j}$ $c_{j}$ ${\$ 와 $c_{j}$ c가 체르누스 계급의 공리를 만족한다는 것을 보여줄 수 있다.예를 들어, 휘트니 합 공식의 경우, 우리는

[\displaystyle c_{t}(E)=[\det \left(I-t{\Oomega /2\pi i}\오른쪽)],}

여기서 벡터 번들 E의 M에 곡률 2-폼에 대한 $\Omega$ $\Omega$ ${\displaystyle \Oomega$ }을(를) 작성했다(따라서 E의 프레임 번들에 곡률 폼의 하강이 된다).The Chern–Weil homomorphism is the same if one uses this $\Omega$ . Now, suppose E is a direct sum of vector bundles $E_{i}$ 's and $\Omega _{i}$ the curvature form of $E_{i}$ so that, in the matrix term, $\Omega$ $\Omega$ 대각선에 Ω이_I 있는 블록 대각 행렬이다.Then, since ${\textstyle \det(I-t{\frac {\Omega }{2\pi i}})=\det(I-t{\frac {\Omega _{1}}{2\pi i}})\wedge \dots \wedge \det(I-t{\frac {\Omega _{m}}{2\pi i}})}$ , we have:

c_{t}(E)=c_{t}(E_{1})\cdots c_{t}(E_{m})

오른쪽의 곱셈은 코호몰로지 링의 곱셈이다: 컵 제품.정규화 속성의 경우 복잡한 프로젝트 라인의 첫 번째 체르누스 클래스를 계산한다. 체르누스 클래스# 참조.예: 리만 구의 복잡한 접선 번들.

$\Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}$ $\Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}$ $\Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}$ = $\Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}$ $\Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}$ ′ = $\Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}$ $\Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}$ + I $\Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}$ $\Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}$ $\Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}$ $\Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}$ $\Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}$ ${\$ 이후 $I_{E}\otimes \Oomega _{E$ ^[4] 다음과 같은 기능도 제공한다.

c_{1}(E\otimes E')=c_{1}(E)\operatorname {rank}(E')+\operatorname {rank}(E)c_{1}(E').

마지막으로 E의 체르누스 문자는 에 의해 주어진다.

\operatorname {ch}(E)=[\operatorname {tr}(e^{-\Oomega /2\pi i})\in H^{*}(M,\mathb {Q} )

여기서 $\Omega$ $\Oomega$ 은 $\Omega$ ( $\Omega$ ${\displaystyle \Oomega$ }은 $\Omega$ $($ 는) 0일전성이므로 $\Omega$ 으로 된 다항식 ${\displaystyle \Oomega}).$ 그러면 ch는 링 동형상:

\operatorname {ch}(E\oplus F)=\operatorname {ch}(E)+\operatorname {ch}(F)\\operatorname {ch}(E\otimes F)=\operatorname {ch}(F)\operatorname {ch}(F).

자, 코호몰로지 링 $H^{*}(M,\mathbb {C} )$ $H^{*}(M,\mathbb {C} )$ ( $H^{*}(M,\mathbb {C} )$ , C $H^{*}(M,\mathbb {C} )$ ) ${\displaystyle$ H $^{*}(M,\mathb {C} )}$ 을(를) 포함하는 일부 링 R에서 $H^{*}(M,\mathbb {C} )$ t:에 다항식의 인자화가 있다고 가정합시다.

c_{t}(E)=\prod _{j=0}^{n}(1+\lambda _{j}t)

$\lambda _{j}$ $\lambda _{j}$ ${\$ 가 $\lambda _{j}$ R에 있는 곳(때로는 체르누스 루트라고도 한다)그런 $\operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _{j}}$ ch $\operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _{j}}$ ( $\operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _{j}}$ ) = $\operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _{j}}$ $\operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _{j}}$ j $\operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _{j}}$ {\ $displaystyle \operatorname {ch}(E)=e^{\lambda _{j$

예: Pontrjagin 클래스

E가 다지관 M의 매끄러운 리얼 벡터 번들일 경우 E의 k-th Pontrjagin 등급은 다음과 같이 주어진다.

p_{k}(E)=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathb {C})\in H^{4k}(M;\mathb {Z} )

where we wrote $E\otimes \mathbb {C}$ for the complexification of E. Equivalently, it is the image under the Chern–Weil homomorphism of the invariant polynomial $g_{2k}$ on ${\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )$ given by:

\operatorname {det} \left(I-t{x \over 2\pi }\\right)=\sum _{k=0}^{ng_{k}(x)t^{k}.

홀로모픽 벡터 번들에 대한 동형성

E를 복잡한 다지관 M에 있는 홀로모르픽(복잡한) 벡터 번들로 한다.일부 은둔자 측정에 $\Omega$ E의 곡률 $\Omega$ 형태 Ω {\displaystyle $\Oomega$ }은 단순한 2-형식이 아니라 사실상 a (1, 1)형식(홀로모르픽 벡터 번들 참조)이다.단일형 벡터 번들에 대한 은둔자 측정 기준).따라서 체르노-윌 동형성은 다음과 같은 형태를 가정한다: $G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ = $G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ $G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ $G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ ( C $G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ ) $G=\operatorname {GL} _{n}(\mathb {C$ ) $G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ ,

\mathb {C}[{\mathfak {g}]_{k}\to H^{k,k}(M;\mathb {C}),f\mapsto[f(\Oomega )]]

메모들

^ 코바야시-노미즈 1969, Ch. XII. harvnb 오류: 대상 없음: CATEREFKobyashi-Nomizz1969 (도움말)
^ 여기서 연결 선택의 독립성에 대한 논거는 다음과 같다.아킬 매튜, 고다이라 소멸에 관한 노트"Archived copy" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2014-12-17. Retrieved 2014-12-11.{{cite web}}: CS1 maint: 제목(링크)으로 보관된 사본.주요 언급인 코바야시-노미즈에는 좀더 구체적인 논거를 제시한다.
^ 편집자 주:이 정의는 t가 있다는 것을 제외하고 참조와 일치한다.우리의 선택은 더 표준적인 것 같고 우리의 "북반" 기사와 일치한다.
^ Proof: By definition, $\nabla ^{E\otimes E'}(s\otimes s')=\nabla ^{E}s\otimes s'+s\otimes \nabla ^{E'}s'$ . Now compute the square of $\nabla ^{E\otimes E'}$ using Leibniz's rule.

참조

Bott, Raoul (1973), "On the Chern–Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups", Advances in Mathematics, 11 (3): 289–303, doi:10.1016/0001-8708(73)90012-1.
Chern, Shiing-Shen (1951), Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes.
Chern, Shiing-Shen (1995), Complex Manifolds Without Potential Theory, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0. (이 책의 부록 "특성계급 지오메트리"는 특성계급의 사상발전에 대한 매우 깔끔하고 심오한 소개)
Chern, Shiing-Shen; Simons, James (1974), "Characteristic forms and geometric invariants", Annals of Mathematics, Second Series, 99 (1): 48–69, doi:10.2307/1971013, JSTOR 1971013.
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1963), Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 (new ed.), Wiley-Interscience (published 2004), MR 0152974.
Narasimhan, M. S.; Ramanan, S. (1961), "Existence of universal connections" (PDF), American Journal of Mathematics, 83 (3): 563–572, doi:10.2307/2372896, hdl:10338.dmlcz/700905, JSTOR 2372896, MR 0133772.
Morita, Shigeyuki (2000), "Geometry of Differential Forms", Translations of Mathematical Monographs, 201, MR 1851352.

추가 읽기

Freed, Daniel S.; Hopkins, Michael J. (2013). "Chern-Weil forms and abstract homotopy theory". Bulletin of the American Mathematical Society. (N.S.). 50 (3): 431–468. arXiv:1301.5959. doi:10.1090/S0273-0979-2013-01415-0. MR 3049871.

[1] 코바야시-노미즈 1969, Ch. XII. harvnb 오류: 대상 없음: CATEREFKobyashi-Nomizz1969 (도움말)

[2] 여기서 연결 선택의 독립성에 대한 논거는 다음과 같다.아킬 매튜, 고다이라 소멸에 관한 노트"Archived copy" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2014-12-17. Retrieved 2014-12-11.{{cite web}}: CS1 maint: 제목(링크)으로 보관된 사본.주요 언급인 코바야시-노미즈에는 좀더 구체적인 논거를 제시한다.

[3] 편집자 주:이 정의는 t가 있다는 것을 제외하고 참조와 일치한다.우리의 선택은 더 표준적인 것 같고 우리의 "북반" 기사와 일치한다.

[4] Proof: By definition, $\nabla ^{E\otimes E'}(s\otimes s')=\nabla ^{E}s\otimes s'+s\otimes \nabla ^{E'}s'$ . Now compute the square of $\nabla ^{E\otimes E'}$ using Leibniz's rule.

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