링크(knot 이론)

수학적 매듭 이론에서, 연결은 교차하지 않지만 함께 연결될 수 있는 매듭의 집합이다.매듭은 한 요소와의 연결로 설명할 수 있다.연결과 매듭은 매듭 이론이라고 불리는 수학의 한 분과에서 연구된다.이 정의에 내포되어 있는 것은 보통 언링크라고 하는 사소한 참조 링크가 있지만, 그 단어 또한 때로는 사소한 링크의 개념이 없는 맥락에서 사용된다.

예를 들어, 3차원 공간에서 2개의 공차원 연결고리는 3차원 유클리드 공간(또는 종종 3-sphere)의 하위 공간이며, 그 연결 구성요소는 원에 동형이다.

둘 이상의 구성요소를 가진 링크의 가장 단순한 비경쟁적인 예를 Hopf 링크라고 하는데, 이것은 한 번 함께 연결된 두 개의 원(또는 Unknots)으로 구성되어 있다.보로미아 고리 안의 원은 두 개가 직접 연결되어 있지 않음에도 불구하고 집합적으로 연결되어 있다.따라서 보로미아 링크는 브룬어 링크를 형성하며 사실 그러한 링크는 가장 단순한 링크로 구성된다.

일반화

링크의 개념은 여러 가지 방법으로 일반화될 수 있다.

일반 다지관

종종 링크라는 단어는 제한된 수의 구들의 분리된 결합인 ${\displaystyle S^{}}$ j ${\$$displaystyle$ S$^{n}$에 대한$$ 구 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$$displaystyle S^{j}$의 하위 관리형태를 설명하기 위해 사용된다$.$

전체적으로 볼 때, 링크라는 단어는 매듭이라는 단어와 본질적으로 같다. 그 맥락은 한 사람이 다지관 N의 하위 관리형 M(사소하게 내장되는 것으로 간주됨)과 M의 비독점적 내장형 M을 N에 가지고 있다는 것인데, 두 번째 임베딩이 1에 동위원소가 아니라는 점에서 비독점적이다.M이 분리되어 있으면 임베딩을 링크(또는 링크되어 있다고 한다)라고 한다.M이 연결되면 매듭이라고 한다.

엉킴, 문자열 링크 및 땋기

(1차원) 링크는 원의 임베딩으로 정의되지만, 브레이드 이론에서와 같이 임베디드 간격(스트랜드)을 고려하는 것이 종종 흥미롭고 특히 기술적으로 유용하다.

가장 일반적으로 엉클을^[1][2] 고려할 수 있다 – 엉클은 내장형이다.

${\displaystyle T\colon X\to \mathbf {R} ^{2}\time I}$

$경계{\displaystyle }$$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ X${\displaystyle }$) ${\displaystyle (X$${\displaystyle ,\backslash }$$partial X)}$을(를) 평면에$$ 곱한 (smooth) 콤팩트 1-manifold에서 경계 $T{\displaystyle (}$ (${\displaystyle \mathrm{}X}$ )${\displaystyle I$$=[0,1],$ 경계$$ T($partial X)}$이(으$$$)$에 포함되도록 한다.

${\displaystyle \mathbf{R}}$ ${\displaystyle \times }${ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \time \{0$${\displaystyle ,1\backslash \}\}}$ =$displaystyle \{0,1\}=\partial I}).$

엉클의 유형은 다지관 X이며, $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle X}$. ${\displaystyle \partial$ X$.}$의 고정 내장형이다.

Concretely, a connected compact 1-manifold with boundary is an interval ${\displaystyle I=[0,1]}$ or a circle ${\displaystyle S^{1}}$ (compactness rules out the open interval ${\displaystyle (0,1)}$ and the half-open interval ${\displaystyle [0,1),}$ neither of which yields non-tri오픈 엔드 이후의 바이알 임베딩은 그것들이 한 점으로 축소될 수 있다는 것을 의미하므로, 아마도 단절된 콤팩트 1 매니폴드는 n개의 간격 $I{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$과 m 원 S ${\displaystyle 1^{}}$의${\displaystyle {}^{}}$집합이다$.$ {\$displaysty S^{1$}.} X의 경계가 있는 조건$$.

${\displaystyle \mathbf {R} \time \{0,1\}}$

간격은 두 선을 연결하거나 한 선에 두 점을 연결하지만 원에는 아무런 조건도 부과하지 않는다.접선을 수직 방향(I), 두 선 사이에 놓여 있거나 연결할 수 있는 것으로 볼 수 있다.

(${\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \time0}$ 및$$ $R{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \time1})),$

그리고 나서 2차원 수평 방향으로 움직일 수 있다(${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$

이 선들 사이에; 매듭 다이어그램과 유사한, 엉킨 도표를 형성하기 위해 투영할 수 있다.

엉킨 부분에는 링크(X가 원으로만 구성된 경우), 브레이드 등이 포함된다. 예를 들어, 두 선을 그 주위에 연결된 원과 함께 연결하는 가닥이 있다.

이러한 맥락에서 브레이드는 항상 아래로 내려가는 엉킴으로 정의되며, 파생상품은 항상 수직(I) 방향으로 0이 아닌 성분을 가진다.특히, 이 값은 간격만으로 구성되어야 하며, 그 자체로 이중으로 되돌아가서는 안 된다. 그러나 라인의 끝부분이 어디에 놓여있는지에 대해서는 규격이 만들어지지 않는다.

A string link is a tangle consisting of only intervals, with the ends of each strand required to lie at (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), ... – i.e., connecting the integers, and ending in the same order that they began (one may use any other fixed set of points); if this has ℓ components, we call it an "ℓ-component string link".끈 링크는 땋을 필요가 없다 – 오버핸드 매듭을 특징으로 하는 2개의 구성 요소 끈 링크와 같이 스스로 다시 땋을 수 있다.또한 끈 연결고리인 땋은 것을 순 땋은 것을 순 땋은 것이라고 하며, 통상적인 그런 관념과 일치한다.

엉킴과 끈 링크의 주요 기술적 가치는 그것들이 대수학적 구조를 가지고 있다는 것이다.탱글의 동위원소 클래스는 텐서 범주를 형성하는데, 범주 구조의 경우, 한 개의 하단 끝이 다른 쪽 끝의 상단 끝과 같을 경우(그래서 경계를 함께 꿰맬 수 있음), 그것들을 쌓아서 두 개의 탱글을 구성할 수 있다 – 그것들은 사소한 탱글도 필요로 하기 때문에, 정체성이 없기 때문에 문자 그대로 범주(지점)를 형성하지 않는다.수직 공간까지, 하지만 동위원소까지.텐서 구조는 엉킴의 대칭으로 주어진다. 하나는 다른 하나는 다른 것의 오른쪽에 놓는다.

고정 ℓ의 경우, ℓ-구성 요소 문자열 링크의 동위원소 클래스는 단노이드(모든 ℓ-구성 요소 문자열 링크를 구성할 수 있으며 ID가 있다)를 형성하지만, 문자열 링크의 동위원소 클래스는 invers를 가질 필요가 없기 때문에 그룹이 아니다.그러나 문자열 링크의 일치 클래스(따라서 호모토피 클래스도 포함)는 인버스(inverses)를 가지고 있는데, 여기서 문자열 링크를 거꾸로 뒤집으면 역이 주어지고, 따라서 그룹을 형성한다.

모든 링크는 스트링 링크를 형성하기 위해 분리될 수 있지만, 이는 고유하지는 않으며 링크의 불변수는 때때로 스트링 링크의 불변수로 이해될 수 있다 – 예를 들어, Milnor의 불변성에 대해서는 그러하다.닫힌 땋은 머리와 비교해 보십시오.

참고 항목

• 링크 번호
• 쌍곡선 링크
• 연결 해제
• 링크 그룹

참조