역함수

기능.
x µ f(x)
도메인 및 코드 도메인의 예
${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{B}}${\$displaystyle \mathbb {B$ $\displaystyle \mathbb {B}$ → $(디스플레이 스타일$ X$),$ $\displaystyle \mathbb {B} ^{n}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ $\$ $\displaystyle \mathbb {Z}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle \mathbb{R}}$ $\$ $\displaystyle \mathbb {R}$ → $(디스플레이 스타일$ X$),$ $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}$ → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ → $\$ $\displaystyle \mathbb {C}$ → $(디스플레이 스타일$ X$),$ $\displaystyle \mathbb {C} ^{n}$ → ${\displaystyle X}$
클래스/속성
일정한 신원 선형 다항식 합리적인 대수적 분석 매끄러운 계속되는 측정 가능 주입식 주관적 바이젝티브
구성
제한 구성. λ 역
일반화
부분적 복수치 암묵적
v t

수학에서 함수 f의 역함수(f의 역함수라고도 함)는 f의 연산을 푸는 함수이다.f의 역수는 f가 bijectionive일 경우에만 존재하며 f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$로 $표시$됩니다$.{$ $display style$ f^ { -$$$1$} 。$}$

$함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$\displaystyle$ X$\to$ Y$\}$의 $경우{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{역방향}}^{}}$f -${\displaystyle {}^{}}$1 : ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$^{-1}\display$ Y$\to$X}는$$ ${\displaystyle 각}$ $요소{\displaystyle }$ y$${\$displaystyle$ y$\in$ Y$}$를 X$styleX$\displaystyle X$\$displaystyle X\style X\style X\$to$ X\style로 $전송$합니다.

예를 들어, f(x) = 5x - 7로 주어진 실수 변수의 실수값 함수를 생각해 보십시오.f는 입력에 5를 곱한 후 결과에서 7을 빼는 함수라고 생각할 수 있다.이를 취소하려면 입력에 7을 더하고 결과를 5로 나눕니다.따라서 f의 역수는${\displaystyle {}^{}}$f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1\mathbb{}{}^{}}$: R ${\displaystyle \to }$$$ {\$displaystyle$ f$^{-1}\display$ \$mathbb {R}$ \$to \mathbb {R} }$이며, f -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ ( ${\displaystyle y}$ )$=$ ${\displaystyle y\frac{}{}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ . ${\displaystyle$ f^${y+7}$ {$5}$ {5}로 정의됩니다.$}$

정의들

f는 도메인이 집합 X이고 코드메인이 집합 Y인 함수라고 합니다.모든 ${\displaystyle X}$에 대해 g (${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle =}$ ( \ $displaystyle$$g$$( f$ ) = x$$${\displaystyle \}}$ ( x ) $f$$$ X$$$all{\displaystyle }$f ( f ) = f (${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$${\displaystyle =}$$$$y{\displaystyle }$ ( \ $displaystyle$f ($y$ ) = y ( \ displaystyle f ( y ) ${\displaystyle y}$ Y $style$ .\ $displaystyle$）$$^[1]= y$$$g{\displaystyle }$$$ y y y y ( ( ( ( g ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

f가 반전 가능한 경우, 이 속성을 만족시키는 함수 g가 정확히 하나 있습니다.함수 g는 f의 역수라고 불리며, 보통 f로 ⁻¹ 표기되는데, 이는 1813년 ^{[2][3][4][5][6][nb 1]}존 프레드릭 윌리엄 허셜에 의해 도입된 표기법이다.

함수 f는 bijectional인 경우에만 반전할 수 있습니다.이는 모든 $x$X의 $조건{\displaystyle }$g (${\displaystyle x}$)${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x}$( \ $displaystyle g$( f ) $=$x } ( \ $displaystyle$ x \ in$$$$$X$)는 f가 주입됨을 의미하며, 모든 $y{\displaystyle }$ $Y$의 $조건{\displaystyle }$f ($y$) $=$ ${\displaystyle y}$ ( \ $displaystyle$f ($$$y$ )= y }는$$$$ Fject를 의미하기 때문입니다$.$

역함수 ⁻¹ f to f는 함수로 명시적으로 설명될 수 있다.

${\displaystyle f^{}}$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =y}$) { $style$ f^ { - $1$（ y ） =$display$ \$text${ $}x$\ $in$ X {$} f$( x ) $= y$} ) 。

반전 및 구성

f가 도메인 X와 코드메인 Y를 가진 반전 함수인 경우,

${\displaystyle f^{}}$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle x}$)${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x}$( \ $displaystyle$ f^ { - $1$} \$left$ ( f ( $x$) \ $right$ ) =$$$x$$$( x ) x x $、$ x $x$ ${\displaystyle X}$ ( \ $displaystyle$x \ $in$$$X$$ ) ${\displaystyle 、}$ f${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle y}$ )$=$ ${\displaystyle y}$( \ $displaystyleft$( $f^$ { - $1$( $y$) \ $right$ ) ）${\displaystyle }$、 ${\displaystyle \mathrm{Y<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; f\backslash left(f^\{-1\}(y)\backslash right)=y\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/02df4d47e92336ff81902d7bc9ddc9306850c9ef"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:14.668ex;\; height:3.343ex;">}}$ $。$

함수의 구성을 사용하여 이 문을 함수 간의 다음 방정식으로 다시 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle f^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle f}$ $=$ ${\displaystyle {id}_{}}$X {\$displaystyle$ f$^{-1}\display$ f=\$operatorname {id} _{X}}$ $및$ f -${\displaystyle 1^{}}$ $=$ ${\displaystyle {id}_{}}$ Y$,$ {$displaystyle$ f$\displaystyle$ f$^{-1$}=\$operatorname {id} _{Y}}}$

여기서_X id는 집합 X의 ID 함수, 즉 인수를 변경하지 않는 함수입니다.범주론에서, 이 진술은 역형태론의 정의로 사용된다.

함수 구성을 고려하는 것은 f 표기법을 ⁻¹ 이해하는 데 도움이 됩니다.함수 f:X→X를 반복 합성하는 것을 반복이라고 한다.값 x부터 시작하여 f를 n회 적용하면 f(x)로 ⁿ 표시되므로 f ²(x) = f(x) 등으로 표시됩니다.f(f(x)) = x이므로 ⁻¹ f와 ⁿ f를 구성하면 ⁻¹ f를 한 번 적용하면 f의 효과가 "확대"된다 ⁿ⁻¹.

표기법

f(x) 표기법은 ^{−1 [1]}오해될 수 있지만, (f(⁻¹x)는 확실히 f(x)의 곱셈 역함수를 나타내며 f의 ^[6]역함수와는 관계가 없다.

일반적인 표기법에 따라 일부 영국 작가들은 x에 적용되는 사인함수의 역함수(실제로 부분 역함수; 아래 ^[7][6]참조)를 나타내기 위해 sin(x)와⁻¹ 같은 식을 사용합니다.다른 저자들은 이것이 (sin (x)^−1[6]로 표시될 수 있는 sin (x)의 곱셈 역수 표기법과 혼동될 수 있다고 느낀다.혼동을 피하기 위해 역삼각함수는 종종 접두사 "arc"(라틴 ^[8][9]호)로 표시됩니다.예를 들어 사인함수의 역함수는 일반적으로 아크신(x)^[8][9]으로 표기되어 아크신함수라고 불립니다.마찬가지로, 쌍곡선 함수의 역방향은 접두사 "ar"로 나타납니다(^[9]라틴 아레아의 경우).예를 들어, 쌍곡선 사인 함수의 역수는 일반적으로 arsinh(x)로 작성됩니다.[9] 있다는 점을 sin−1()) 좋아하는 표현들은 여전히 부분 역에서multivalued 역을 구별하기 위해 유용할 수 있습니다. 죄 − 1⁡())){(− 1)karcsin ⁡())+π n:n∈ Z}{\displaystyle\sin ^{)}())=\ᆲ\arcsin())+\pi n:n\in \mathbb{Z}\와 같이}}. 다른 역 특별한 기능들을 가끔 앞에는 US가 붙어 있다. prefix "inv" (f ⁻¹ 표기의 모호성을 ^[10][9]피해야 할 경우)

예

제곱 및 제곱근 함수

$f{\displaystyle }$(x) = x에² 의해 주어지는 함수 f: R → [0,420]는 모든 x${\displaystyle \delta \mathbb{}}$R {\$displaystyle$$$x$\in \mathbb {R$에 대해 ${\displaystyle (-{x\mathrm{}}^{}}$ 2$=$ ${\displaystyle {}^{}}$ {{$x2$}=$x^{2}}$이므로${\displaystyle }$f는 반전되지 않습니다.

함수의 도메인이 음이 아닌 실수에 한정되어 있는 경우, 즉 $f{\displaystyle }$:${\displaystyle }$[ 0 ,${\displaystyle \mathrm{)}}$]${\displaystyle \to }$ [ ${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle )}$] 、 ${\$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ( \ $displaystyle f$ \$display$ [ 0 , \ $infty )$ \ $to$[ 0 , \ $mapsto x^$ { 2 } ） [ 。이러한$$ 경우, 함수는 이전과 같은 규칙을 사용하여 ^[11]${\displaystyle \mathrm{반전}}$됩니다.여기서 역함수는 (양수) 제곱근 함수라고 불리며 x ${\displaystyle x\sqrt{}}$x \ $displaystyle$x \ $mapsto$\ $sqrt${ $x$}$$로 $표시$됩니다.

표준 역함수

다음 표에서는 몇 가지 표준 기능과 그 반전을 보여 줍니다.

함수 f(x)	역f −1(y)	메모들
x + a	y − a
a − x	a − y
mx	y/m	m 0 0
1/x(x−1)	1/y(예: y−1)	x, y 0 0
x2	$\$y1/2)	x, y 00 만
x3	$y3($$예:$y1/3$)$	x와 y에 대한 제한 없음
xp	${\displaystyle \text{exception 25:}}$y1/p$$p { $display$style { $p$} { $y$} $$（ y 。	x, p가 짝수일 경우 y ≤ 0, 정수 p > 0
2개x	lb y	y > 0
ex	인 y	y > 0
10개x	로그. y	y > 0
ax	로그.a y	y > 0 및 a > 0
xex	W(y)	x - -1 및 y - -1/e
삼각 함수	역삼각함수	각종 제약사항(아래 표 참조)
쌍곡선 함수	역쌍곡선 함수	여러 가지 제약

역의 공식

대수 공식에 의해 주어지는 많은 함수는 그 역식에 대한 공식을 가지고 있다.이는 가역 $함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$f\$displaystyle$ f\display \$mathbb {R}$ \$to \mathbb {R}$의 역${\displaystyle {}^{}}f{\displaystyle {}^{}}$ -$$ {$style$ f$^{-1$}}}은$$ 다음과 같이 명시되어 있기 때문입니다.

${\displaystyle {}^{}f{}^{}}$-${\displaystyle {}^{}1}$ (${\displaystyle }$y ) ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle \text{f}}$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =y}$) { $style$ f^ {-$1}(y$) =$display\text${$}x\in \mathbb {R}$ \$text{ f(x$) =$y}$ ) 。

이것은 대수 공식에 의해 주어지는 많은 함수의 역수를 쉽게 결정할 수 있게 해준다.예를 들어, f가 함수인 경우

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^3}}$

그런 다음 실수 y에 대해${\displaystyle {}^{}}$f -${\displaystyle {}^{}1}$ (${\displaystyle }$y$$) {$style$ f$^{-1}(y)}$을(를) $결정$하려면 (2x + 8)³ = y인 고유한 실수 x를 찾아야 합니다.이 방정식은 해결할 수 있습니다.

${\displaystyle\signed}y&=(2x+8)^3}\{\{\caprt[{3}{y}}&=2x+8\{\caprt[{3}{y}}-8x\{\dfrac {\caprt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x}.\end { aligned}}$

따라서 역함수 ⁻¹ f는 다음 공식에 의해 주어진다.

${{displaystyle f^{-1}(y)=paramfrac {{\paramrt[{3}}{y}}-8}{2}}.}$

함수의 역수를 닫힌 형식 공식으로 표현할 수 없는 경우가 있습니다.예를 들어, f가 함수인 경우

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,}$

f는 분사이므로 역함수 ⁻¹ f를 가진다.이 역의 공식은 무한합으로 표현됩니다.

${\displaystyle f^{-1)(y)=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\leftfrac {mathrm {d}^{,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{,n-1}}\leftfrac {\theta }{\theta -\sin(\theta}}}}}}\오른쪽)^{n}\right).}$

특성.

함수는 이항 관계의 특수한 유형이기 때문에 역함수의 많은 속성은 역함수의 속성과 일치합니다.

고유성

주어진 함수 f에 대해 역함수가 존재하면 이는 ^[12]고유합니다.역함수가 f에 의해 완전히 결정되는 역함수여야 하기 때문에 이것이 뒤따른다.

대칭

함수와 그 역함수 사이에는 대칭성이 있다.구체적으로는 f가 도메인 X와 코드메인 Y를 갖는 역함수라면 역f는 ⁻¹ 도메인 Y와 이미지 X를 가지며 f의 ⁻¹ 역함수는 원래 함수 f이다.기호에서 f:X → Y 및⁻¹ f 함수의 경우:Y → X,^[12]

${\displaystyle f^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle f}$ $=$ ${\displaystyle {id}_{}}$X {\$displaystyle$ f$^{-1}\$$display$ f=\$operatorname$ ${$$id$$}$ $_{X}}$ $및$ f${\displaystyle {}^{}\circ }$ ${\displaystyle f_{}}$ - 1 $=$ Y . { $displaystyle$f\$displaystyle f$^{-1}=\$operatorname {id}$ _{Y}.$}$

이 문장은 f가 반전되기 위해서는 반드시 bijectionive여야 한다는 암시의 결과이다.역의 필연성은 다음과 같이 간결하게^[13] 표현될 수 있다.

$\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

함수 구성의 역수는 다음과^[14] 같습니다.

${\displaystyle (g\display f)^{-1}=f^{-1}\display g^{-1}.}$

g와 f의 순서가 뒤바뀐 것에 주의해 주세요.f에 이어 g를 원래대로 되돌리려면 먼저 g를 원래대로 되돌린 다음 f를 원래대로 되돌려야 합니다.

예를 들어 f(x) = 3x로 하고 g(x) = x + 5로 합니다.그러면 g f f는 처음에 3을 곱한 다음 5를 더하는 함수이다.

${\displaystyle(g\display f)(x)=3x+5 입니다.}$

이 과정을 되돌리려면 먼저 5를 뺀 다음 3으로 나누어야 합니다.

${\displaystyle (g\display f)^{-1}(x)=squaltfrac {1}{3}}(x-5).}$

이것은 ⁻¹ 구성(f ⁻¹ † g)(x)입니다.

자기 반전

X가 집합인 경우 X의 항등함수는 그 자체의 역함수입니다.

${\displaystyle {operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

보다 일반적으로, 함수 f : X → X는 구성 f δ f가 id와_X 동일한 경우에만 자신의 역과 같다.이러한 기능을 혁신이라고 합니다.

역 그래프

f가 반전 가능한 경우 함수의 그래프

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

방정식의 그래프와 같다

$\displaystyle x=f(y)}$

이것은 f의 그래프를 정의하는 y = f(x)의 방정식과 동일하지만 x와 y의 역할은 서로 뒤바뀌었다.따라서 ⁻¹ f의 그래프는 x축과 y축의 위치를 바꿔 f의 그래프로 얻을 수 있다.이는 그래프를 y = ^[15][1]x 선에 반영하는 것과 같습니다.

반전 및 파생상품

역함수 정리는 연속함수 f가 엄밀하게 증가하거나 감소하는 경우(국소 최대치 또는 최소치 없음)에만 범위(이미지)에서 반전할 수 있음을 나타냅니다.예를 들어 함수는

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

도함수 fθ(x²) = 3x + 1은 항상 양수이므로 가역적입니다.

함수 f가 구간 I에서 미분가능하고 각 x δ I에서 fδ(x) ≤ 0이면 역f는 ⁻¹ f(I)^[16]에서 미분가능하다.만약 y = f(x)라면, 역함수 정리에 의해 역의 도함수가 주어진다.

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)=param frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

라이프니츠의 표기법을 사용하면 위의 공식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$({displaystyle {frac}{dy}}={frac {1}{dy/fac}}).}$

이 결과는 연쇄 규칙에서 비롯된다(역함수 및 미분 관련 기사 참조).

역함수 정리는 여러 변수의 함수로 일반화 될 수 있다.구체적으로, 미분 가능한 다변수 함수 f : Rⁿ → R은ⁿ p에서의 야코비 행렬 f가 가역인 한 p점 근방에서 가역할 수 있다.이 경우, f(p)에서의 f의 ⁻¹ 야코비안은 p에서의 f의 야코비안의 행렬 역행렬이다.

실제의 예

• f가 섭씨 온도를 화씨 온도로 변환하는 함수라고 하자.
  $${\displaystyle F=f(C)=tfrac {9}{5}}C+32;}$$

  
  화씨에서 섭씨로 변환하는 역함수입니다.
  $$({displaystyle C=f^{-1}(F)=tfrac {5}{9}}(F-32)})$$

  
  ^[17] 이후
  $${\displaystyle{\begin{정렬}(f(C))={}&, f^ᆰ\left({\tfrac{9}{5}}C+32\right)={\tfrac{5}{9}}\left(({\tfrac{9}{5}}C+32)-32\right)=C,\\&,{모든 값{에 \text}}C,{\text{과}}\\[6pt]f\left(f^{-1}(F)\right cm이다.={}&, f\left({\tfrac{5}{9}}(F-32)\right)={\tfrac{9}{5}}\left({\tfrac{5}{9}}(F-32)\right)+32=F,\\&,{모든 값{에 \text}}F.\end { aligned}}$$

  
• f가 가정의 각 자녀에게 출생 연도를 할당한다고 가정합니다.역함수는 주어진 해에 태어난 아이를 출력합니다.그러나 가정에 같은 해에 태어난 자녀(예: 쌍둥이 또는 세쌍둥이 등)가 있는 경우 입력이 공통 출생 연도일 때 출력을 알 수 없습니다.또한 아이가 태어나지 않은 해가 주어지면 아이의 이름을 지을 수 없다.하지만 만약 각각의 아이가 다른 해에 태어났다면, 그리고 만약 우리가 아이가 태어난 3년으로 관심을 제한한다면, 우리는 역함수를 가지고 있습니다.예를들면,
  $${\displaystyle {begin}f({\text {Allan})&=2005,\quad &f({\text {Brad}})&=2007,\quad &f({\text {Cary}})&=2001\f^{-1}(2005)&=text {Allan},\quad &f^{-1}&quot;2007}$$

  
• R을 어떤 양의 x 퍼센티지 상승을 일으키는 함수라고 하고, F를 x 퍼센티지 하락을 일으키는 함수라고 하자.x = 10%의 $100에 적용하면 첫 번째 함수에 이어 두 번째 함수를 적용해도 원래 값인 $100이 복원되지 않는다는 것을 알 수 있으며, 외관상으로는 이 두 함수가 서로 반대되지 않는다는 것을 알 수 있다.
• 용액의 pH를 계산하는 공식은 pH = -log₁₀[H⁺]이다.많은 경우에 우리는 pH 측정에서 산의 농도를 알아내야 한다.역함수 [H⁺] = 10이^−pH 사용됩니다.

일반화

부분 반전

함수 f가 1대 1이 아니더라도 도메인을 제한함으로써 f의 부분 역수를 정의할 수 있다.예를 들어 함수는

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

x =(-x)²이므로² 일대일이 아닙니다.단, 도메인x 00으로 제한하면 함수는 1대1이 됩니다.이 경우

${\displaystyle f^{-1}(y)=syslogrt {y}}.}$

(대신 도메인 x 0 0으로 제한하면 역수는 y의 제곱근의 음수가 됩니다.)또는 역함수가 다중값 함수로 만족하는 경우 도메인을 제한할 필요가 없습니다.

${\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\displayrt {y}}.}$

이 다중값 역수를 f의 전체 역수라고 하고 부분(예를 들어 "x" 및 "x")을 분기라고 합니다.다치함수의 가장 중요한 가지(예: 양의 제곱근)를 주가지라고 하며, y에서의 값을 f(y)의 ⁻¹ 주값이라고 한다.

실선상의 연속적인 기능의 경우, 각 국소 극치 쌍 사이에 하나의 분기가 필요합니다.예를 들어, 로컬 최대값과 로컬 최소값을 갖는 입방체 함수의 역함수에는 세 개의 분기가 있습니다(인접 그림 참조).

이러한 고려 사항은 삼각 함수의 역수를 정의하는 데 특히 중요합니다.예를 들어, 사인 함수는 1:1이 아닙니다.

$\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin(x)}$

모든 실수 x에 대해(그리고 보다 일반적으로 모든 정수 n에 대해 sin(x + 2µn) = sin(x)).그러나 [-θ/2, θ/2] 구간에서 사인파는 일대일이며, 이에 대응하는 부분 역수를 아크신이라고 합니다.이것은 역사인(inverse sine)의 주요 분기로 간주되므로 역사인(inverse sine)의 주요 값은 항상 -θ/2와 θ/2 사이입니다.다음 표에서는 각 역삼각함수의 ^[18]주요 분기에 대해 설명합니다.

기능.	통상적인 원금값의 범위
아크신	- sin(x) ≤ π−1 π / / / 2
아크	0 cos−1 cos(x) 0
아크탄	- tan(x−1) < π / 2
아크코드	0−1 < cot (x) < >
아크초	0 µsec−1(x) ≤
아크스크	- csc−1(x) ≤ 、 csc/2

좌우 반전

왼쪽과 오른쪽의 기능 구성이 일치하지 않아도 됩니다.일반적으로 조건은

1. g(f(x)=x인 g가 존재한다.
2. f(g(x)=x인 g가 존재한다.

f의 다른 특성을 암시합니다.예를 들어, f: R → [0, θ]는 R의 모든 x에 대해 f(x²) = x가 제곱 맵이고, g: [0, θ] → R은 모든 x δ 0에 대해 g(x) = δx가 제곱근 맵이다.그러면 f(g(x) = x가 [0, θ]의 모든 x에 대해, 즉 g는 f의 오른쪽 역수이다.단, g(f,1) = 1 µ -1이므로 g는 f의 왼쪽 역수가 아니다.

왼쪽 반전

f: X → Y일 경우, f에 대한 왼쪽 역수(또는 f의 후퇴)는 함수 g: Y → X이며, f를 왼쪽에서 g로 합성하면 항등함수를^[19] 얻을 수 있다.

즉, 함수 g는 다음 규칙을 만족한다.

f(x)=y이면 g(y)=x이다.

함수 g는 f의 영상에서 f의 역수와 같아야 하지만, 영상에 없는 Y의 요소에는 값을 취할 수 있습니다.

빈 도메인이 아닌 함수 f는 왼쪽 ^[20]역행인 경우에만 주입됩니다.기본 증명은 다음과 같이 실행됩니다.

• g가 f의 왼쪽 역수이고 f(x) = f(y)이면 g(f(x) = g(f(y)) = x = y이다.

• 비어 있지 않은 f: X → Y가 주입식이면 왼쪽 역g: Y → X를 다음과 같이 구성합니다. 모든 y y Y에 대해 y가 f의 이미지 내에 있으면 x x X가 존재하므로 f(x) = y가 됩니다. g(y) = x가 주입식이기 때문에 이 정의는 고유합니다.그렇지 않으면 g(y)를 X의 임의의 원소라고 합니다.

  모든 x µ X에 대해 f(x)는 f의 이미지 안에 있습니다.구문에 따르면, g(f(x) = x, 왼쪽 역의 조건이다.

고전 수학에서, 빈 영역이 없는 모든 주입 함수 f는 반드시 왼쪽 역함수를 가진다; 그러나, 이것은 건설 수학에서 실패할 수 있다.예를 들어, 실수에 포함된 두 개의 제곱 집합의 {0,1} → R의 왼쪽 역방향은 집합 {0,^[21]1}에 실선을 후퇴시킴으로써 부적합성을 위반합니다.

오른쪽 반전

f의 오른쪽 역수(또는 f의 단면)는 다음과 같은 함수^{[citation needed]} h: Y → X이다.

${\displaystyle f=\operatorname {id}_{Y}.}$

즉, 함수 h는 다음 규칙을 만족한다.

h${\displaystyle {\displaystyle }}$(${\displaystyle {\displaystyle y}}$ ) ${\displaystyle {\displaystyle =}}$ ${\style$ \$displaystyle h($y)=$x$인 $경우{\displaystyle {\displaystyle }}$${\displaystyle {\displaystyle }}f{\displaystyle {\displaystyle }}$ (${\displaystyle {\displaystyle x}}$ ) $=$. \$displaystyle f(x$)=$y$입니다.$}$

따라서, h(y)는 f 아래의 y에 매핑되는 X의 원소 중 하나일 수 있다.

함수 f는 만약 그것이 돌출적인 경우에만 오른쪽 역수를 갖는다(일반적으로 그러한 역수를 구성하는 것은 선택 공리를 필요로 함).

만약 h가 f의 오른쪽 역수라면, f는 돌출이다.$모든{\displaystyle }$ Y$(\display$${\displaystyle y}$$\in$ Y$)$에 $대해{\displaystyle }$ f$=$y(y)=y($y$$)=$$y$($y$$))$와 같은 x$=$$h(y)$가 $있습니다$.

f가 서브젝티브인 경우 f는 ${\displaystyle \mathrm{오른쪽}}$ 역h를 가지며, 이는 모든 $(\$$displaystyle$ y$\$$in$Y$)$에 대해$$ f${\displaystyle (x)}$ $=$(\$displaystyle$$$f$(x$)=$y}($fsubjective이기 때문에)의 값을 h(y)^{[citation needed]}의 값으로 선택합니다.

양면 반전

왼쪽 및 오른쪽 역(양면 역)인 역이 있으면 고유해야 합니다.실제로 함수에 왼쪽 역과 오른쪽 역이 있으면 둘 다 같은 양면 역이므로 역이라고 할 수 있습니다.

g$${\$displaystyle$ g$}$가 왼쪽$$ 역,$h{\displaystyle }$ {\$displaystyle$f$\}$의 ${\displaystyle \mathrm{오른쪽}}$ 역인 $경우$${\displaystyle ,}$ $g{\displaystyle }$ (${\displaystyle y}$ ) ${\displaystyle =g}$ (${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle h}$(${\displaystyle y}$ )$=$ (${\displaystyle y}$) { $displaystyle$g ($y$ ) $= g$ ( y ) =$h$ ( y )$\}$ $。$

함수는 쌍방향 역행(bijectional인 경우 및 bijectional인 경우에만)을 가집니다.

bijectionive 함수 f는 주입형이기 때문에 왼쪽 역함수를 가진다(f가 빈 함수일 경우 f : $style$ \ $displaystyle$ f$\to \varnothing }$는 왼쪽 역함수이다).f는 투영적이므로 오른쪽 역수를 가집니다.이상과 같이 왼쪽과 오른쪽의 역이 같다.

f가 양면 역g를 갖는다면 g는 f의 왼쪽 역, 오른쪽 역이므로 f는 사출사이다.

프리이미지

f: X → Y가 함수인 경우(반전 가능한 것은 아님) 요소 y y Y의 초기 이미지(또는 역영상)는 y에 매핑되는 X의 모든 요소의 집합으로 정의됩니다.

${\displaystyle f^{-1}(\y\})=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.}$

y의 preimage는 함수 f의 (다치) 완전 역수 아래 y의 이미지로 생각할 수 있다.

마찬가지로 S가 Y의 서브셋인 경우${\displaystyle {,}^{}}$ S의 프리이미지($f{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle S}$ $)\display style$ f$^{-1}(S$는 S에 매핑되는 X의 모든 요소의 집합입니다.

$\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}$

예를 들어, 함수 f: R → R; x µ² x를 예로 들어 보겠습니다.이 함수는 비사사적이므로 반전할 수 없지만, 코드메인의 하위 세트에 대해 사전 영상을 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle f^{}}$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle }${${\displaystyle 1\mathrm{}}$,${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 9}$,${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle \}}$ ) ${\displaystyle =}${ -${\displaystyle 4}$,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle }$-${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$-${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$, 3, 4$}$ { $displaystyle$ f^ { - $1$} ( \ $left$\ { 1 ,$4$, $9$, $16$\ right \ } = \$left$ \ { 4$, 3$, 1, 2, 3$,$ 4,$4$, 4, 4 \$right$ \$$}$$} }

단일 요소 y y Y(싱글톤 집합 {y})의 프리이미지는 때때로 y의 섬유라고 불립니다.Y가 실수의 집합인 경우 f({y})를 레벨 집합이라고 부르는 ⁻¹ 것이 일반적입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 라그랑주 반전 정리, 해석 함수의 역함수의 테일러 급수 확장을 제공합니다.
• 역함수의 적분
• 역 푸리에 변환
• 리버서블 컴퓨팅

메모들

레퍼런스

참고 문헌

• Briggs, William; Cochran, Lyle (2011). Calculus / Early Transcendentals Single Variable. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-66414-3.
• Devlin, Keith J. (2004). Sets, Functions, and Logic / An Introduction to Abstract Mathematics (3 ed.). Chapman & Hall / CRC Mathematics. ISBN 978-1-58488-449-1.
• Fletcher, Peter; Patty, C. Wayne (1988). Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3.
• Lay, Steven R. (2006). Analysis / With an Introduction to Proof (4 ed.). Pearson / Prentice Hall. ISBN 978-0-13-148101-5.
• Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2006). A Transition to Advanced Mathematics (6 ed.). Thompson Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-39900-9.
• Thomas, Jr., George Brinton (1972). Calculus and Analytic Geometry Part 1: Functions of One Variable and Analytic Geometry (Alternate ed.). Addison-Wesley.
• Wolf, Robert S. (1998). Proof, Logic, and Conjecture / The Mathematician's Toolbox. W. H. Freeman and Co. ISBN 978-0-7167-3050-7.

추가 정보

• Amazigo, John C.; Rubenfeld, Lester A. (1980). "Implicit Functions; Jacobians; Inverse Functions". Advanced Calculus and its Applications to the Engineering and Physical Sciences. New York: Wiley. pp. 103–120. ISBN 0-471-04934-4.
• Binmore, Ken G. (1983). "Inverse Functions". Calculus. New York: Cambridge University Press. pp. 161–197. ISBN 0-521-28952-1.
• Spivak, Michael (1994). Calculus (3 ed.). Publish or Perish. ISBN 0-914098-89-6.
• Stewart, James (2002). Calculus (5 ed.). Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39339-7.

외부 링크

• "Inverse function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]