중간점

기하학에서 중간점은 선 세그먼트의 중간점이다.두 엔드포인트에서 등거리이며, 세그먼트와 엔드포인트의 중심이다.그것은 세그먼트를 이등분한다.

공식

The midpoint of a segment in n-dimensional space whose endpoints are ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ and ${\displaystyle B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$ is given by

${\displaystyle {\frac {A+B}{2}.}$

즉, 중간점의 i^th 좌표(i = 1, 2, ..., n)는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {a_{i}+b_{i}}{2}.}$

건설

관심 지점 2개를 지정하면, 그들이 결정하는 선 부분의 중간 지점을 찾는 것은 나침반과 직선 공사에 의해 달성될 수 있다.평면에 내장된 선 세그먼트의 중간점은 먼저 두 끝점을 중심으로 같은(그리고 충분히 큰) 반지름의 원형 호를 사용하여 렌즈를 구성한 다음, 렌즈의 큐스프(호크가 교차하는 두 지점)를 연결하면 찾을 수 있다.쿠스프를 연결하는 선이 세그먼트를 교차하는 지점은 세그먼트의 중간 지점이다.나침반만으로 중간점을 찾는 것이 더 어렵지만, 모어-마스케로니 정리에 따라 여전히 가능하다.^[1]

중간점을 포함하는 기하학적 특성

원

원의 직경의 중간점은 원의 중심이다.

원의 어떤 화음과 직각을 이루며 그 중간점을 통과하는 어떤 선도 원의 중심을 통과한다.

나비 정리에서는 M이 원의 화음 PQ의 중간점이고 두 개의 다른 화음 AB와 CD가 그려지는 경우, AD와 BC가 각각 X와 Y에서 화음 PQ를 교차하여 M이 XY의 중간점이라고 기술하고 있다.

타원체

타원의 면적 이등분자 또는 둘레 이등분자인 세그먼트의 중간점은 타원의 중심이다.

타원의 중심은 타원의 두 포커스를 연결하는 세그먼트의 중간점이기도 하다.

하이퍼볼라

하이퍼볼라의 정점을 연결하는 세그먼트의 중간점은 하이퍼볼라의 중심이다.

삼각형

삼각형의 한 변의 수직 이등분선은 그 변에 수직이고 그 중간점을 통과하는 선이다.삼각형의 세 변의 세 개의 수직 이등분선은 원곡선(정점 세 개를 통과하는 원의 중심)에서 교차한다.

삼각형의 측면의 중앙값은 측면의 중간점과 삼각형의 반대 정점을 모두 통과한다.삼각형의 세 개의 중위수는 삼각형의 중심에서 교차한다(단일밀도 금속의 얇은 판으로 만들어지면 삼각형이 균형을 이룰 지점).

삼각형의 9점 중심은 원곡선과 직교점 사이의 중간점에 있다.이 점들은 모두 오일러 라인에 있다.

삼각형의 중간 세그먼트(또는 중간선)는 삼각형의 두 변의 중간점과 결합하는 선 세그먼트다.그것은 제3면과 평행하며 길이가 제3면의 절반에 해당한다.

주어진 삼각형의 내적 삼각형은 주어진 삼각형의 변의 중간점에 정점이 있으므로, 그 변은 주어진 삼각형의 세 개의 중간점이다.그것은 주어진 삼각형과 같은 중심과 중위수를 공유한다.내적 삼각형의 둘레는 원래 삼각형의 반퍼미터(둘레의 절반)와 같으며, 그 면적은 원래 삼각형의 넓이의 4분의 1이다.내측 삼각형의 직각점(고도의 절편)은 원래 삼각형의 원곡선(정점을 통한 원의 중심)과 일치한다.

모든 삼각형에는 스티너 이넬립스라고 불리는 새겨진 타원이 있는데, 이 타원은 내부적으로는 모든 면의 중간점에서 삼각형에 접한다.이 타원은 삼각형의 중심에 있으며, 삼각형에 새겨진 타원 중 가장 큰 면적을 가지고 있다.

직각 삼각형에서, 할례는 하이포텐유의 중간점이다.

이소체 삼각형에서는 밑면과 정점의 각도 이등분선이 오일러 선과 대칭축과 일치하고 이러한 일치선은 밑면의 중간점을 통과한다.

4각형

볼록한 사각형의 두 개의 바이메디언은 반대편의 중간점을 연결하는 선분절이며, 따라서 각각 두 변을 이등분한다.대각선의 중간점에 합류하는 두 개의 바이메디언과 선 부분은 이 세 부분 모두의 중간점인 "Vertex centroid"라고 불리는 지점에서 동시에 이루어진다.^{[2]: p.125}

볼록한 사각형의 4개의 "몰티도"는 반대편의 중간점을 통과하는 측면에 수직인 것으로, 따라서 후방을 이등분한다.만약 사면이 순환(원형으로 표현)이라면, 이러한 위도들은 모두 "반입자"라고 불리는 공통점에서 만난다.

브라마굽타의 정리는 주기적인 4각형이 교정치각(즉, 수직 대각선이 있는 경우), 대각선의 교차점으로부터 한 측면에 수직하는 것은 항상 반대편의 중간점을 통과한다고 명시하고 있다.

바리뇽의 정리에서는 임의의 사각형의 변의 중간점이 평행사변형의 정점을 이루고 있으며, 만약 사방형이 자기 교차되지 않는다면 평사면의 면적은 사방영역의 절반이다.

뉴턴 선은 평행도가 아닌 볼록한 사각형으로 두 대각선의 중간점을 연결하는 선이다.볼록한 사각형의 반대편의 중간점을 연결하는 선 세그먼트는 뉴턴 선에 놓여 있는 점에서 교차한다.

일반 다각형

일반 다각형에는 중간점에서 다각형의 양쪽에 접하는 원형이 새겨져 있다.

변의 수가 짝수인 일반 다각형에서 정점 사이의 대각선의 중간점은 다각형의 중심이다.

순환 다각형 P(정점이 모두 같은 원 위에 있는 다각형)의 중간점 스레칭 폴리곤은 동일한 원에 새겨진 또 다른 순환 다각형이며, P의 정점 사이에 정점이 원형 아크의 중간점인 폴리곤이다.^[3]임의의 초기 폴리곤에서 중간점 스레칭 연산을 반복하면 모양이 일반 폴리곤으로 수렴되는 일련의 폴리곤이 발생한다.^[3][4]

일반화

세그먼트의 중간점에 대해 위에서 언급한 공식은 세그먼트의 길이를 암묵적으로 사용한다.단, 세그먼트 길이가 정의되지 않은 부착 기하학 일반화에서 중간점은 부착 불변성이기 때문에 여전히 정의할 수 있다.^[5]세그먼트 AB의 중간점 M의 합성 아핀 정의는 선 AB의 무한점 P의 투영적 조화 결합이다.즉, 점 M은 H[A,B; P,M]^[6]와 같은 것이다.부호 기하학에서 좌표를 도입할 수 있을 때 중간점에 대한 두 가지 정의가 일치할 것이다.^[7]

중간점은 무한대의 점의 역할을 수행할 구별되는 점이 없기 때문에 투영 기하학에서 자연스럽게 정의되지 않는다(투영 범위의 어떤 점도 (동일하거나 다른) 투영 범위의 다른 점에 투영적으로 매핑될 수 있다).그러나 무한에 점을 고정하면 해당 투영선에 부착된 부속 구조를 정의하고 위의 정의를 적용할 수 있다.

세그먼트의 중간점 정의는 리만 다지관의 지오데틱 호로 확장될 수 있다.아핀 케이스와 달리 두 지점 사이의 중간점은 고유하게 결정되지 않을 수 있다는 점에 유의하십시오.

참고 항목

• 중심(지오메트리) § 투사형 원뿔
• 중간점 다각형
• 이등분 § 선 세그먼트 이등분자
• 수치적 통합 § 보간 기능에 기초한 2차 규칙

참조

외부 링크

• 애니메이션 – 라인 세그먼트의 중간점 특성 표시