유한분할규칙

수학에서 유한분할규칙은 다각형이나 다른 2차원 형상을 작은 조각과 작은 조각으로 나누는 재귀적인 방법이다.어떤 의미에서 하위분할 규칙은 규칙적인 기하학적 프랙탈의 일반화다.똑같은 디자인을 반복하는 대신 단계별로 조금씩 차이가 있어 우아한 프랙탈 스타일을 유지하면서 더욱 풍성한 구조를 구현할 수 있다.^[1]분할 규칙은 쌍곡 다지기의 연구뿐만 아니라 건축, 생물학, 컴퓨터 과학에도 사용되어 왔다.대체 기울기는 잘 연구된 형태의 하위분할 규칙이다.

정의

분할 규칙은 폴리곤에 의해 평면의 타일링을 취하고 각 폴리곤을 더 작은 폴리곤으로 세분화하여 새로운 타일링으로 바꾼다.모든 폴리곤이 세분화할 수 있는 방법이 미세하게 많다면 유한하다.기와를 세분화하는 각각의 방법을 기와형이라고 한다.각 타일 유형은 라벨(일반적으로 문자)으로 표시된다.모든 타일 유형은 더 작은 타일 유형으로 세분된다.또한 각 가장자리는 정밀하게 많은 가장자리 유형에 따라 세분된다.유한분할 규칙은 타일형식으로 표시된 폴리곤으로 구성된 틸팅만 세분화할 수 있다.이러한 기울기를 소분법칙의 소분법 단지로 부른다.구획 규칙에 대한 구획 단지를 지정하면 몇 번이고 세분화하여 일련의 기울기를 얻을 수 있다.

예를 들어, 이진 하위 분할에는 하나의 타일 유형과 하나의 에지 유형이 있다.

유일한 기와형은 사방형이기 때문에 이항분할은 사방측정감시선으로 구성된 틸팅만 세분화할 수 있다.이는 분업 단지만이 사변측정감시법에 의한 기울기라는 것을 의미한다.타일링은 규칙적일 수 있지만 다음과 같이 할 필요는 없다.

여기서 우리는 4개의 4개의 사변측정감시선으로 이루어진 콤플렉스로 시작해서 그것을 두 번 세분화한다.모든 사방측정감시선은 A형 타일이다.

유한분할 규칙의 예

이심분할은 하나의 에지형(가장자리 두 개로 세분되는 것)과 하나의 타일형(작은 삼각형 여섯 개로 세분되는 삼각형)을 가진 소분할 규칙의 예다.모든 삼각형 표면은 이변성 소분할 복합체다.^[1]

펜로즈 타일링은 4개의 타일 유형에 대한 하위 분할 규칙에 의해 생성될 수 있다(아래 표의 곡선은 타일이 어떻게 서로 맞는지 보여주는 데만 도움이 된다).

이름	초기 타일	1세대	2세대	3세대
하프키이트
하프다트
태양
별

어떤 합리적인 지도는 유한분할 규칙을 낳는다.^[2]여기에는 대부분의 라테스 지도가 포함된다.^[3]

모든 프라임, 비분할 교대 매듭 또는 링크 보완물은 하위분할 규칙을 가지며, 일부 타일은 세분화되지 않으며, 링크 보완물의 경계에 해당된다.^[4]부분분할 규칙은 밤하늘이 매듭보완물에 사는 누군가에게 어떤 모습일지를 보여준다; 우주는 자신을 감싸기 때문에(즉, 단순히 연결되어 있지 않기 때문에), 관찰자는 보이는 우주가 무한한 패턴으로 반복되는 것을 볼 수 있을 것이다.소분류 규칙은 그 패턴을 설명한다.

하위분할 규칙은 기하학마다 다르게 보인다.이것은 쌍곡선 매듭이 아닌 삼포일 매듭의 하위 구분 규칙이다.

그리고 이것은 쌍곡선인 보로미아 링의 분할 규칙이다.

각각의 경우, 구(구)의 일부 타일링(즉, 밤하늘)에 소분법이 작용하겠지만, 한 개의 기와가 반복적으로 세분되는 것에 해당하는 밤하늘의 작은 부분을 그냥 그리기가 더 쉽다.삼포일 매듭에는 다음과 같은 일이 일어난다.

그리고 보로미아 반지의 경우:

상위 차원의 하위 분할 규칙

하위분할 규칙은 다른 차원으로 쉽게 일반화될 수 있다.^[5]예를 들어, 이심분할은 모든 차원에서 사용된다.또한 하이네-보렐 정리 증명에서와 같이 바이너리 분할은 다른 차원(하이네-보렐 정리증거)으로 일반화할 수 있다.

엄밀한 정의

유한분할 $규칙{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$은 다음과 같이 구성된다.^[1]

1. $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\$과 같은 고정된 셀 구조를 가진$,$ 서브 디비전 복합체라 불리는 유한 2차원 CW 복합체 ${\displaystyle S_{}}$ R ${\$은 닫힌 2-셀의 결합이다$$.We assume that for each closed 2-cell ${\displaystyle {\tilde {s}}}$ of ${\displaystyle S_{R}}$ there is a CW structure ${\displaystyle s}$ on a closed 2-disk such that ${\displaystyle s}$ has at least two vertices, the vertices and edges of ${\displaystyle s}$ are contained in ${\disp$$laystyle$ \$partial$ s$}$및 특성 맵 $\psi {\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle s}$→ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$s:$s\$오른쪽 $화살표 S_{R}}}$에 매핑되며, $이$ 맵은 s${\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$에 매핑되어 각 열린 셀에 대한 동형상동형성을 제한한다$$.

2. ${\displaystyle {유한}_{}}$ 2차원 CW 복합 $R{\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$) ${\displaystyle R(S_{R}}},$S R ${\$의 하위 구분$.$

3.${\displaystyle {연속}_{}}$ 셀룰러 맵 ${\displaystyle :}$ R : ${\displaystyle R}$ (${\displaystyle S_{}}$R ) → S ${\displaystyle R_{}}${\$displaystyle \phi$ _${R:R}\$R:$R(S_{R$})\$오른쪽 화살표$ S_${$R}}}}}}은 열린 셀에 대한 모든 제한은 열린 셀에 대한 동형성이라고 하는$$ 하위 분할 맵을 불렀다.

위의$$ 정의(주어진 특성 맵$$ ${\displaystyle$s})에서 각 CW $콤플렉스$ $s{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ s$}$을(를$)$ 타일형이라고 한다$.$

An ${\displaystyle R}$-complex for a subdivision rule ${\displaystyle R}$ is a 2-dimensional CW complex ${\displaystyle X}$ which is the union of its closed 2-cells, together with a continuous cellular map ${\displaystyle f:X\rightarrow S_{R}}$ whose restriction to each open cell is a homeomorphism.유도 지도 $f{\displaystyle }$: R${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$ )${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$ ${\$$displaystyle$ $R$$(X$)} {\$displaystyle$ f$:R(X)\rightarrow R(S_{R})}$이(가) 열려 있는 각 셀에 대한 동형성으로 제한하도록$$ 요구함으로써$$ ${\displaystystystyle$ $R$${\displaystyle X}$${\displaystyle )}$을 복합 R ($)$로 세분화할 수 있다.${\displaystyle R(X)}$ is again an ${\displaystyle R}$-complex with map ${\displaystyle \phi _{R}\circ f:R(X)\rightarrow S_{R}}$. By repeating this process, we obtain a sequence of subdivided ${\displaystyle R}$-complexes ${\displaystyle R^{n}(X)}$ with maps $$${\$$R^{n}(X)\오른쪽$ 화살표 $S_{R$

바이너리 분할은 다음과 같은 한 가지 예다.^[6]

스퀘어의 반대쪽 가장자리를 접착하여 스쿼디드 콤플렉스를 만들 수 있어 S ${\displaystyle R_{}}$ ${\$를 토러스(torus)로$$ 만들 수 있다.소분법 지도 ${\displaystyle \pi }$는 토러스에서 두 배의 지도로 자오선을 두 번, 경도를 두 번 감싼다.이것은 4배 커버 맵이다.정사각형으로 타일링된 평면은 이 하위분할 규칙에 대한 하위분할 복합체로서, 표준 커버 맵에 의해 제공된$$ 구조 지도 $f{\displaystyle }$: R ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (S_{}}$ R${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle f:\mathb {R} ^{2}\rightarrow R(S_{R})}$이 제공된다.구획에 따라 평면의 각 정사각형은 4분의 1 크기의 정사각형으로 세분된다.

준등계 특성

분할 규칙은 특정 공간의 준등계 특성을 연구하는데 사용될 수 있다.^[7]$하위분할{\displaystyle }$ 규칙$$R {\$displaystyle$R}과$$ 하위분할 $복합{\displaystyle }$ X {\$displaystyle$X}을$(를)$ 고려할 때$,$ 하위분할 규칙의 동작을 기록하는 기록 그래프라는 그래프를 구성할 수 있다.그래프는 R ${\displaystyle n^{}}$ (${\displaystyle {}^{}X}$) ${\displaystyle R^{n}(X)}$의 모든 단계와 R $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {(}^{}}$${\displaystyle {}^{}X}$) ${\displaystyle$ R$^{n}(X)$의 각 타일을 $연결$하는 ${\displaystyle {가장자리}^{}}$와 R${\displaystyle {}^{}n}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ( X ) ${\displaysty R^{n+1}(X)$의 하위 그래프로 구성된다$.$

역사 그래프의 준등계 특성은 분할 규칙을 사용하여 연구할 수 있다.예를 들어, 역사 그래프는 결합 리만 매핑 정리에 설명된 바와 같이, 분할 규칙이 일치할 때 정확히 쌍곡선 공간에 준 등축적이다.^[7]

적용들

이슬람 건축의 이슬람 기리히 타일은 유한한 분할 규칙으로 모델링할 수 있는 자기 유사 기울기이다.^[8]2007년, 하버드 대학의 피터 J. 루와 프린스턴 대학의 폴 J. 스타인하르트 교수는 과학 저널에 Penrose 기울기 (현행 1974년, 1964년경부터의 전신 작품)와 같은 자기 유사 프랙탈 퀘이크리스탈린 기울기와 일치하는 성질을 가지고 있다는 논문을 발표하였다.5세기에 걸쳐서 그들.^[8]

컴퓨터 그래픽의 분할 표면은 분할 규칙을 사용하여 주어진 정밀도 수준으로 표면을 다듬는다.이러한 분할 표면(Catmull-Clark 분할 표면 등)은 폴리곤 메시(3D 애니메이션 영화에 사용되는 종류)를 취하여 서로 다른 반복 공식에 따라 포인트를 추가 및 이동함으로써 더 많은 폴리곤이 있는 메쉬에 재조정한다.^[9]비록 이 과정에서 많은 지점이 이동되지만, 각각의 새로운 메쉬는 결합적으로 구 메쉬의 하위분할이다(구 메쉬의 모든 가장자리와 꼭지점에 대해 새로운 가장자리와 정점을 더하여 새로운 가장자리와 정점을 식별할 수 있다는 것을 의미한다).

생물생물의 대규모 성장 패턴 연구에 캐논, 플로이드, 패리(2000년)가 준분할 규정을 적용했다.^[6]캐논, 플로이드, 패리는 수학적 성장 모델을 만들어냈는데, 이는 단순한 유한 분할 규칙에 의해 결정된 어떤 시스템은 지역 분할 법칙이 그대로 유지됨에도 불구하고 시간이 지남에 따라 큰 규모의 형태가 심하게 진동하는 물체(그들의 예에서 나무 줄기)를 발생시킬 수 있다는 것을 증명했다.^[6]캐논, 플로이드, 패리는 쥐 조직의 성장 패턴을 분석하는 데도 그들의 모델을 적용했다.^[6]그들은 생물 유기체의 미세한 성장 패턴의 "부정적으로 곡선" (또는 비유클리드) 특성이 대규모 유기체가 결정체나 다면체 모양으로 보이지 않는 주요 이유 중 하나이지만 사실 많은 경우 자기 유사 프랙탈과 닮았다고 제안했다.^[6]특히, 그들은 그러한 "부정적으로 구부러진" 국소 구조가 고도로 접혀진 뇌와 폐조직의 고도로 연결된 성질로 나타날 것을 제안했다.^[6]

캐넌의 추측

캐논, 플로이드, 패리는 먼저 다음과 같은 추측을 증명하기 위한 시도로 유한분할규칙을 연구했다.

캐넌의 추측:무한대에 2-sphere를 가진 모든 그로모프 쌍곡선 그룹은 쌍곡선 3-공간에서 기하학적으로 작용한다.^[7]

여기서 기하학적 작용은 등축에 의한 적절히 불연속적인 작용이다.이 추측은 그리고리 페렐만이 기하학적 추측에 대한 그의^[10][11][12] 증거에서 부분적으로 해결되었는데, 그것은 3마니폴드 그룹인 어떤 그로모프 쌍곡체 집단보다도 (부분적으로) 쌍곡체 3공간에 기하학적으로 작용해야 한다고 기술하고 있다.그러나 무한대에 2-sphere를 가진 그로모프 쌍곡선 그룹이 3-매니폴드 그룹이라는 것을 보여주는 것은 여전히 남아 있다.

캐논과 스웬슨은 무한에 2-sphere를 가진 쌍곡선 그룹이 관련 분할 규칙을 가지고 있다는 것을 보여주었다.만약 이 분할 규칙이 어떤 의미에서 일치한다면, 그 그룹은 쌍곡 3 공간의 기하학적 구조를 가진 3-매니폴드 그룹이 될 것이다.^[7]

결합 리만 매핑 정리

소분법칙은 표면의 기울기 순서를 부여하며, 기울기는 거리, 길이, 면적에 대한 아이디어를 제공한다(각 타일에 길이와 면적이 1이 되도록 함).한계에서, 이러한 기울기에서 오는 거리는 어떤 의미에서 표면의 분석 구조로 수렴될 수 있다.결합 리만 매핑 정리는 이것이 일어나기 위해 필요한 충분한 조건을 제공한다.^[7]

그 진술은 약간의 배경이 필요하다.A tiling ${\displaystyle T}$ of a ring ${\displaystyle R}$ (i.e., a closed annulus) gives two invariants, ${\displaystyle M_{\sup }(R,T)}$ and ${\displaystyle m_{\inf }(R,T)}$, called approximate moduli.이것들은 고리의 고전적인 계수와 비슷하다.무게 함수의 사용으로 정의된다.중량 함수 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$은(는) 가중치라고 하는 비 $음수$를 T$${\$displaystyle$T}의 각 타일에$$ 할당한다$.$ $R{\displaystyle }${\$displaystyle R}$의 모든 경로에는 경로에 있는 모든 타일의 가중치의 합으로 정의된 길이를 지정할$$ 수 있다.$\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho$}에서$$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 $높이{\displaystyle }$ H${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \rho }$) ${\displaystyle H(\rho$)를 정의하여 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 내부 경계를 외부 경계와 연결하는$$ 가능한 모든 경로 길이의 최소값으로 한다$$.$\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$에 $있는{\displaystyle }$ R ${\displaystyle R}$의 $둘레{\displaystyle }$ C${\displaystyle }$($\$ ) {\$displaystyle$ C(\$rho )$는 링을 도는 모든 가능한 경로의 길이에 대한 최소값이다(즉$$, R에서 nullhomotopic이 아니다).$\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$에 $있는$ R ${\displaystyle R$}의 영역 A${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \rho }$)$${\$displaystyle$ A$(\rho$)는 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 모든 가중치 제곱합으로 정의된다$.$ 그런 다음 정의하십시오.

${\displaystyle M_{\sup }(R,T)=\super {\frac {H(\rho )^{2}}{A(\rho )},}$

${\displaystyle m_{\inf }(R,T)=\inf {\frac {A(\rho )}{C(\rho )^{2}}.}$

측정 기준의 배율에는 변동이 없다는 점에 유의하십시오.

메쉬가 0에 근접하고 다음과 같은 경우 틸팅의$$ $시퀀스{\displaystyle {}_{}}$ T ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$T ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle T_{1}, T_{2},\ldots$}이(가) 일치한다(${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ K$\}).$

1. For each ring ${\displaystyle R}$, the approximate moduli ${\displaystyle M_{\sup }(R,T_{i})}$ and ${\displaystyle m_{\inf }(R,T_{i})}$, for all ${\displaystyle i}$ sufficiently large, lie in a single interval of the form ${\displaystyle [r,Kr]}$; and
2. Given a point ${\displaystyle x}$ in the surface, a neighborhood ${\displaystyle N}$ of ${\displaystyle x}$, and an integer ${\displaystyle I}$, there is a ring ${\displaystyle R}$ in ${\displaystyle N\smallsetminus \{x\}}$ separating x from the complement of ${\displaystyle N}$, such모든 대형 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에 대해 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 대략적인$$ 모듈리가 모두 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$보다 크다는$$ 것을 알 수 있다$.$^[7]

정리명세서

If a sequence ${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots }$ of tilings of a surface is conformal (${\displaystyle K}$) in the above sense, then there is a conformal structure on the surface and a constant ${\displaystyle K'}$ depending only on ${\displaystyle K}$ in which the classical moduli and appr소산모듈리($i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$의 경우 Ti ${\$displaystyle $T_{i}$부터 충분히 큰 경우)는 K${\displaystyle {}^{}}${$${\$displaysty K'}$ -비교적인데$$, 이는 단일 간격$[r, K$에 놓여 있다는 것을 의미한다$.$^[7]

결과들

콤비나토리얼 리만 매핑 정리(Cominatorial Riemann Mapping Organization)는 Gromov 하이퍼볼릭인 경우에만$$ H $3{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$}}}}{3$}}$에 $그룹{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle G}$이 기하학적으로$$ 작용하고, 구가 무한대에 구를 가지고 있으며, 구를 자연분할 때 아보에서 순응하는 일련의 기울어지게 된다.ve. 따라서 이러한 모든 세분화 규칙이 일치한다면 캐넌의 추측이 사실일 것이다.^[13]

참조

외부 링크

• 빌 플로이드의 연구 페이지.이 페이지에는 카논, 플로이드, 패리가 소분할 규칙에 대해 쓴 대부분의 연구 논문과 소분할 규칙 갤러리 등이 수록되어 있다.