디락-본 노이만 공리

수학 물리학에서 디락-본 노이만 공리는 힐버트 공간의 연산자 측면에서 양자 역학의 수학적 공식화를 제공한다. 1930년에는 폴 디락, 1932년에는 존 폰 노이만(John von Neumann)에 의해 도입되었다.

힐버트 공간 제형

공간 $H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$는) 셀 수 있는 무한 차원의 고정된 복합 힐버트 공간이다.

• 양자 시스템의 관측 가능성은 $H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 있는 자기 적응 연산자 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$로 정의된다$.$
• 양자 시스템의 상태$$ $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi }$은$($는) $H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 단위 벡터로서 최대 스칼라 배수까지 또는 동등하게 Hilbert 공간 $H{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {$H}}$의 한 광선이다$.$
• 상태 ${\displaystyle \psi }$에 있는 시스템에 대한 관측 가능한 A의 기대값은 내부 제품 $⟨{\displaystyle \psi }$ , $A \psi \rangle }$에 의해 주어진다$$$.$

연산자 대수식

Dirac-von Neumann 공리는 다음과 같이 C*-algebra의 관점에서 공식화될 수 있다.

• 양자 역학 시스템의 경계 관측 가능성은 C*-알지브라(C*-algebra)의 자가 적응 요소로 정의된다.
• 양자 역학 시스템의 상태는 C*-알지브라 상태(즉, 정규화된 양의 선형 함수 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega})$로 정의된다.$$
• 요소 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 상태 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$의 값 $\Omega {\displaystyle }$(${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle$\omega $}$은(는) 양자 시스템이 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$ 상태일 경우$$ 관측 $가능$한 A ${\displaystystystylease A}$의 기대값이다$.$

예

If the C*-algebra is the algebra of all bounded operators on a Hilbert space ${\displaystyle \mathbb {H} }$, then the bounded observables are just the bounded self-adjoint operators on ${\displaystyle \mathbb {H} }$. If ${\displaystyle v}$ is a unit vector of ${\displaystyle \mathbb {H} }$ then ${\displaystyle \omega (A)=⟨}$${\displaystyle v}$, ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \omega (A)=\langle v,Av\rangele }$은 C*-algebra에 있는 상태로$$, 단위 벡터(최대 스칼라 곱셈)가 시스템의 상태를 제공한다는 뜻이다. 이는 디라크가 양자역학을 공식화한 것과 유사하지만, 디락은 무한 연산자를 허용했고, 자기 성인과 에르미트 연산자를 명확히 구분하지 않았다.

참고 항목

• 슈뢰딩거 방정식의 도출
• 자명 양자장 이론

참조

• Dirac, Paul (1930), The Principles of Quantum Mechanics
• Strocchi, F. (2008), An introduction to the mathematical structure of quantum mechanics. A short course for mathematicians, Advanced Series in Mathematical Physics, 28 (2 ed.), World Scientific Publishing Co., Bibcode:2008ASMP...28.....S, doi:10.1142/7038, ISBN 9789812835222, MR 2484367
• Takhtajan, Leon A. (2008), Quantum mechanics for mathematicians, Graduate Studies in Mathematics, 95, Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/095, ISBN 978-0-8218-4630-8, MR 2433906
• von Neumann, John (1932), Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Berlin: Springer, MR 0066944