SO(8)

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학에서 SO(8)는 8차원 유클리드 공간에 작용하는 특수 직교군이다.4등급과 28등급의 실제적이거나 복잡한 단순 리 그룹일 수 있다.

스핀(8)

> ${\displaystyle n>2}$의 모든 특수 직교 그룹과 마찬가지로 SO(8)는 단순히₂ 연결되지 않고, Z에 대한 근본적인 그룹을 가지고 있다.SO(8)의 유니버설 커버는 스핀 그룹 스핀(8)이다.

중심

SO(8)의 중심은 Z₂, 대각 행렬 {±I}(2n)은 2n ≥ 4로 모든 SO(2n)의 중심은₂ Z×Z₂(모든 스핀(4n), 4n ≥ 4)이다.

삼위일체

SO(8)는 Dynkin 도표(Dynkin 분류에 따른 D₄)가 3배 대칭을 가지고 있다는 점에서 단순한 Lie 그룹들 사이에서 독특하다.이것은 삼위일체라고 알려진 스핀(8)의 독특한 특징을 낳는다.이와 관련, 스핀(8)의 기본 벡터 표현뿐만 아니라 두 개의 스피너 표현이 모두 8차원(다른 모든 스핀 그룹의 경우 스피너 표현은 벡터 표현보다 작거나 크다)이라는 사실이다.스핀(8)의 3성 자동형성은 이러한 세 가지 표현을 허용하는 대칭 그룹₃ S에 이형화된 스핀(8)의 외부 자동형 그룹에 산다.자동형성 그룹은 Z₂ x Z₂ 중심에서 작용한다(S에₃ 대한 자동형성 그룹 이형성을 가지기도 하며, S₃ ≅GL(2,2)이라는 두 개의 원소를 가진 유한장 위에 일반 선형 그룹으로 간주될 수도 있다.하나의 인용구가 스핀(8)을 중심 Z 한₂ 개씩 계산하여 이 대칭을 깨고 SO(8)를 얻었을 때, 나머지 외부 자동형 집단은 Z에₂ 불과하다.삼행성 대칭은 추가 지수 SO(8)/Z에₂ 다시 작용한다.

때때로 스핀(8)은 반간접적인 상품으로 분해되는 스핀(8)의 오토모피즘 집단으로서, 자연적으로 "인공된" 형태로 나타난다: 오토(Spin(8) ≅ PSO₃ (8) ⋊ S.

단위 옥토니언

SO(8)의 요소는 단위 옥톤으로 설명할 수 있으며, 이는 단위 복합 번호로 SO(2)의 요소를 설명할 수 있고, 단위 쿼터니언으로 SO(4)의 요소를 설명할 수 있는 방법과 유사하다.그러나 그 관계는 보다 복잡하다, 부분적으로는 팔순의 비연관성 때문이다.SO(8)의 일반적인 요소는 단위 옥토니언에 의한 7개의 좌경복제, 7개의 우경복제 및 7개의 쌍경복제의 산물이라고 설명할 수 있다(이중복제는 동일한 옥토니언에 의한 좌경복제와 우경복제의 구성이며, 무우팡 정체성에 따르는 옥토니언으로 인해 명확하지 않게 정의된다)..

8차원 공간에서 원점을 통한 반사의 쌍이 단위 옥토니언에 의한 쌍방향 쌍과 일치한다는 것을 먼저 보여줌으로써, SO(8)의 원소를 쌍방향 복제로 구성할 수 있음을 보여줄 수 있다.아래에 설명된 스핀(8)의 3성 자동형은 왼쪽 곱셈과 오른쪽 곱셈으로 유사한 구조를 제공한다.^[1]

팔괘와 삼괘

If ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {O} }$ and ${\displaystyle (xy)z=1}$, it can be shown that this is equivalent to ${\displaystyle x(yz)=1}$, meaning that ${\displaystyle xyz=1}$ without ambiguity.이 정체성을 보존하는 지도$$$({\displaystyle \alpha }$ ,${\displaystyle \beta }$ ,${\displaystyle \gamma }$) ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma$)의 3배수를 동위원소라고 하여 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\beta }^{}}$ z ${\displaystyle {\gamma }^{}}$= 1 ${\displaystyle x^{\alpha }y^{}z^{}z^{}}}=$1}라고 한다$.$동위원소의 세 가지 맵이 ${\displaystyle \mathrm{S}}$ O${\displaystyle }$( ${\displaystyle 8}$) ${\$$}$에 있는 경우, 동위원소를 직교 동위원소라고 한다.If ${\displaystyle \gamma \in \operatorname {SO(8)} }$, then following the above ${\displaystyle \gamma }$ can be described as the product of bimultiplications of unit octonions, say ${\displaystyle \gamma =B_{u_{1}}...$$B_{u_{n}}}$. Let ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \operatorname {SO(8)} }$ be the corresponding products of left and right multiplications by the conjugates (i.e., the multiplicative inverses) of the same unit octonions, so ${\displaystyle \alpha =L_{\overline {u_{1}}}..$$.L_{\overline{u_{n}}},$$\beta {\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {u\stackrel{}{{}_{}}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{{u\mathrm{}}_{}}}_{}{}_{}}$의${\displaystyle }$. . . ${\displaystyle {R\stackrel{}{{}_{}}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{u_{}}}_{}}$ 님의$\$$R_{\overline{u_{n$ 간단한 계산으로${\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \beta ,}$ $){\displaystyle (\alpha,\beta,\gamma )}$이 동위원소임을$$ 알 수 있다.As a result of the non-associativity of the octonions, the only other orthogonal isotopy for ${\displaystyle \gamma }$ is ${\displaystyle (-\alpha ,-\beta ,\gamma )}$. As the set of orthogonal isotopies produce a 2-to-1 cover of ${\displaystyle \operatorname {SO} (8)}$, they must in fact be ${\displaystyle \mathrm{Spin}}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle 8}$) ${\displaystyle \operatorname {Spin}(8)}$.

옥토니언의 곱셈형 인버스는 ${\displaystyle \mathrm{양면}}$이며, 이는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$= 1 ${\displaystyle xyz=1$}이$$y ${\displaystyle z}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ yz=$1}$과 같다는 $것$을 의미한다$.$This means that a given isotopy ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$ can be permuted cyclically to give two further isotopies ${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\alpha )}$ and ${\displaystyle (\gamma ,\alpha ,\beta )}$.이로써 ${\displaystyle \mathrm{스핀}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 8}$) ${\displaystyle \operatorname {Spin}(8)}$의 외측 오토모르퍼시즘 3이 생성된다$.$ 이러한 "삼중성" 오토모르퍼시즘은 스핀 그룹들 사이에서 예외적이다.${\displaystyle \mathrm{주어진}}$ $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \operatorname$${SO}(8)$에 대해$$$,$ 해당 맵 $\alpha {\displaystyle }$ ,${\displaystyle \beta }$ $\displaystyle \alpha ,\beta }$이(가) 서명하기 위해 고유하게 결정되는 것과 마찬가지로$$, so$\}$의 3성 자동화는 존재하지 않는다.^[1]

루트 시스템

${\displaystyle(\pm 1,\pm 1,0,0)}$

${\displaystyle(\pm 1,0,\pm 1,0)}$

${\displaystyle(\pm 1,0,0,\pm 1)}$

${\displaystyle(0,\pm 1,\pm 1.0)}$

${\displaystyle(0,\pm 1,0,\pm 1)}$

${\displaystyle(0,0,\pm 1,\pm 1)}$

웨일 그룹

그것의 Weyl/Coxeter 그룹은 4! × 8 = 192개의 원소를 가지고 있다.

카르탄 행렬

${\displaystyle {\pmatrix}2&-1&-1&-1\\-1&2&0&0\\1&0&0\\\1&0&0&2\end{pmatrix}}}$

참고 항목

• 옥토니언스
• 클리포드 대수
• G₂

참조

• Adams, J.F. (1996), Lectures on exceptional Lie groups, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, ISBN 0-226-00526-7
• Chevalley, Claude (1997), The algebraic theory of spinors and Clifford algebras, Collected works, vol. 2, Springer-Verlag, ISBN 3-540-57063-2 (원래 1954년 컬럼비아 대학 출판부에서 발행)
• Porteous, Ian R. (1995), Clifford algebras and the classical groups, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 50, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55177-3