마르덴 정리

수학에서, 모리스 마르덴의 이름을 따서 지어졌지만 요르그 시벡에 의해 약 100년 전에 증명된 마르덴의 정리는 복잡한 계수를 가진 3차 다항식의 0과 그 도함수의 0 사이의 기하학적 관계를 제공합니다. 다항식 근의 기하학적 성질도 참조하십시오.

진술

3차 다항식은 복소수 평면에서 일반적으로 삼각형을 이루는 세 개의 영을 가지며, 가우스-루카스 정리는 그 도함수의 근이 이 삼각형 안에 있다고 말합니다. 마든의 정리는 이 삼각형 안에서 그들의 위치를 좀 더 정확하게 말해줍니다.

3차 다항식

p (z)

의

영점 1

z, z,

z

가₂₃ 공선이 아니라고 가정합니다. 삼각형에 독특한 타원이 새겨져 있는데, 꼭짓점

z 1

,

z 2

,

z

가₃ 있고 그 중간 지점에 있는 변들에 접선이 있습니다. 바로 타원에 있는 슈타이너입니다. 타원의 초점은

도함수

p

'(z

)의 영점입니다

.

증명

이 증명은 프리츠 칼슨(Fritz Carlson)의 저서 《지오메트리》(Geometri, 1943년 스웨덴어)의 연습에서 나온 것입니다.^[1]

증명

$임의$ 의 $a$ b ∈ C {\ $style$ a, $b\in \mathbb$ {C}에서 $a\neq 0$ ≠ 0 ${\displaystyle$ a\n $eq 0$ $g(z)=f(az+b)$ $=$ f $($ $g'(z)=af'(az+b)$ + $g'(z)=af'(az+b)$ ${\displaystyle g(z$ ) $=$ f $(az+b)}$ 를 정의한 다음 g'(z) $=$ f'(z + b) {\displaystyle g'(z) $=$ af'(az+b)}를 정의합니다. 따라서, 우리는

g^{-1}(0)=(f^{-1}(0)-b)/a

$그리고^{}$ 마찬가지로g' {\ $displaystyle$ g $g'$ $'}$ $및$ f' {\ $displaystyle$ f $'}$ 에 대해서도 마찬가지입니다 $f'$ 즉, 변수를 선형적으로 변경하여 $f$ $f$ $및$ f $f$ $'$ ${\$ f $'}$ 의 루트에 대해 임의의 번역, 회전 및 스케일링을 수행할 수 있습니다 $f'$

따라서 WLOG, 우리는 타원의 슈타이너 초점을 $\pm c$ 실제 $\pm c$ 에 $\pm c$ ± c {\ $displaystyle$ $\pm$ c $}$ 에 두며 $\pm c$ 여기서 $c$ ${\displaystyle$ c $}$ 는 $c$ 초점 거리입니다. $a,$ $b$ ${\displaystyle$ a $,b}$ 를 길고 짧은 반축 길이로 하여 $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ = $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ - b 2 {\displaystyle c = {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}입니다.

$f$ $f$ 의 세 루트를 $z_{j}:=x_{j}+y_{j}i$ $z_{j}:=x_{j}+y_{j}i$ : = $z_{j}:=x_{j}+y_{j}i$ j + y $z_{j}:=x_{j}+y_{j}i$ ${\displaystyle z_{j}:$ j $=$ 0, 1, 2 {\displaystyle j $=$ 0, 1, 2}에 대한 $=$ x_ ${$ $j$ }+y_{j $}$ i}입니다.

타원의 Steiner가 반지름 $b$ $b$ 의 원이 되도록 복소 평면을 수평으로 늘립니다 $b$ 이렇게 하면 삼각형이 정삼각형으로 변환되며, $\zeta _{j}={\frac {b}{a}}x_{j}+y_{j}i$ 은 ζ j = $b$ x j + y j {\displaystyle \zeta _{j}={\frac {b}{a}}x_{j}+y_{j}i}입니다.

정삼각형의 기하학적 구조인 ∑ j ζ 0 ${\displaystyle \sum$ _{j}\ $zeta$ $\sum _{j}z_{j}=0$ {j}= $\sum _{j}z_{j}=0$ 에 의해 ∑ j z = 0 {\displaystyle \sum _{j}z_{j}=0}, $f(z)=z^{3}+z\sum _{j}z_{j}z_{j+1}-z_{0}z_{1}z_{2}$ f $f(z)=z^{3}+z\sum _{j}z_{j}z_{j+1}-z_{0}z_{1}z_{2}$ = $f(z)=z^{3}+z\sum _{j}z_{j}z_{j+1}-z_{0}z_{1}z_{2}$ 3 + $z$ ∑ j z z j + 1 - z 0 z 1 z 2 {\displaystyle f(z)= z^{3}+z\sum _{j}z_{j}z_{j+1}-z_{0}z_{1}-z_{2}}-z 3 = z 0 {\display z_{3}= z_{0}}-입니다. $3c^{2}+\sum _{j}z_{j}z_{j+1}=0$ 3 $3c^{2}+\sum _{j}z_{j}z_{j+1}=0$ $3c^{2}+\sum _{j}z_{j}z_{j+1}=0$ + ∑ j $3c^{2}+\sum _{j}z_{j}z_{j+1}=0$ z j j + $3c^{2}+\sum _{j}z_{j}z_{j+1}=0$ = 0 ${\$ displaystyle 3c^{2}+\sum _{j}z_{j}z_{j+1}=0},

Since $0=\left(\sum _{j}z_{j}\right)^{2}=\sum _{j}z_{j}^{2}+2\sum _{j}z_{j}z_{j+1}$ , it remains to show $\sum _{j}z_{j}^{2}=6c^{2}$ , that is, it remains to show

\sum _{j}x_{j}y_{j}=0;\quad \sum _{j}x_{j}^{2}-y_{j}^{2}=6(a^{2}-b^{2})

정삼각형의 기하학에 의해, 우리는 각 j {\displaystyle j}에 $\sum _{j}\zeta _{j}^{2}=0$ ∑ j ζ $\sum _{j}\zeta _{j}^{2}=0$ j 2 = $0 {\$ $displaystyle$ \sum _{j}\zeta _{j}^{2}= 0 ζ j = 2 b {\displaystyle \zeta _{j} = 2b}를 갖는데, 이는 다음을 의미합니다.

\sum _{j}{\frac {2b}{a}}x_{j}y_{j}=0;\quad \sum _{j}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x_{j}^{2}-y_{j}^{2}=0;\quad \sum _{j}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x_{j}^{2}+y_{j}^{2}=12b^{2}

원하는 동등함을 얻을 수 있습니다.

타원에서 근 위치와 슈타이너 사이의 추가 관계

가우스-루카스 정리에 따르면 $이중$ 도함수 p $(z)$ 의 근은 타원의 중심점과 삼각형의 중심점인 두 초점의 평균이어야 합니다. 삼각형이 등변인 특수한 경우(예를 들어 $다항식$ p $(z)$ = z - $1$ 의 경우) 내접 타원은 원이 되고, $p$ 의 도함수는 원의 중심에 이중근이 있습니다. 반대로 도함수가 이중근을 가지면 삼각형은 등변이어야 합니다(Kalman 2008a).

일반화

린필드(1920)로 인해 보다 일반적인 형태의 정리는 i + $j$ + $k$ 의 $차수$ 가 3보다 높을 수 있지만 a, b, $c$ 의 $근이$ 3개뿐인 $다항식 p$ (z) =( $z$ - a) ( $z$ - $b)$ ( $z$ - c $)$ 에 적용됩니다. 이러한 다항식의 경우, 도함수의 근은 주어진 다항식의 다중 근(지수가 1보다 큰 근)과 삼각형에 대한 접선점이 $i : j$ , $j : k$ 및 $k : i$ 비율로 변을 나누는 타원의 초점에서 찾을 수 있습니다.

또 다른 일반화(Parish (2006))는 n-곤에 대한 것입니다. 어떤 n-곤은 한 변의 중간 지점에서 각 변에 접하는 내부 타원을 가지고 있습니다. 마든의 정리는 여전히 적용됩니다. 타원에서 이 중간 접선의 초점은 0이 n-곤의 꼭짓점인 다항식의 도함수의 0입니다.

역사

마르덴이 이 정리에 대해 쓰기 81년 전에 요르크 시벡이 이 정리를 발견했습니다. 그러나 댄 칼만은 그의 미국 수학 월간지 "마든의 정리"라는 제목을 붙였는데, 그 이유는 그가 이렇게 쓸 때 "M. 마든의 멋진 책에서 처음 읽었기 때문에 이것을 마든의 정리라고 부릅니다"라고 썼기 때문입니다.

마르덴(Marden, 1945, 1966)은 현재 마르덴의 정리로 알려진 것을 시벡(Siebeck, 1864)의 탓으로 돌리고, 그 정리의 버전을 포함한 9개의 논문을 인용합니다. 댄 칼만은 2009년 레스터 R에서 우승했습니다. 미국 수학 월간지에 이 정리를 기술한 2008년 논문으로 미국 수학 협회의 포드 상.

참고 항목

유리함수에 대한 보어 정리

참고문헌

^ "Carlson's proof of Marden's theorem" (PDF).

Kalman, Dan (2008a), "An Elementary Proof of Marden's Theorem", The American Mathematical Monthly, 115 (4): 330–338, doi:10.1080/00029890.2008.11920532, ISSN 0002-9890, S2CID 13222698
Kalman, Dan (2008b), "The Most Marvelous Theorem in Mathematics", Journal of Online Mathematics and Its Applications
Linfield, B. Z. (1920), "On the relation of the roots and poles of a rational function to the roots of its derivative", Bulletin of the American Mathematical Society, 27: 17–21, doi:10.1090/S0002-9904-1920-03350-1.
Marden, Morris (1945), "A note on the zeroes of the sections of a partial fraction", Bulletin of the American Mathematical Society, 51 (12): 935–940, doi:10.1090/S0002-9904-1945-08470-5
Marden, Morris (1966), Geometry of Polynomials, Mathematical Surveys, vol. 3, Providence, R.I.: American Mathematical Society; reprint of 1949 original publicationMarden, Morris (1966), Geometry of Polynomials, Mathematical Surveys, vol. 3, Providence, R.I.: American Mathematical Society; reprint of 1949 original publication{{citation}}CS1 메인트: 포스트스크립트(링크); 수정된 2005 pbk 재인쇄
Parish, James L. (2006), "On the derivative of a vertex polynomial" (PDF), Forum Geometricorum, 6: 285–288: Proposition 5
Siebeck, Jörg (1864), "Über eine neue analytische Behandlungweise der Brennpunkte", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 64: 175–182, ISSN 0075-4102 신뢰의 고리

[1] "Carlson's proof of Marden's theorem" (PDF).

[1]

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타원에서 근 위치와 슈타이너 사이의 추가 관계

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