클리포드 평행

타원형 기하학에서 두 선은 클리포드 평행선 또는 파라타틱 선으로, 이들 선 사이의 수직 거리가 포인트에서 포인트로 일정하다. 이 개념은 윌리엄 킹던 클리퍼드가 타원형 공간에서 처음 연구한 것으로 최소 3차원의 공간에서만 나타난다. 평행선은 등거리의 특성을 가지기 때문에 타원형 기하학의 "선"은 지오데틱 곡선이고 유클리드 기하학의 선과는 달리 유한한 길이지만 유클리드 기하학에서 "병렬"이라는 용어를 전용했다.

쿼터니온의 대수학은 클리포드 평행성이 명시적으로 만들어지는 타원 공간의 서술적 기하학을 제공한다.

소개

타원 공간의 1에 있는 선은 고정 축 r을 가진 버시어로 설명된다.^[1]

${\displaystyle \lbrace e^{ar}\ 0\leq a<\pi \rbrace }$

타원 공간의 임의 지점 u의 경우, 이 선과 평행한 두 개의 클리포드가 u를 통과한다. 오른쪽 클리포드 평행은

${\displaystyle \lbrace ue^{ar}\ 0\leq a<\pi \rbrace ,}$

그리고 왼쪽 클리포드 평행은

${\displaystyle \lbrace e^{ar}u:\ 0\leq a<\pi \rbrace .}$

일반화 클리포드 평행성

클리포드의 원래 정의는 곡선 평행선이었지만 개념은 둘 이상의 차원에 있는 클리포드 평행 객체에 일반화된다.^[2] 4차원 유클리드 공간에서 1, 2, 3, 4차원의 클리포드 평행 물체는 이등변성 회전에 의해 관련된다. 클리포드 병렬과 이소클린 회전은 일반 4 폴리토프의 특성을 나타내는 SO(4) 대칭과 밀접하게 관련된 측면이다.

클리포드 표면

클리포드와 평행한 다른 선을 회전시키면 클리포드 표면이 생성된다.

클리포드는 표면의 점들을 통해 평행하게 된다. 모두 표면에 모두 놓여있다. 따라서 클리포드 표면은 모든 점이 표면에 각각 포함된 두 개의 선에 있기 때문에 지배된 표면이다.

quaternion에서 마이너스 1의 두 제곱근에 r과 s라고 쓰여진 것을 보면, 그들을 통과하는 클리포드 표면은 다음과^[1][3] 같이 주어진다.

${\displaystyle \lbrace e^{ar}e^{bs}\0\leq a,b<\pi \rbrace .}$

역사

클리포드 유사점은 1873년 영국 수학자 윌리엄 킹돈 클리포드에 의해 처음 묘사되었다.^[4]

1900년에 귀도 푸비니는 타원형 공간에서 클리포드의 평행성에 관한 박사 논문을 썼다.^[5]

1931년에 하인츠 홉프는 클리포드 유사점을 이용하여 홉프 지도를 만들었다.^[6]

2016년 한스 하블라이섹은 클리포드 평행성과 클라인 사분면에 외부 평면이 일대일 일치한다는 것을 보여주었다.^[7]

참고 항목

• 클리포드 토루스
• 일반 4폴리톱

인용구

참조