디락 브라켓

디락 브라켓은 해밀턴 역학에서 제2종 제약이 있는 고전적 시스템을 취급하여 정량화를 할 수 있도록 하기 위해 폴 디락이^[1] 개발한 포아송 브라켓을 일반화한 것이다.보다 일반적인 라그랑비아인들을 우아하게 다루는 것은 디라크가 해밀턴 역학을 개발하는 데 중요한 부분이다. 특히, 제약조건이 닥쳤을 때, 명백한 변수의 수가 역동적인 변수의 수를 초과하도록 하는 것이다.^[2]보다 추상적으로, 디락 괄호에서 암시하는 두 가지 형태는 위상 공간의 제약조건 표면으로 동시적 형태를 제한하는 것이다.^[3]

이 글은 표준 라그랑비아어와 해밀턴어 형식에 익숙하고, 표준 정량화에 대한 연관성을 가정한다.디라크의 변형된 해밀턴식 형식주의의 세부사항도 디라크 대열을 문맥에 넣기 위해 요약된다.

표준 해밀턴 절차의 부적절성

해밀턴 역학의 표준 개발은 다음과 같은 몇 가지 특정한 상황에서 불충분하다.

1. 라그랑지안이 적어도 하나의 좌표 속도에서 최대로 선형인 경우, 이 경우 표준 운동량의 정의는 제약으로 이어진다.이것이 디락 괄호를 의지하는 가장 빈번한 이유다.예를 들어 어떤 페르미온에 대한 라그랑지안(밀도)은 이런 형태다.
2. 수정이 필요한 게이지(또는 기타 비물리적) 자유도가 있는 경우
3. 위상 공간에 부과하고자 하는 다른 제약조건이 있을 때.

속도에서 라그랑어 선형 예제

고전역학에서 예로는 전하 q와 질량 m이 강한 상수 동종 수직 자기장을 가진 x - y 평면에 국한된 입자로, 그 다음 강도 B로 z 방향을 가리킨다.^[4]

적절한 매개변수를 선택할 수 있는 이 시스템의 라그랑지안은

${\displaystyle L={\tfrac {1}{1}{2}}m{\vec{v}^{2}+{\frac {q}{c}}{\vec}-V({\vec}}),}$

여기서 →A는 자기장의 벡터 전위, →B; c는 진공에서 빛의 속도, V(→r)는 임의의 외부 스칼라 전위로서 일반성의 손실 없이 x와 y로 2차적으로 쉽게 받아들일 수 있다.우리는 사용한다.

${\displaystyle {\vec{A}={\frac {B}{2}}(x{\hat {y}-y}-y{\x})}$

벡터 전위로서, 이것은 z 방향의 균일하고 일정한 자기장 B에 해당한다.여기서 모자는 단위 벡터를 나타낸다.그러나 이 글의 뒷부분에서는 양자역학 연산자와 고전적 아날로그를 구별하는 데 사용된다.용법은 문맥에서 분명히 해야 한다.

분명히, 라그랑비아인들은 단지

${\displaystyle L={\frac {m}{{\dot{x}^{2}+{\dot{y}^{2}+{\frac {qB}{2c}}(x{\dot{y}-y}}}})-V(x,y)~,},}$

운동 방정식으로 이어지는 것

${\displaystyle m{\dot{x}=-{\frac {\partial v}{\partial x}+{\frac {qB}{c}{\dot {y}}}}}}}$

${\displaystyle m{\dot{y}=-{\frac {\partial V}{\partial y}{\partial y}-{\frac {qB}{c}}{\dot {x}}}.}$

고조파 전위의 경우 V의 그라데이션은 좌표만 -(x,y)에 이른다.

자, 이제, 매우 큰 자기장의 한계 안에서, qB/mc 1 1.그런 다음 간단한 근사치 라그랑지안을 생성하기 위해 운동 용어를 떨어뜨릴 수 있다.

${\displaystyle L={\frac {qB}{2c}(x{\dot{y}-y}-y}-{x})-V(x,y)~,}$

일차 운동 방정식으로.

${\daptyle {\dot {y}={\frac {c}{q}B}{\frac {\partial V}{\partial x}}}$

${\dot스타일 {\dot}=-{\frac {c}{qB}{\frac {\partial V}{\partial y}~.}$

이 근사치 라그랑지안은 속도에서 선형이며, 이는 표준 해밀턴 절차가 분해되는 조건 중 하나이다.이 예가 근사치로 동기를 부여한 반면, 고려중인 라그랑지안은 합법적이며 라그랑지식의 형식주의에서 일관된 운동 방정식으로 이어진다.

그러나 해밀턴 절차에 따라 좌표와 관련된 표준적인 모멘텀a는 현재에 이르고 있다.

${\displaystyle p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {x}}=-{\frac {qB}{2c}y}}$

${\displaystyle p_{y}={\frac {\partial L}{\partial {\dot{y}}}={\frac {qB}{2c}x~},}$

이러한 변수들은 속도에서 변위할 수 없다는 점에서 특이하다. 대신, 그것들은 좌표의 함수로 제한된다. 즉, 4상 공간 변수는 선형적으로 의존하기 때문에 변수 기초가 지나치게 완전하다.

레전드르 변환은 그 후 해밀턴을 만든다.

${\displaystyle H(x,y,p_{x},p_{y}={\dot {x}p_{x}+{\dot {y}p_{y}-L=V(x,y))={\dot {y}.}$

이 "생동적인" 해밀턴인은 모멘타에 의존하지 않는다는 점에 유의하십시오. 이는 움직임 방정식(해밀턴 방정식)이 일관성이 없다는 것을 의미한다.

해밀턴식 절차가 결렬되었다.때로는 좌표를 순간으로, 때로는 좌표로 표현하고_y 때로는 좌표로 표현하고 있는, 예를 들어 y와 p라는 4차원 위상 공간의 두 구성 요소를 제거함으로써 문제를 해결하려고 할 수 있다.그러나 이것은 일반적이거나 엄격한 해결책이 아니다.이것이 문제의 핵심을 찌른다: 표준적인 순간의 정의는 결코 고려하지 않았던 위상 공간(순간과 좌표 사이)에 대한 제약을 내포하고 있다.

일반화된 해밀턴 절차

라그랑기 역학에서, 만약 시스템이 홀로노믹 제약조건을 가지고 있다면, 일반적으로 라그랑기 역학에 라그랑기 승수를 더하여 그들을 설명하게 된다.추가 용어는 제약 조건이 충족되면 사라지므로 고정 작용의 경로가 제약 조건 표면에 있게 된다.이 경우 해밀턴식 형식주의로 가는 것은 해밀턴식 역학의 위상공간에 대한 제약을 도입하지만 해법은 비슷하다.

진행하기 전에 약한 평등과 강한 평등의 개념을 이해하는 것이 유용하다.위상 공간의 두 가지 함수인 f와 g는 제약조건이 충족될 때 같을 경우 약하게 동등하지만 위상공간 전체에 걸쳐 동일하지 않을 경우 f g g로 표시된다. f와 g가 충족되는 제약조건과 독립적으로 동일할 경우, 그들은 강하게 동등하게 쓰여진 f = g로 불린다.정답을 얻기 위해서는 파생상품이나 포아송 대괄호를 평가하기 전에 약한 방정식을 사용할 수 없다는 점에 유의해야 한다.

새로운 절차는 다음과 같이 작동하며, 라그랑지아로부터 시작하여 일반적인 방법으로 표준적인 모멘텀a를 정의한다.그러한 정의 중 일부는 되돌릴 수 없고 대신 위상 공간에 제약을 줄 수 있다(위).이런 식으로 파생되거나 문제의 시작에서 부과된 제약조건을 일차적 제약조건이라고 한다.φ라고_j 표시된 제약조건은 약하게 사라져야 하며 φ_j (p,q) ≈ 0.

다음으로, 위의 예에서와 정확히 같이 레전드르 변형을 통해 순진한 해밀턴인 H를 통상적인 방법으로 발견한다.해밀턴어는 속도가 모멘타의 함수로 반전될 수 없더라도 항상 qs와 ps의 함수로만 쓸 수 있다는 점에 유의한다.

해밀턴의 일반화

디락은 해밀턴식(일부 라그랑주 승수의 방법과 유사하게)을 일반화해야 한다고 주장한다.

${\displaystyle H^{*}=H+\sum _{j}c_{j}\phi _{j}\reason H,}$

여기서 c는_j 상수가 아니라 좌표와 순간의 함수다.이 새로운 해밀턴은 순진한 해밀턴인과 약하게 동등한 좌표와 모멘텀의 가장 일반적인 기능이기 때문에, H는^* 해밀턴인의 ΔH_j * Δφ 0일 때 ΔH가 되도록 가능한 한 가장 넓은 일반화다.

c를_j 더 밝게 하려면, 표준 절차에서 순진한 해밀턴주의자로부터 어떻게 운동 방정식을 얻는지 생각해 보라.하나는 해밀턴인의 변동을 두 가지 방법으로 확장시켜 균등하게 설정한다(압박된 지수와 합을 가진 다소 약칭 표기법 사용).

${\displaystyle \delta H={\frac {\partial q}{\partial q}{\delta q}{\partial p}}}\pdelta p\dot {p},}$

오일러-라그랑주 운동 방정식과 표준 운동량 정의로 단순화한 후 두 번째 평등이 유지되는 곳.이 평등으로부터 해밀턴식 형식주의에서의 운동 방정식을 추론한다.

${\displaystyle \p=0,}{\frac {\partial q}{\partial q}{p}\dot {p}\partial q}\p,}\delta p=0,}$

정의에 따르면 운동 방정식은 약하게만 유지되기 때문에 약한 평등 기호가 더 이상 명시적으로 표시되지 않는다.현 상황에서는 단순히 Δq와 Δp의 계수를 따로 0으로 설정할 수 없으며, 그 변동은 제약조건에 의해 어느 정도 제한되기 때문이다.특히 변형은 구속조건 표면에 접선되어야 한다.

에 대한 해결책임을 증명할 수 있다.

${\displaystyle \sum \{n}A_{n}\delta q_{n}+\sum _{n}B_{n}\delta p_{n}=0,}$

Δq와_j Δp_n 제약조건에 의해 제한되는 Δq와_n Δp의 경우 (제한조건이 일부 규칙성 조건을 만족한다고 가정할 때)는 일반적으로^[5] 다음과 같다.

${\displaystyle A_{n}=\sum _{m}u_{m}{\frac {\partial \phi _{m}{\partial q_{n}}}}}}}$

${\displaystyle B_{n}=\sum _{m}u_{m}{\frac {\partial \phi _{m}{\partial p_{n}}},}$

여기서 u는_m 임의의 기능이다.

이 결과를 사용하여 운동 방정식은

${\daptyle {\p}_{j}=-{\frac {\partial q_{j}}-\sum _{k}u_{k}{partial \phi _{k}{partial q_{j}}}}}}}$

${\daptyle {\q}_{j}={\frac {\partial h}{{j}}+\sum _{k}u_{k}{partial \pi_{k}}{partial p_{j}}}}}}}}}$

${\displaystyle \pi _{j}(q,p)=0,}$

여기서 u는_k 원칙적으로 위의 두 번째 운동 방정식에서 결정할 수 있는 좌표와 속도의 함수다.

라그랑비아식 형식주의와 해밀턴식 형식주의 사이의 레전드르 변환은 새로운 변수를 추가하는 비용으로 절약되었다.

일관성 조건

만약 f가 좌표와 모멘트의 일부 함수라면, 움직임의 방정식은 포아송 브래킷을 사용할 때 더 압축적이 된다.

${\displaystyle {\dot{f}\cH00\cH00FF,H^{*}\}_{PB}\ 약 \{f,H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{f,\phi _{k}\}_{PB}}}}$

만일 u_k(속도의 기능)가 있는 포아송 대괄호가 존재한다고 가정할 경우, 이는 기여도가 약하게 사라지기 때문에 문제를 일으키지 않는다.이제, 이 형식주의가 이치에 맞으려면 충족되어야 할 몇 가지 일관성 조건이 있다.제약조건이 충족되려면 운동방정식이 약하게 사라져야 한다. 즉, 우리는 필요하다.

${\dottyle {\dot {\phi _{j}\cH00\cH00FFI _{j},H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{\phi _{j}\phi _{k}\{PB}\ 약 0.}$

위에서 비롯될 수 있는 조건에는 다음과 같은 네 가지 유형이 있다.

1. 1=0과 같이 본질적으로 거짓인 방정식.
2. 1차적 제약 조건 중 하나를 사용한 후와 동일하게 참인 방정식.
3. 우리의 좌표와 모멘텀에 새로운 제약을 두지만 u와는_k 무관한 방정식이다.
4. u를_k 지정하는 데 사용되는 방정식.

첫 번째 경우는 출발 라그랑지안이 L = q와 같이 일관되지 않은 운동 방정식을 제공한다는 것을 나타낸다.두 번째 경우는 새로운 것에 기여하지 않는다.

세 번째 경우는 위상 공간에 새로운 제약을 준다.이런 식으로 파생된 구속조건을 이차 구속조건이라고 한다.이차적 제약조건을 발견하면 그것을 확장된 해밀턴에 추가하고 새로운 일관성 조건을 점검해야 하며, 이것은 여전히 더 많은 제약조건을 초래할 수 있다.더 이상의 제약이 없을 때까지 이 과정을 반복한다.일차적 제약조건과 이차적 제약조건의 구분은 대체로 인위적 제약(즉, 같은 시스템에 대한 제약조건은 라그랑지안에 따라 일차적 또는 이차적 제약조건이 될 수 있다)이기 때문에 이 기사는 이 제약조건들을 여기서부터 구별하지 않는다.모든 제약조건이 발견될 때까지 일관성 조건이 반복되었다고 가정하면, φ은_j 모든 제약조건을 지수화한다.이 글은 처음에 문제에 있지 않았거나 표준적인 순간의 정의에서 파생된 제약조건을 의미하기 위해 2차 제약조건을 사용한다. 일부 저자들은 2차 제약조건, 3차 제약조건, 기타 세부조건을 구별한다.

마지막으로, 마지막 사건은 U를_k 고치는 데 도움이 된다.만약, 이 과정이 끝날 때_k, u가 완전히 결정되지 않는다면, 그것은 시스템에 비물리적 (게이지) 자유도가 있다는 것을 의미한다.일단 순진한 해밀턴인에 모든 제약조건(1차, 2차)이 추가되고 u의_k 일관성 조건에 대한 해결책이 꽂히면 그 결과를 토탈 해밀턴이라고 부른다.

u의_k 결정

u는_k 형식의 일련의 비균형 선형 방정식을 풀어야 한다.

${\displaystyle \{\phi_{j},H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{\phi _{j}\phi _{k}\{PB}\ 약 0.}$

위의 방정식은 적어도 하나의 해결책을 보유해야 한다. 그렇지 않으면 초기 라그랑지안은 일관성이 없기 때문이다. 그러나 게이지 자유도가 있는 시스템에서는 솔루션이 고유하지 않을 것이다.가장 일반적인 해결책은 형식이다.

${\displaystyle u_{k}=U_{k}+V_{k}}$

여기서 U는_k 특정 솔루션이고 V는_k 동질 방정식의 가장 일반적인 솔루션이다.

${\displaystyle \sum \{k}V_{k}\{\phi_{j}\phi_{k}\{PB}\ 약 0.}$

가장 일반적인 해법은 위의 동종 방정식에 대한 선형 독립 해법의 선형 결합일 것이다.선형 독립 솔루션 수는 u의_k 수(제한조건 수와 동일)에서 네 번째 유형의 일관성 조건 수(이전 하위섹션에서)를 뺀 값과 같다.이것은 시스템에 있는 비물리적 자유도의 수입니다.인덱스가 1에서 비물리적 자유도까지 실행되는 선형 독립 솔루션 V에_k^a 라벨을 붙이는 것은 일관성 조건에 대한 일반적인 해결책은 형식이다.

${\displaystyle u_{k}\관련 U_{k}+\sum _{a}v_{a}V_{k}^{a}}}}$

여기서 v는_a 시간의 완전히 임의적인 함수다.v의_a 다른 선택은 게이지 변환에 해당하며 시스템의 물리적 상태를 변경하지 않은 상태로 유지해야 한다.^[6]

해밀턴 총계

이쯤 되면 해밀턴의 토탈을 소개하는 것이 당연하다.

${\displaystyle H_{T}=H+\sum _{k}U_{k}\phi _{k}+\sum _{a,k}v_{a}V_{k}^{a}\phi _{k}}}$

그리고 표시된 것은

$H'=H+\sum _{k}U_{k}\phi _{k}.}$

위상 공간에 대한 함수의 시간 진화, f는 에 의해 제어된다.

${\displaystyle {\dot{f}\cH00\cH00FF,H_{T}\}_{PB}.}$

이후 확장된 해밀턴인이 소개된다.게이지-상변량(물리학적으로 측정할 수 있는 수량)의 경우, 해밀턴인들은 모두 약하게 동등하기 때문에 동일한 시간 진화를 제공해야 한다.그것은 오직 비유동량만을 위한 것이어서 구별이 구별은 중요해진다.

디락 브라켓

위는 디락의 변형된 해밀턴식 절차에서 운동 방정식을 찾는 데 필요한 모든 것이다.그러나 운동 방정식을 갖는 것은 이론적 고려의 끝점이 아니다.만약 어떤 사람이 일반적인 시스템을 정량화하고 싶다면, Dirac 대괄호가 필요하다.Dirac 대괄호를 정의하기 전에 1종 및 2종 제약조건을 도입할 필요가 있다.

우리는 좌표와 순간의 f(q, p) 함수를 모든 제약을 가진 포아송 대괄호가 약하게 사라지면, 즉, 첫 번째 등급이라고 부른다.

${\displaystyle \{f,\phi _{j}\}_{PB}\ 약 0,}$

완전히약하게 소멸되는 유일한 양은 제약 조건 φ이며_j, 따라서 약하게 소멸되는 모든 양은 제약 조건의 선형 조합과 강하게 같아야 한다는 점에 유의한다.일급수량 2개의 포아송 브래킷도 일급수여야 함을 증명할 수 있다.제1종 제약조건은 앞에서 언급한 비물리적 자유의 정도와 밀접하게 연관되어 있다.즉, 독립적 1등급 제약조건의 수는 비물리적 자유도의 수와 같으며, 나아가 1차 1등급 제약조건은 게이지 변환을 발생시킨다.Dirac은 또한 모든 2차 1등급 제약조건이 거짓으로 판명된 게이지 변환 생성기라고 가정했지만, 일반적으로 이 처리를 사용할 때 모든 1등급 제약조건이 게이지 변환을 발생시킨다고 가정하여 작동한다.^[7]

1급 1차 제약조건이 총 해밀턴에 도착하기 위해 1급 1차 제약조건이 추가되면서_a 임의 v로 해밀턴계에 1급 2차 제약조건이 추가되면, 1급은 확장 해밀턴을 얻는다.확장된 해밀턴은 게이지 의존적인 수량에 대해 가능한 가장 일반적인 시간 진화를 제공하며, 실제로 라그랑가 형식주의에서 나온 운동 방정식을 일반화할 수 있다.

디락 브라켓을 도입하는 목적상, 보다 직접적인 관심사는 제2종 제약조건이다.두 번째 등급 제약조건은 적어도 하나 이상의 다른 제약조건과 함께 비바니싱 포아송 대괄호를 갖는 제약조건이다.

예를 들어, 포아송 대괄호가 단순히 상수인 2등급 제약 조건 φ과₁ φ을₂ 고려한다.

${\displaystyle \{\phi _{1},\phi _{2}\}_{{}}PB}=c~.}$

이제 표준 정량화를 사용하려고 하면 위상-공간 좌표가 연산자가 되고, 그 연산자가 고전적인 포아송 대괄호를 i배로 곱한다고 가정하자.새로운 양자 수정을 야기하는 주문 문제가 없다고 가정하면, 이는 다음을 의미한다.

${\displaystyle [{\hat {\phi }}{1},{\hat {\phi }}}=i\hbar ~c,}$

여기서 모자는 제약 조건이 운영자에게 있다는 사실을 강조한다.

한편으로 표준 정량화는 위의 정류 관계를 주지만, 다른 한편으로 and과₁ are은₂ 물리적 상태에서 사라져야 하는 제약조건인 반면, 오른손은 사라질 수 없다.이 예는 시스템의 제약을 존중하고 일관된 정량화 절차를 유도하는 포아송 대괄호의 일부 일반화의 필요성을 예시한다.이 새로운 브래킷은 이선형, 비대칭형이어야 하며, 포아송 브래킷과 마찬가지로 자코비 아이덴티티를 충족해야 하며, 구속되지 않은 시스템을 위한 포아송 브래킷으로 감소시켜야 하며, 또한 다른 양을 가진 2등급 제약조건의 브래킷은 사라져야 한다.

이 때 2등급 제약조건은 $~{\$ $\}\}\}\}.$ 항목으로 매트릭스를 정의한다.

${\displaystyle M_{ab}=\{{\tilde{\\philde }}}}}{\tilde {\phi }}}{b}\}_{PB}}.}$

이 경우 위상 공간에 대한 두 가지 함수인 f와 g의 Dirac 브래킷은 다음과 같이 정의된다.

여기서 M은⁻¹_ab M의 역행렬의 ab 입력을 나타낸다.디락은 M이 언제나 돌이킬 수 없을 것이라는 것을 증명했다.

위의 Dirac 괄호 정의가 2급 제약 조건인 인수에 대한 소멸의 원하는 특성, 특히 마지막 특성을 모두 만족하는지 확인하는 것은 간단하다.

제한된 해밀턴 시스템에 표준 정량화를 적용할 때, 연산자의 정류자는 고전적인 디락 브라켓의 ħ 곱절로 대체된다.디락 브라켓은 구속조건을 존중하므로 포아송 브라켓의 경우와 같이 어떤 약한 방정식을 사용하기 전에 모든 브라켓을 평가하는 데 주의할 필요가 없다.

보소닉(그라스만 짝수) 변수의 포아송 브래킷은 사라져야 하지만, 페르미온의 포아송 브래킷은 그 자체가 있는 그래스만 변수로 표현될 필요는 없다.이것은 페르미온의 경우 2등급 제약조건의 홀수가 있는 것이 가능하다는 것을 의미한다.

제공된 예에 대한 그림

위의 예시로 돌아가면, 순진한 해밀턴과 두 가지 주요한 제약조건은 다음과 같다.

$H=V(x,y)}$

${\displaystyle \pi _{1}=p_{x}+{\tfrac {qB}{2c}y,\qquad \pi _{2}=p_{y}-{\tfrac {qB}{2c}x.}$

따라서, 확장된 해밀턴어는 쓸 수 있다.

${\displaystyle H^{*}=V(x,y)+{1}+{1}\왼쪽(p_{x}+{tfrac {qB}{2c}y\right)+{2}\좌측(p_{y}-{tfrac {qB}-{2c}x\rig)}$

다음_j 단계는 정합성 조건 {,,_PB H^*} apply 0을 적용하는 것으로, 이 경우 정합성 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle \{\phi _{1},H\}_{PB}+\sum _{j}}\{j}\\phi _{1}{1}\pbi _{j}\pbi _}=-{\frac {\partial v}{\partial x}+u_{2}{\qB}}}}}}\prec\약 0}$

${\displaystyle \{\phi _{2},H\}_{PB}+\sum _{j}}\{j}\\phi _{2}, {pbi _{j}\}}}=-{\frac {partial v}{\partial y}-u_{1}{\frac {qB}}}}}}}\약 0.}$

이것들은 이차적인 제약이 아니라, u와₁₂ u를 고정시키는 조건들이다.따라서 이차적 제약이 없고 임의 계수가 완전히 결정되어 비물리적 자유도가 없음을 나타낸다.

u와₁ u의₂ 값에 연결되면 운동 방정식이

${\dot {x}=\{x,H\}_{PB}+u_{1}\{x,\phi _{1}\{1}\{1}\{1}\phi_{1}\}}}{{pB}}}}PB}+u_{2}\{x,\phi _{2}\}=-{\frac {c}{qB}{\frac {\partial V}{\partial y}}$

${\daptyle {\dot {y}={\frac {c}{q}B}{\frac {\partial V}{\partial x}}}$

${\daptyle {\p}_{x}=-{\frac {1}{1}:{2}}: {\frac {\partial V}{\partial x}}}}$

${\daptyle {\p}_{y}=-{\frac {1}{1}:{2}}: {\frac {\partial V}{\partial y},}$

자기 일관성이 있고 라그랑고 운동 방정식과 일치한다.

간단한 계산을 통해 φ과₁ φ은₂ 그 이후의 제2종 제약조건임을 확인할 수 있다.

${\displaystyle \{\phi \{1},\phi _{2}\}}=-\\pbi _{2},\phi _{1}\phi _{1}_{{PB}}}=-\pbi _{1}}}_{{PB}}}}PB}={\frac {qB}{c},}$

따라서 행렬은 다음과 같이 보인다.

${\displaystyle M={\frac {qB}{c}\왼쪽({\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\오른쪽),}$

에 쉽게 뒤바뀐.

${\displaystyle M^{-1}={\frac {c}{qB}\좌측({\begin{matrix}0&-1\1&0\end{matrix}\우측)\quad \rightarrow \quad \quad \quad \quad M_{1}^{-1}=-{\frac {c}{c}{c}{c}{qB_{0}}\varepsilon _{ab}}$

여기서 ε은_ab Levi-Civita 기호다.따라서 Dirac 대괄호는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \{f,g\}_{DB}=\{f,g\}_{PB}+{\frac {c\varepsilon _{ab}}}{q.B}}\{f,\phi _{a}\}}{{phiPB}\{\phi _{b}g\}_{PB}.}$

만일 항상 포아송 괄호 대신 디락 괄호를 사용한다면, 약하게 0을 나타내는 디락 괄호는 0과 강하게 같기 때문에 제약 조건을 적용하고 표현을 평가하는 순서에 대해서는 문제가 없다.이것은 디락 괄호가 있는 순진한 해밀턴을 대신하여 위의 방정식에서 쉽게 확인할 수 있는 정확한 운동 방정식을 얻을 수 있다는 것을 의미한다.

시스템을 정량화하려면 모든 위상 공간 변수 사이의 Dirac 대괄호가 필요하다.이 시스템의 비바이닝 디락 브래킷은

${\displaystyle \{x,y\}_{DB}=-{\frac {c}{qB}}$

${\displaystyle \{x,p_{x}\}{{x}}DB}=\{y,p_{y}\}}{{}}DB}={\tfrac {1}{2}}:}$

십자가가 사라지는 동안

${\displaystyle \{p_{x}p_{y}\}_{DB}=-{\frac {qB}{4c}}.}$

따라서, 표준 정량화의 올바른 이행은 정류 관계를 지시한다.

${\displaystyle [{\hat{x},{\hat {y}}]=-i{\frac {\hbar c}{q.B}}$

${\displaystyle [{\hat {{x},{\hat {p}_{x}}]=[{\hat {y},{\hat {p}_{y}}]=i{\frac {\hbar }}}}}}}}}$

십자말풀이도 사라지고

${\displaystyle [{\hat{p}_{x},{\hat {p}_{y}]=-i{\frac {\hbar qB}{4c}}.}$

이 예에는 ∧x와 ∧y 사이에 비반복 정류자가 있는데, 이는 이 구조가 비반복 지오메트리를 지정한다는 것을 의미한다. (두 좌표는 통근하지 않기 때문에 x와 y 위치에 대한 불확실성 원리가 있을 것이다.)

하이퍼스피어를 위한 추가 그림

마찬가지로, 하이퍼스피어 S에서의ⁿ 자유 이동의 경우, n + 1 좌표는 제한된다_i, x xⁱ = 1.평범한 라그랑지아로부터, 그들의 모멘텀a가 그들에게 수직인 x_iⁱ p = 0이라는 것은 명백하다.따라서 해당 Dirac Brackets는 마찬가지로 동작이 간단하다.^[8]

${\displaystyle \{x_{i},x_{j}\}_{{}}DB}=0,}$

${\displaystyle \{x_{i},p_{j}\}_{{}}DB}=\delta _{ij}-x_{i}x_{j}}}$

${\displaystyle \{p_{i}}p_{j}\}_{DB}=x_{j}p_{i}-x_{i}p_{j}.}$

(2n + 1) 제약 조건의 위상 공간 변수(x_i, p_i)는 제한되지 않은 2n 변수보다 훨씬 단순한 Dirac 대괄호를 따랐고, 두 제약 조건 ab initio를 통해 x 중 하나와 ps 중 하나를 제거했고, 이는 평범한 포아송 대괄호를 따르게 된다.Dirac 브래킷은 과도한 (제약된) 위상 공간 변수를 희생시키면서 단순함과 우아함을 더한다.

예를 들어, 원의 자유 이동에 대해 n = 1 x₁ ≡ z에 대해 그리고 원의 제약조건에서 x를₂ 제거하면 제약이 없다.

${\displaystyle L={\frac {1}{1}:{2}}: {\frac {{\dot{z}^{2}}:{1-z^{2}},},}$

동작 방정식으로

${\ddtyle{\dot}=-z{\frac {{\dot{z}^{2}}:{1-z^{2}}=-z2E~,}$

진동. 반면 H = p²/2 = E의 등가 구속 시스템

${\daptyle {\x}^{i}=\{x^{i},H\}_{DB}=p^{i},}$

${\displaystyle {\p}^{i}=\{p^{i},H\}_{DB}=x^{i}~p^{2},}$

두 변수에 대한 진동은 즉각적으로, 사실상 검사에 의해,

${\ddotyle {\dot}^{i}=-x^{i}2E~}$

참고 항목

• 정량화
• 해밀턴 역학
• 포아송 괄호
• 퍼스트 클래스 제약 조건
• 이차종 제약조건
• 라그랑기안
• 공감 구조
• 과잉완성

참조