삼각형의 근골과 외골

기하학에서 삼각형의 근골이나 새겨진 원은 삼각형에 포함된 가장 큰 원이다. 삼각형은 삼면에 접한다. 근친상간 중심은 삼각형의 인센티브로 불리는 삼각형의 중심이다.^[1]

삼각형의 외부 또는 생략된 원은^[2] 삼각형 외부에 놓여 있는 원이며, 삼각형의 한쪽 면에 접하고 다른 두 개의 연장선에 접한다. 모든 삼각형에는 세 개의 뚜렷한 외관이 있는데, 각각은 삼각형의 한쪽 면에 접한다.^[3]

인센티브로 불리는 근친의 중심은 세 개의 내부 각도 이등분자가 교차하는 것으로서 찾을 수 있다.^[3][4] excircle의 중심은 한 각(예를 들어 $꼭지점{\displaystyle }$ A ${\displaystyle$ A$\})$의 내부 이등분자와 다른 두 개의 외부 이등분자의 교차점이다. 이 방접원. 중심은 excenter 꼭지점에 비해 한{A\displaystyle}또는 A{A\displaystyle}.[3]의 excenter기 때문에 각도의 내부 이등분선은 외부 이등분선에 수직이다라고 불린 것은 내접원의 3방접원. 센터의 중심으로 같이orthocentric 시스템을 형성한다..[5]:우편 182

모든 일반 폴리곤은 모든 면에 접하는 경계가 있지만 모든 폴리곤이 접하는 것은 아니다; 접선 폴리곤은 접선이다. 원의 접선도 참조하십시오.

근친상간 및 인센티브 제공자

Suppose ${\displaystyle \triangle ABC}$ has an incircle with radius ${\displaystyle r}$ and center ${\displaystyle I}$. Let ${\displaystyle a}$ be the length of ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle b}$ the length of ${\displaystyle AC}$, and ${\displaystyle c}$ the length of ${\displaystyle AB}$. Also let ${\displaystyle T_{A}}$, ${\displaystyle T_{B}}$, and ${\displaystyle T_{C}}$ be the touchpoints where the incircle touches ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$, and ${\displaystyle AB}$.

장려자

인센티브는 $\angle {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle \mathrm{\angle }}$ B ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \angle \mathrm{}}$ B ${\displaystyle A}$ $C$의 내부 각도 이등분자$$$($internalg $ABC,\angle BCA,{\text, }}\angle BAC}$

꼭지점 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에서 $인센티브{\displaystyle }$ I ${\displaystyle I}$까지의 거리는 다음과 같다$$.^{[citation needed]}

${\displaystyle d(A,I)=c{\frac {\sin \왼쪽({\frac {B}{2}}\오른쪽)}}{\cos \left({\frac {C}{2}}\오른쪽)}}}=b{\frac {\sin \left({\frac {C}{2}}\오른쪽)}}{\cos \left({\frac {B}{2}}\오른쪽)}}}.}$

삼선 좌표

삼각형의 한 점에 대한 삼선 좌표는 삼각형 변에 대한 모든 거리의 비율이다. 인센티브 제공자는 삼각형의 모든 면으로부터 동일한 거리이기 때문에, 인센티브 제공자의 3행 좌표는 다음과^[6] 같다.

$1:1:1.}$

편심 좌표

삼각형 점의 이심 좌표는 점이 삼각형 꼭지점 위치의 가중 평균이 되도록 가중치를 부여한다. 인센티브를 위한 2차 좌표는 다음과^{[citation needed]} 같다.

${\displaystyle \ a:b:c}$

$여기$서, a$${\$displaystyle a$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$및 c ${\displaystyle c}$은 삼각형의 변의 길이 또는$$ (sine의 법칙을 사용하여) 다음에 의해 동등하게 (sine의 법칙을 사용하여) 된다.

$\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}$

여기서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$및 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은 세 꼭지점의 각이다.

데카르트 좌표, 평행 좌표.

인센티브자의 데카르트 좌표는 둘레에 상대적인 삼각형의 측면 길이(즉, 위에 제시된 이심 좌표를 사용하여 통일성에 합치도록 정규화)를 가중치로 사용하여 정점 세 개의 좌표에 대한 가중 평균이다. 가중치는 양성이므로 인센티브는 위에서 설명한 삼각형 안에 위치한다. If the three vertices are located at ${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$, ${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$, and ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$, and the sides opposite these vertices have corresponding lengths ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, an$d{\displaystyle }$ c $[\displaystyle$ c$\},$ 그러면 인센티브 제공자는^{[citation needed]}

${\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}$

반지름

$길이$가 ${\displaystyle a$ b ${\displaystyle b$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$인 삼각형 내근골의$$ inradius $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$은(는) 다음에^[7] 의해 주어진다$$.

${\displaystyle r}$= (${\displaystyle \sqrt{\frac{s}{}}}$- ${\displaystyle \sqrt{\frac{a}{}}}$)${\displaystyle \sqrt{\frac{}{}}}$( ${\displaystyle \sqrt{\frac{s}{}}}$- b${\displaystyle \sqrt{\frac{}{}}}$)${\displaystyle \sqrt{\frac{}{}}}$( ${\displaystyle \sqrt{\frac{s}{}}}$- c${\displaystyle \sqrt{\frac{}{}}}$) ${\displaystyle \sqrt{\frac{}{}}}$, ${\displaystyle$ r$={\sqrt$ {\sqrt ${\frac {(s-a)(s-b$)($c)}}{s}}}},$ 여기서$$ $s{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( + ${\displaystyle b}$+${\displaystyle c}$ )${\displaystyle }$/ 2. ${\displaystystyle$ s$=(a+c)/$$2).$$}$

헤론의 공식을 봐

정점까지의 거리

$"$$A{\displaystyle }$B C {\displaystyle $\triangle ABC}$의 $인센티브$를 I {\$displaystyle I}$로 나타내면$,$ 인센티브자에서 정점까지의 거리는 삼각형 변의 길이와 결합되어 방정식을^[8] 따른다.

$디스플레이 스타일(displaystyle {\frac}IA\cdot IA}{CA\cdot AB}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}=1.}$

게다가^[9]

${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}$

여기서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$과 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$은 각각 삼각형의 원곡선 및 인반선이다.

기타 속성

삼각형 중심들의 집합은 좌표-현상 좌표의 곱셈에 따라 집단의 구조를 부여받을 수 있다. 이 집단에서, 인센티브는 정체성 요소를 형성한다.^[6]

근친 및 반지름 특성

정점과 가장 가까운 접점 사이의 거리

정점에서 가장 가까운 두 지점까지의 거리는 동일하다. 예를 들어,^[10]

${\displaystyle d\ft(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\frac {1}{1}:{2}}(b+c-a).}$

기타 속성

근방의 접선점을 x {\$displaystyle x}$ 및 y$$ ${\displaystyle$ y$\},$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ 및 z$$ ${\displaystyle z$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ 및$$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ x$}$의 길이로 나눈다고 가정합시다$.$ 그러면 근친은 반경을^[11] 갖게 된다.

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}}$

그리고 삼각형의 넓이는

${\displaystyle \Delta ={\sqrt {xyz(x+y+z)}}.}$

길이 $측면$의 고도 a ${\displaystyle$ $a$$\},$ b ${\displaystyle$ b$\},$ $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\$${b$ $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 인라디우스 $r{\displaystyle }$ ${\displaystystyle r}$이 ${\displaystyle {이러한}_{}}$ 고도도의 조화 평균의 1/3이다$$.es; 즉,^[12]

${\displaystyle r={\frac {1}{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}+{\frac {1}{c}}}}.}$

${\displaystyle a$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$및 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ $변이{\displaystyle }$ 있는 삼각형의$$ 주근 반지름 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$과 원주근 반지름 $R{\displaystyle }$ ${\\displaystyle R}$의 곱은 다음과$$^{[5]: 189, #298(d)} 같다.

${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$

측면, 근교 반지름 및 원주 반지름 사이의 일부 관계는 다음과 같다.^[13]

${\displaystyle {\begin}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\a^{2}+b^{2}+c^{2}}}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{정렬}}}$

삼각형의 영역과 둘레를 반으로 갈라놓는 삼각형을 통과하는 선은 삼각형의 인센티브자(근골의 중심)를 통과한다. 주어진 삼각형에는 이것들 중 하나, 둘 또는 셋이 있다.^[14]

${\displaystyle A}$ B C {\$displaystyle \triangle ABC}$의 $중심부$를 I ${\displaystyle I}$으로 나타내며^[15]$,$

$디스플레이 스타일(displaystyle {\frac}IA\cdot IA}{CA\cdot AB}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}=1}$

그리고^{[16]: 121, #84}

${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}.}$

근친 반경은 고도 합계의 9분의 1 이하가 아니다.^{[17]: 289}

인센티브자 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에서 할례자 $O{\displaystyle }$ ${\displaystyle O}$까지의 제곱 거리는 다음과 같다$$^{[18]: 232} .

${\displaystyle O}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= R${\displaystyle }$( ${\displaystyle R}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$) ${\displaystyle OI^{2}=R(R-2r$

인센티브자에서 9점 원의 $중심$ N ${\displaystyle$ N$}$까지의 거리는^{[18]: 232}

${\displaystyle IN={\frac {1}{1}{1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.}$

인센티브는 내측 삼각형(정점이 측면의 중간점인 경우)에 있다.^{[18]: 233, Lemma 1}

삼각형 영역과의 관계

근친의 반경은 삼각형의 면적과 관련이 있다.^[19] 삼각형 면적에 대한 근골 면적 비율은 π 3 3$${\$displaystyle {\tfrac {\pi }{3{\sqrt{$^[20]3}}}}}보다 작거나 같다$.$

Suppose ${\displaystyle \triangle ABC}$ has an incircle with radius ${\displaystyle r}$ and center ${\displaystyle I}$. Let ${\displaystyle a}$ be the length of ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle b}$ the length of ${\displaystyle AC}$, and ${\displaystyle c}$ the length A ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB$ 이제 근친이 ${\displaystyle T_{}}$ $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$C}$의 어느 지점에서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle AB}$에 접하고 있으므로 $\angle {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \angle AT_{C}I$}I$}$가 옳다. ${\displaystyle {}_{}}$ 반경 ${\displaystyle T_{}}$ $C{\displaystyle {}_{}}$ I ${\displaystyle T_{C}$$I}$ is an altitude of ${\displaystyle \triangle IAB}$. Therefore, ${\displaystyle \triangle IAB}$ has base length ${\displaystyle c}$ and height ${\displaystyle r}$, and so has area ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}$. Similarly, ${\displaystyle \triangle IAC}$ has area ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}$ and ${\displaystyle \triangle IBC}$ has area ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}$. Since these three triangles decompose ${\displaystyle \triangle ABC}$, we see that the area ${\displaystyle \Delta {\text{ of }}\trian$$gle ABC}$은(^{[citation needed]}는) 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$= 1 ${\displaystyle \frac{2}{}}$(${\displaystyle a}$ +${\displaystyle b}$ +${\displaystyle c}$ ) ${\displaystyle r}$= $,$ {\$displaystyle \Delta ={\frac{1}{$1}{$1}{{\$frac($a+b+c)=r,},$ r${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta s}}{}}$,${\displaysty$ r$={\fraca},},},},},}$

여기서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$은$({\displaystyle \mathrm{}}$는) ${\displaystyle A}$ B ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$의 영역이고 $s{\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 2${\displaystyle (+b}$+ c${\displaystyle )}$ ${\displaysty s={\tfrac{1$}{$1}:{$1}($a+b+c)}$은 반퍼미터다.

다른 공식의 ${\displaystyle \mathrm{경우}},{\displaystyle \mathrm{}}$ "${\displaystyle {}_{}}$ T C$$A {\$displaystyle \triangle IT_{C}$A}을(를) 고려하십시오$.$ $한{\displaystyle }$ 쪽은 r ${\displaystyle r$$}$이고 다른 쪽은 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cot \frac{\cot }{}}$(A2$){\$r$\cot \left({\frac {A}{2}}\오른쪽$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \triangle IB'A}$도 마찬가지다$.$ 큰 삼각형은 6개의 삼각형으로 구성되며 전체 면적은 다음과 같다.^{[citation needed]}

${\displaystyle \Delta =r^{2}\왼쪽(\cot \왼쪽({\frac {A}{2}}\오른쪽)+\cot \왼쪽({\frac {B}{2}}\오른쪽)+\cot \왼쪽({\frac {C}{2}}\오른쪽)\오른쪽).}$

게르곤 삼각형과 점

게르고네 삼각형(A${\displaystyle \mathrm{}B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \triangle ABC$은 삼면에 있는 근교의 세 가지 접촉점에 의해 정의된다. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 맞은편의 터치 포인트는 T ${\displaystyle A_{}}$ ${\$ 등으로 표시된다$.$

${\displaystyle {}_{}}$ 게르곤 삼각형$,{\displaystyle \mathrm{}}$ T A ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\$$T_{C$는 ${\displaystyle \mathrm{접촉}}$ ${\displaystyle \mathrm{삼각형}}$ 또는 ${\displaystyle \mathrm{인터치}}$ 삼각형이라고도 하며, A${\displaystyle \mathrm{}}$B C ${\displaystyle \triangle ABC}$의$$영역은

${\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}}$

여기서 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K$ $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$및 s ${\displaystyle s}$은 원래 삼각형의 면적, 반지름 및 반시미터이며, ${\displaystyle a$ $b{\displaystyle }$ ${\$$displaystytle$ $b$ $}$은$$원래 삼각형의 측면 $길이$입니다. 이것은 바깥쪽 삼각형의 그것과 같은 영역이다.^[21]

$A{\displaystyle }$ T$$ {\$displaystyle AT_{A$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle T_{}}$ B ${\$ C$$ ${\displaystyle T_{}}$ C ${\$ 세 선은 ${\displaystyle {Gergonne}_{}}$ 지점이라는 단일 지점에서 교차하며$$ G $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ G_{$e}($또는 삼각형 중심 X)$$로 표시된다₇. 게르곤느 지점은 자신의 중앙에 뚫린 열린 직교좌현 원반 안에 있으며, 그 안에서 어떤 지점도 될 수 있다.^[22]

삼각형의 게르곤느 점에는 게르곤느 삼각형의 시메디언 점이라는 점 등 여러 가지 특성이 있다.^[23]

인터치 삼각형의 정점에 대한 트리린 좌표는 다음과^{[citation needed]} 같다.

• ${\displaystyle {\text{vertex}\,T_{A}=0:\sec ^{2}\왼쪽({\frac {B}{2}}\\오른쪽):\sec ^{2}\왼쪽({\frac {C}{2}}\오른쪽)}$
• ${\displaystyle {\text{vertex}}\,T_{B}=\sec ^{2}\왼쪽({\frac {A}{2}}\오른쪽):0:\sec ^{2}\왼쪽({\frac {C}{2}}\오른쪽)}}}$
• ${\displaystyle {\text{vertex}\,T_{C}=\sec ^{2}\왼쪽({\frac {A}{2}}\오른쪽):\sec ^{2}\왼쪽({\frac {B}{2}}\오른쪽):0.}$

게르곤 포인트에 대한 트리린 좌표는 다음과^{[citation needed]} 같다.

${\displaystyle \sec ^{2}\왼쪽({\frac {A}{2}}\오른쪽):\sec ^{2}\왼쪽({\frac {B}{2}}\오른쪽):\sec ^{2}\왼쪽({\frac {C}{2}}\오른쪽),}$

또는 동등하게, 시네스의 법칙에 따라

${\displaystyle {\frac {b+c-a}, {c+a}, {c+a-a}, {c+a-b}, {a+b}, {a+b-c}.}$

엑시클과 엑시터

삼각형의 외부 또는 생략된 원은^[24] 삼각형 외부에 놓여 있는 원이며, 삼각형의 한쪽 면에 접하고 다른 두 개의 연장선에 접한다. 모든 삼각형에는 세 개의 뚜렷한 외관이 있는데, 각각은 삼각형의 한쪽 면에 접한다.^[3]

excircle의 중심은 한 각(예를 들어 $꼭지점{\displaystyle }$ A ${\displaystyle$ A$\})$의 내부 이등분자와 다른 두 개의 외부 이등분자의 교차점이다. 이 방접원. 중심은 excenter 꼭지점에 비해 한{A\displaystyle}또는 A{A\displaystyle}.[3]의 excenter기 때문에 각도의 내부 이등분선은 외부 이등분선에 수직이다라고 불린 것은 내접원의 3방접원. 센터의 중심으로 같이orthocentric 시스템을 형성한다..[5]:182

외향 좌표

While the incenter of ${\displaystyle \triangle ABC}$ has trilinear coordinates ${\displaystyle 1:1:1}$, the excenters have trilinears ${\displaystyle -1:1:1}$, ${\displaystyle 1:-1:1}$, and ${\displaystyle 1:1:-1}$.^{[citation needed]}

엑라디야속

엑스트라디악의 반지름을 엑스트라디악이라고 한다.

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$\}($${\displaystyle {JA}_{}}$ ${\$에 중심을 둔 ${\displaystyle B}$ C ${\displaystyle BC$ 맞은편^[25][26] exradius는

${\displaystyle r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}},}$ where ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).$$}$

헤론의 공식을 봐

exradii 공식의^[27] 파생

기타 속성

위의 공식으로 볼 때, 근골은 항상 근골보다 크고, 가장 큰 근골은 가장 긴 면에 접하는 것이고, 가장 작은 근골은 가장 짧은 면에 접하는 것임을 알 수 있다. 또한 이러한 공식을 결합하면 다음과 같은 결과가 나온다.^[28]

${\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$

기타 excircle 특성

신체의 원형 선체는 내적으로 각 신체에 접하고 있으며 따라서 아폴로니우스 원이다.^[29] 이 아폴로니우스 원의 반지름은 ${\displaystyle \frac{{r\mathrm{}}^{}}{}}$ $2{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$+ s ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\$이며, $여기$서 r ${\displaystyle r}$은 근골 $반지름$이고 s$${\$displaysty$s}은$$ 삼각형의 반지름이다.^[30]

다음 관계는 inradius $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ r$\},$ curradius R ${\displaystyle$ $R$$\},$ $세미퍼미터{\displaystyle }$ s ${\displaystyle$ s$\},$ $r{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaysty r_{a$$\},$$$$r{\displaystyle {}_{}}$ ${\$${$${\displaystyle c_{}}$}, r{$c}$ 사이에 있다$.$^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r,\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2},\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}.\end{정렬}}}$

세 개의 운동 중심부를 통과하는 원은 반지름 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ $[\displaystyle 2R}$을(를) 가지고 있다$.$^[13]

$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이$({\displaystyle \mathrm{}}$가) A ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$의^[13] 직교점이라면$,$

${\displaystyle {\displaysty}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&=AH+BH+CH+2R,\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}+r^{2}+r^{2}&=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.\end{정렬}}}$

나글 삼각형과 나글 포인트

The Nagel triangle or extouch triangle of ${\displaystyle \triangle ABC}$ is denoted by the vertices ${\displaystyle T_{A}}$, ${\displaystyle T_{B}}$, and ${\displaystyle T_{C}}$ that are the three points where the excircles touch the reference ${\displaystyle \triangle ABC}$ and 여기서 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$는 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 등과 반대다$.$ 이것$={\displaystyle \mathrm{}{}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\$$T_{C}}$는${\displaystyle \mathrm{}}$"${\displaystyle A}$ B ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$의 extouch 삼각형이라고도 한다$.$ extouch의 원곡선$,{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle C_{}}$ ${\$$T_{C}}$는 만다트 원이라고 한다.^{[citation needed]}

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $C$ T ${\displaystyle C_{}}$ ${\$ 등 3개 라인은$$ 삼각형의 둘레를 2등분하여 분할한다.^{[citation needed]}

$(\displaystyle AB+)BT_{A}=AC+CT_{A}={\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(AB+)BC+AC\right).}$

분할자는 단일 점, 즉 삼각형의 Nagel 점 $N{\displaystyle {}_{}}$ a$$ {\$displaystyle$ N_${a}}($또는 삼각형 중심₈ X)에서 교차한다.

바깥쪽 삼각형의 정점에 대한 삼각형 좌표는 다음과^{[citation needed]} 같이 주어진다.

• ${\displaystyle {\text{vertex}\,T_{A}=0:\csc ^{2}\왼쪽({\frac {B}{2}}\오른쪽):\csc ^{2}\왼쪽({\frac {C}{2}}\오른쪽)}}$
• ${\displaystyle {\text{vertex}\,T_{B}=\csc ^{2}\왼쪽({\frac {A}{2}}\오른쪽):0:\csc ^{2}\왼쪽({\frac {C}{2}}\오른쪽)}}}$
• ${\displaystyle {\text{vertex}}\,T_{C}=\csc ^{2}\좌측({\frac {A}{2}}\우측):\csc ^{2}\좌측({\frac {B}{2}}\우측):0.}$

Nagel 지점의 트리린 좌표는 다음과^{[citation needed]} 같다.

${\displaystyle \csc^{2}\왼쪽({\frac {A}{2}}\오른쪽):\csc ^{2}\왼쪽({\frac {B}{2}}\오른쪽)\csc ^{2}\왼쪽({\frac {C}{2}}\오른쪽),}}$

또는 동등하게, 시네스의 법칙에 따라

${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}}Mos\\frac {c+a-b}{b}}Mos}Ms\frac {a+b-c}{c}}}.}$

나겔 점은 게르곤느 점의 동위원소 결합점이다.^{[citation needed]}

관련 구성

9점 원 및 Feuerbach 점

기하학에서 9점 원은 주어진 삼각형에 대해 구성할 수 있는 원이다. 그것은 삼각형에서 정의된 9개의 유의한 순환점을 통과하기 때문에 그렇게 이름이 붙여졌다. 이 9가지 포인트는 다음과 같다.^[31][32]

• 삼각형 각 변의 중간점
• 각 고도의 발
• 삼각형의 각 꼭지점에서 직교점까지의 선 세그먼트의 중간점(세 개의 고도가 만나는 곳, 이 선 세그먼트는 각각의 고도에 위치함)

1822년에 칼 푸에르바흐는 어떤 삼각형의 9점 원도 그 삼각형의 3개 원근에 외부적으로 접하고 내적으로 그 근방에 접한다는 것을 발견했다; 이 결과는 푸에르바흐의 정리라고 알려져 있다. 그는 다음과 같은 사실을 증명했다.^{[citation needed]}

... 삼각형 고도의 발을 통과하는 원은 4개의 원 모두에 접하고, 그 원은 삼각형의 세 면에 접하고 있다... (Feuerbach 1822) harv 오류: 대상 없음: CITREFuerbach1822 (도움말)

근친과 9점 원과 접하는 삼각형 중심을 푸에르바흐 포인트라고 한다.

인센티브 및 중심 외 삼각형

${\displaystyle \mathrm{세그먼트}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle BC$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}${\$displaystyle CA}$$및{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ B$${\$displaystyle AB}$과(와$$)의 내부 각도 이등분자의 교차점은 인센티브 삼각형의 정점이다$.{\displaystyle \mathrm{}}$ 인센티브 삼각형의 정점에 대한 3행 좌표는 다음과^{[citation needed]} 같다.

• ${\displaystyle \left({\text{vertex 반대쪽}\,A\right)=0:1:1}}$
• ${\displaystyle \left({\text{vertex 반대쪽}\,B\right)=1:0:1}$
• ${\displaystyle \왼쪽({\text{vertex 반대쪽}\,C\오른쪽)=1:1:0.}$

기준 삼각형의 중심 바깥쪽 삼각형은 기준 삼각형의 중심부에 정점이 있다. 옆면은 기준 삼각형의 외부 각도 이등분선에 있다(페이지 상단 그림 참조). 중심 바깥 삼각형의 정점에 대한 삼선 좌표는 다음과^{[citation needed]} 같다.

• ${\displaystyle({\text{vertex 반대쪽}\,A)=-1:1:1:1}$
• ${\displaystyle({\text{vertex 반대쪽}\,B)=1:-1:1}$
• ${\displaystyle({\text{vertex 반대쪽}\,C)=1:1:1:1-1.}$

원 네 개에 대한 방정식

Let ${\displaystyle x:y:z}$ be a variable point in trilinear coordinates, and let ${\displaystyle u=\cos ^{2}\left(A/2\right)}$, ${\displaystyle v=\cos ^{2}\left(B/2\right)}$, ${\displaystyle w=\cos ^{2}\left(C/2\right)}$$$위에 설명한 네 개의 원은 주어진 두 개의 방정식 중 하나에 의해 동등하게 주어진다.^{[33]: 210–215}

• 근친:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ - excircle$$:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {-x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ - excircle$$:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {-y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ - excircle$$:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\\pm {\sqrt {x}}\cos \left({\frac {A}{2}}\right)\pm {\sqrt {y}}\cos \left({\frac {B}{2}}\right)\pm {\sqrt {-z}}\cos \left({\frac {C}{2}}\right)&=0\end{aligned}}}$

오일러의 정리

오일러의 정리에는 삼각형으로 다음과 같이 되어 있다.

${\displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},}$

$여기$서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$과 r ${\displaystyle r}$은(는) 각각 회음부 및 인라디우스,$$d {\$displaystyle$ d$}$은 회음부와 장려자 사이의 거리다$$.

excircle의 경우 등식이 유사하다.

${\displaystyle \left(R+r_{\text{ex}\오른쪽)^{2}=d_{\text{ex}^{2}+r_{\text}^{ex}}}}$

여기서 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 excle 중 하나의 반지름이며$$, $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{ex}}_{}}$ ${\$는 원곡선과 해당 excercle의 중심 사이의 거리다.^[34][35][36]

다른 다각형에 대한 일반화

일부(그러나 전부는 아님) 사변측정감시자들은 근친상간이다. 이것을 접선 사변측정감시라고 한다. 그들의 많은 속성들 중에서 아마도 가장 중요한 것은 두 쌍의 반대편이 같은 합을 가지고 있다는 것이다. 이것을 피토 정리라고 한다.^{[citation needed]}

보다 일반적으로, 각 면에 접하는 원(즉, 각 면에 접하는 원)이 새겨진 변의 수를 임의로 갖는 다각형을 접선 다각형이라고 한다.^{[citation needed]}

참고 항목

• 할례곤
• 원형으로 둘러싸인 원 – 다각형의 모든 정점을 통과하는 원
• 탕전위 4각형
• Harcourt의 정리 – 옆면과 정점 거리에서 근방에 접하는 선까지 삼각형의 면적
• 원추형 및 결실형 – 삼각형의 정점을 통과하거나 삼각형의 횡방향에 접하는 원추형 단면
• 내접구
• 점의 힘
• 슈타이너 이넬리프스
• 접선 사각형
• 트릴륨 정리 – 새겨진 원과 곡선으로 된 원의 특성에 대한 진술

메모들

참조

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble, LCCN 52013504
• Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69012075
• Kimberling, Clark (1998). "Triangle Centers and Central Triangles". Congressus Numerantium (129): i–xxv, 1–295.
• Kiss, Sándor (2006). "The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles". Forum Geometricorum (6): 171–177.

외부 링크

• 삼각형 근골반경에 대한 공식의 도출
• Weisstein, Eric W. "Incircle". MathWorld.

상호적인

• 삼각형 인센티브 삼각형이 일반 폴리곤의 근친상간 상호작용 애니메이션
• 나침반과 직선자를 가진 삼각형의 인센티브/주변구 구성 대화형 애니메이션 시연
• 이퀄 인클레스 커트 더 코튼의 정리
• 오인클레스 커트더코트
• 사각사각형의 인클리스 쌍둥이를 잘라낸 것
• 인센티브를 위한 대화형 Java 애플릿