장려자

기하학에서 삼각형의 유도체는 삼각형의 중심이며, 삼각형의 배치나 축척과 독립적인 방식으로 삼각형에 대해 정의된 점이다. 인센티브는 삼각형의 내부 각 이등분자가 교차하는 지점, 삼각형의 측면으로부터 등거리점, 삼각형의 내연축과 내연변형의 가장 안쪽 지점, 그리고 삼각형의 새겨진 원의 중심점으로 동등하게 정의될 수 있다.

중심, 원곡, 직교와 함께 고대 그리스인에게 알려진 4개의 삼각 중심 중 하나이며, 일반적으로 오일러 선에 있지 않은 것은 유일하다. 클라크 킴벌링의 '삼각형 센터 백과사전'에 최초로 등재된 센터 X(1)이며, 삼각형 센터들의 승수집단의 정체성 요소다.^[1][2]

3면 이상인 다각형의 경우, 인센티브는 다각형의 각 면에 접하는 근선을 갖는 다각형에 대해서만 존재한다. 이 경우 인센티브는 이 원의 중심이며 모든 면에서 동등하게 떨어져 있다.

정의 및 시공

삼각형의 세 내부 각도 이등분자가 한 점에서 만나는 것은 유클리드 기하학의 정리다. 유클리드 원소에서 4권의 프로포즈 4는 이 지점이 삼각형의 새겨진 원의 중심이기도 하다는 것을 증명한다. 근친 자체는 인센티브자에서 삼각형의 한 측면으로 수직으로 떨어뜨리고 그 부분을 반지름으로 하여 원을 그리면 구성될 수 있다.^[3]

인센티브는 삼각형의 측면을 형성하는 세 선 부분과 그러한 세그먼트를 포함하는 세 선에서 같은 거리에 있다. 선분할에서 균등하게 떨어진 유일한 점이지만, 선에서 균등하게 떨어져 있는 점인 엑센서스가 3개 더 있으며, 이는 주어진 삼각형의 구획의 중심을 형성한다. 인센티브와 엑센서가 함께 정형화된 시스템을 형성한다.^[4]

폴리곤의 내측 축은 폴리곤에서 가장 가까운 이웃이 고유하지 않은 점들의 집합이다. 이 점들은 폴리곤의 두 개 이상의 면으로부터 등거리한다. 내측 축을 계산하는 한 가지 방법은 풀파이어 변환을 사용하는 것인데, 이 변환은 각각 폴리곤으로부터 일정한 거리에 있는 오프셋 곡선의 연속적인 순서를 형성한다. 내측 축은 이 곡선의 정점에 의해 추적된다. 삼각형의 경우, 내축은 3개의 각도 이등분자로 구성되며, 삼각형의 정점을 가장 안쪽의 간격띄우기 곡선의 고유점인 인센티브에 연결한다.^[5] 다른 유형의 간격띄우기 곡선과 유사한 방식으로 정의되는 직선 골격은 볼록 폴리곤의 내축과 일치하며, 또한 인센티브에서 그 접합점이 있다.^[6]

교정쇄

비율 증명

$\angle {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\$}의 이음매 삽입$AC}}$ and ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ meet at ${\displaystyle D}$, and the bisection of ${\displaystyle \angle {ABC}}$ and ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ meet at ${\displaystyle E}$, and ${\displaystyle {\overline {AD}}}$ and ${\displa$$ystyle {\overline {BE}}$은(는) $I{\displaystyle }$ ${\$에서 만난다$$$.$

$그리고{\displaystyle \stackrel{}{}}$ C ${\displaystyle \stackrel{}{I}}$의${\displaystyle {CI}}$과 A${\displaystyle \stackrel{B}{}}$의$${\$displaystyle$ {\displaystyle ${\displaystyle$$}$을(를$)$ $F{\displaystyle }$ ${\$ {F}에서 만나도록$$ $하십시오$

그렇다면 $우리$는 C${\displaystyle \stackrel{I}{}}$의 ${\$이(가)${\displaystyle \mathrm{}}$A ${\displaystyle C}$ B ${\$ {$ACB}$의 양분임을 증명해야 한다$.$

In${\displaystyle \mathrm{}}$&${\displaystyle \mathrm{shy}}$; ${\displaystyle A}$C F {\$displaystyle \triangle{$$ACF{\displaystyle \stackrel{}{}}$},$$A ${\displaystyle \stackrel{}{C}}$ ${\displaystyle =C\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{I}\text{'}\text{'}}$ : ${\displaystyle \stackrel{}{I}}$ F$'{\$ {\overline$}$$IF$

in$.{\displaystyle \mathrm{}B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$ ${\$ B ${\displaystyle \stackrel{}{C}}$의 ${\displaystyle :}$ ${\displaystyle B\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{F}}$= C ${\displaystyle \stackrel{}{I}\text{'}\text{'}}$s : I $'{\$ {$BF}={\overline$ {CI$}}}}}}}\$overline$${\overline}}}}}}}}}}\$overline$ {\overline}}{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}\overline}$IF$

Therefore, ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {BC}}:{\overline {BF}}}$, so that ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AF}}:{\overline {BF}}}$.

그래서 C ${\displaystyle \stackrel{}{F}}$의 ${\${$CF$$}}$은(는)${\displaystyle \mathrm{}c}$ ${\displaystyle A}$ C$$B {\$displaystyle \angle$ {ACB$}$의 양분법이다$$.

수직 프루프

각 이등분선인 선은 수직으로 측정할 때 두 선으로부터 등거리한다. 두 이등분자가 교차하는 지점에서 이 점은 최종 각도의 형성 선으로부터 수직으로 등거리(가장자리 반대쪽 이등분선으로부터 같은 거리이기 때문에)이며, 따라서 이등분선에 놓여 있다.

삼각형 측면 및 정점에 대한 관계

삼선 좌표

삼각형의 한 점에 대한 삼선 좌표는 삼각형 변에 대한 거리의 비율을 제공한다. 인센티브를 위한 3행 좌표는 다음에^[2] 의해 제공된다.

$1:1:1.}$

삼각형 중심들의 집합은 삼선 좌표의 좌표적 곱셈에 따라 집단의 구조로 주어질 수 있다. 이 집단에서, 장려자는 정체성 요소를 형성한다.^[2]

편심 좌표

삼각형 점의 이심 좌표는 점이 삼각형 꼭지점 위치의 가중 평균이 되도록 가중치를 부여한다. 인센티브를 위한 2차 좌표는 다음과 같다.

${\displaystyle \ a:b:c}$

$여기$서, a$${\$displaystyle a$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$및 c ${\displaystyle c}$은 삼각형의 변의 길이 또는$$ (sine의 법칙을 사용하여) 다음에 의해 동등하게 (sine의 법칙을 사용하여) 된다.

$\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}$

여기서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$및 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$은 세 꼭지점의 각이다.

데카르트 좌표, 평행 좌표.

인센티브자의 데카르트 좌표는 둘레에 상대적인 삼각형의 측면 길이(즉, 위에서 주어진 이변성 좌표를 사용하여 통일성에 합치도록 정규화함)를 사용한 3개의 정점 좌표에 대한 가중 평균이다. (가중치는 양성이므로 인센티브는 위에서 설명한 대로 삼각형 안에 위치한다.) If the three vertices are located at ${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$, ${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$, and ${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$, and the sides opposite these vertices have corresponding lengths ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, a$nd{\displaystyle }$ c ${\displaystyle$ c$\},$ 그러면 인센티브 제공자는

${\displaystyle {\bigg(}{\frac {ax_{})A}+bx_{B}+cx_{{}C}{a+b+c},{\frac {ay_{A}+by_{B}+cy_{{C}{a+b+c}}{\bigg )}={\frac {a(x_{A},y_{A}}+b(x_{B},y_{B})+c(x_{C},y_{C}}}}}{a+b+c}}}.}$

정점까지의 거리

I로서 삼각형 ABC의 인센티브를 나타냄으로써, 인센티브자에서 정점까지의 거리는 삼각형 변의 길이와 결합되어 방정식을^[7] 따른다.

$디스플레이 스타일(displaystyle {\frac}IA\cdot IA}{CA\cdot AB}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}=1.}$

게다가^[8]

${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}$

여기서 R과 r은 각각 삼각형의 원곡선, 인반선이다.

관련 구성

기타 센터

인센티브자에서 중심까지의 거리는 삼각형의 가장 긴 중앙값의 3분의 1보다 작다.^[9]

기하학에서 오일러의 정리에 의해, 인센티브자 I로부터 할례자 O까지의 제곱 거리는 다음과 같이^[10][11] 주어진다.

${\displaystyle OI^{2}=R(R-2r),}$

여기서 R과 r은 각각 회음부 및 인라디우스가므로 회음부(inradius)는 최소한 인라디우스의 2배 이상이며, 등변부(equietary)의 경우에만 동등하다.^{[12]: p. 198}

인센티브로부터 9점 원의 중심 N까지의 거리는 다음과^[11] 같다.

${\displaystyle IN={\frac {1}{1}{1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.}$

인센티브자에서 직교점 H까지의 거리 제곱은 다음과^[13] 같다.

${\displaystyle IH^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.}$

불평등도에는 다음이 포함된다.

$[\displaystyle IG,\quad IH,\quad IG,\quad IG,\quad IG,\quad 2IN]IO.}$

인센티브는 내측 삼각형의 나겔점(정점이 변의 중간점인 삼각형)이므로 이 삼각형 안에 위치한다. 반대로 어떤 삼각형의 나겔 지점은 그것의 반완성 삼각형의 유인책이다.^[14]

인센티브는 직경이 중심 G와 직교점 H(직교점 디스크)를 연결하는 디스크 내부에 있어야 하지만 직경을 따라 1/4이 고정된 9점 중심과 일치할 수 없다. 정형외과적 디스크 내의 다른 점은 독특한 삼각형의 유도체다.^[15]

오일러 선

삼각형의 오일러 선은 다른 점들 중에서 그것의 원곡선, 중심선, 직교점을 통과하는 선이다. 장려자는 일반적으로 오일러 선에 있지 않으며 오일러 선은 삼각형의 대칭축과 일치하고 모든 삼각형 중심을 포함하는 등실 삼각형에만 오일러 선에 있다.^[16][17]

인센티브자에서 오일러 선까지의 거리를 d로, 가장 긴 중위수의 길이 v로, 가장 긴 면의 길이 u로, 원곡선(R로), 직교점에서 원곡선까지의 오일러 선분할의 길이 e로, 그리고 반퍼미터로 나타내는 다음과 같은 불평등은 다음과 같다.^[18]

${\displaystyle {\frac {d}{d}{u}}{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3};}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{3}e;}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{2}}R.}$

면적 및 둘레 스플리터

삼각형의 영역과 둘레를 절반으로 나누는 삼각형을 통과하는 어떤 선은 삼각형의 인센티브를 통과한다; 영역을 절반으로 나누는 인센티브를 통과하는 모든 선은 둘레를 절반으로 나눈다. 주어진 삼각형에는 이 선들 중 하나, 둘 또는 셋이 있다.^[19]

각도 이등분자로부터의 상대적 거리

X를 A의 내부 각도 이등분기의 변수 점으로 한다. 그런 다음 X = I(유인자)는 이등분선을 따라$$ B ${\displaystyle \frac{X}{}}$ ${\displaystyle \frac{C}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$의 비율을 최대화하거나 최소화한다.^[20][21]

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Incenter". MathWorld.