면(지오메트리)

고체 기하학에서 얼굴은 고형 물체의 경계의 일부를 이루는 평평한 표면(평면 영역)이며,^[1] 얼굴에만 의해 경계된 3차원 고형물은 다면체다.

다면체 및 고차원 다면체 기하학의 더 많은 기술적 처리에서, 용어는 보다 일반적인 다면체(어떤 치수의 다면체)의 어떤 차원의 요소를 의미하는데도 사용된다.^[2]

폴리곤 면

기초 기하학에서 얼굴은 다면체의 경계에 있는 다각형이다^{[note 1]}.^[2][3] 폴리곤 면의 다른 이름으로는 다면체와 유클리드 평면 타일이 있다.

예를 들어, 큐브를 묶은 6개의 사각형 중 어느 것도 큐브의 얼굴이다. 때때로 "얼굴"은 4-폴리토프의 2차원적 특징을 가리키는 데 쓰이기도 한다. 이러한 의미로 4차원 입체 테세락트는 24개의 사각형 면을 가지고 있으며, 각각 8입방세포 중 2개를 공유하고 있다.

Schléfli 기호에 의한 정규 예제

다면체	별다면체	유클리드 타일링	쌍곡선 타일링	4칸짜리
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
큐브에는 꼭지점당 3개의 정사각형 면이 있다.	작은 구멍이 뚫린 도데카헤드론은 꼭지점당 5개의 오각형 얼굴을 가지고 있다.	유클리드 평면의 사각형 타일링은 꼭지점당 4개의 정사각형 면을 가지고 있다.	오더-5 사각형 타일링은 꼭지점당 5개의 평방면을 가지고 있다.	테세락트는 가장자리당 3개의 정사각형 면을 가지고 있다.

다면체의 다각면 수

모든 볼록 다면체의 표면은 오일러 특성을 가지고 있다.

${\displaystyle V-E+F=2,}$

여기서 V는 정점의 수, E는 가장자리의 수, F는 면의 수입니다. 이 방정식은 오일러의 다면체 공식으로 알려져 있다. 따라서 면의 수는 정점 수에 대한 가장자리 수의 초과보다 2가 더 많다. 예를 들어, 큐브에는 12개의 가장자리와 8개의 정점이 있으며, 따라서 6개의 면이 있다.

k-face

고차원 기하학에서 폴리토프의 얼굴은 모든 차원의 특징이다.^[2][4][5] 치수 k의 얼굴을 k면이라고 한다. 예를 들어, 일반 다면체의 다각형 면은 2-faces이다. 집합 이론에서, 폴리토프의 얼굴 집합은 폴리토프 그 자체와 빈 집합을 포함하는데, 여기서 빈 집합은 -1의 "차원"이 주어진 일관성을 위한 것이다. 모든 n-폴리토프(n차원 폴리토프)의 경우 -1 ≤ k ≤ n.

예를 들어, 큐브의 면은 큐브 자체(3-면), 큐브(사각형) 면(2-페이스), (선형) 에지(1-페이스), (점) 정점(0-페이스) 및 빈 세트로 구성된다. 다음은 4차원 폴리토프의 얼굴이다.

• 4-표면 – 4차원 4-표면 자체
• 3차원 – 3차원 세포(심면)
• 2차원 – 2차원 능선(수평면)
• 1차원 모서리 – 1차원 모서리
• 0-높이 – 0차원 정점
• 치수가 -1인 빈 세트

다면 결합술과 같은 수학의 일부 영역에서, 폴리토프는 정의적으로 볼록하다. 형식적으로, 폴리토프 P의 면은 P의 내부로부터 경계가 분리되는 닫힌 반공간과 P의 교차점이다.^[6] 이 정의에서 폴리토프의 면 세트에는 폴리토프 자체와 빈 세트가 포함된다.^[4][5]

추상 폴리토페스 이론과 별 폴리토페스 이론과 같은 수학의 다른 영역에서는 볼록한 부분의 요건이 완화된다. 추상 이론은 여전히 일련의 얼굴들이 폴리토프 그 자체와 빈 세트를 포함하도록 요구한다.

셀 또는 3면

셀은 4차원 폴리토프 또는 3차원 테셀레이션 이상의 다면체 요소(3면)이다. 세포는 4-폴리탑과 3-허니컴의 면이다.

예:

Schléfli 기호에 의한 정규 예제

4각형 테두리		3-허니콤
{4,3,3}	{5,3,3}	{4,3,4}	{5,3,4}
큐빅은 가장자리당 3입방세포(3-faces)가 있다.	120세포는 가장자리당 3개의 도데카메랄세포(3-faces)를 가지고 있다.	큐빅 벌집합은 유클리드 3공간을 정육면체로 채우며, 가장자리당 4개의 셀(3-faces)이 있다.	order-4 도데카헤드럴 벌집모양은 가장자리당 4개씩 3차원 쌍곡선 공간을 채운다.

면 또는 (n - 1)-면

고차원 기하학에서 n-폴리토프의 면(하이퍼페이서라고도 함)^[7]은 (n-1)-페이스(폴리토프 자체보다 1이 적은 차원)이다.^[8] 폴리토프는 그 면에 의해 경계를 이룬다.

예를 들면 다음과 같다.

• 선 세그먼트의 면은 0-페이스 또는 정점이다.
• 폴리곤의 면은 그 가장자리 또는 1-faces이다.
• 다면체나 평면 타일링의 면은 그것의 2면이다.
• 4D 폴리토프 또는 3-허니콤의 면은 그것의 3-페이스를 말한다.
• 5D 폴리토프 또는 4-허니콤의 면은 4-패스다.

능선 또는 (n - 2)면

관련 용어에서, n-폴리토프의 (n - 2)-페이스를 능선(하부판)이라고도 한다.^[9] 능선은 폴리토프나 벌집모양의 정확히 두 면 사이의 경계로 보인다.

예를 들면 다음과 같다.

• 2D 폴리곤 또는 1D 타일링의 능선은 0-페이스 또는 정점이다.
• 3D 다면체 또는 평면 타일링의 능선은 그것의 1-페이스 또는 가장자리 이다.
• 4D 폴리토프 또는 3-허니콤의 능선은 그것의 2-faces 또는 단순한 얼굴이다.
• 5D 폴리토프 또는 4-허니콤의 능선은 그것의 3-페이스를 말한다.

피크 또는 (n - 3) 면

n-폴리토프의 (n - 3)-페이스를 피크라고 부른다. 봉우리에는 일반 폴리토프나 벌집형에서 면과 능선의 회전 축이 있다.

예를 들면 다음과 같다.

• 3D 다면체 또는 평면 타일링의 피크는 0-페이스 또는 정점이다.
• 4D 폴리토프 또는 3-허니콤의 피크는 그것의 1-페이스 또는 가장자리 이다.
• 5D 폴리포프나 4-허니콤의 봉우리들은 그것의 2-패스 혹은 단순한 얼굴들이다.

참고 항목

• 면 격자

메모들

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Face". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Facet". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Side". MathWorld.