분리 가능 상태

양자역학에서 분리 가능한 상태는 복합 공간에 속하는 양자 상태로서, 분리된 서브스페이스에 속하는 개별 상태로 인수될 수 있다.국가는 분리가 불가능하면 얽힌다고 한다.일반적으로, 어떤 상태가 분리 가능한지 결정하는 것은 간단하지 않으며, 문제는 NP-hard로 분류된다.

초당적 시스템의 분리 가능성

자유도가 2도인 첫 번째 복합 주(양당 주라고 함)를 고려하십시오.양자역학을 가정하면, 이것들은 텐서 제품 공간 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$⊗ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}}$개$의 벡터로 설명할 수 있다$.$ 이 논의에서는 Hilbert 공간 ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 1${\$}}와 ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaysty H_{$2}}가 유한 차원인$$ 경우에 초점을 맞출 것이다.

순수 상태

Let ${\displaystyle \{ {a_{i}}\rangle \}_{i=1}^{n}\subset H_{1}}$ and ${\displaystyle \{ {b_{j}}\rangle \}_{j=1}^{m}\subset H_{2}}$ be orthonormal bases for ${\displaystyle H_{1}}$ and ${\displaystyle H_{2}}$, respectively. A basis for ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ is then ${\displaystyle \{ {a_{i}}\rangle \otimes {b_{j}}\rangle \}}$, or in more compact notation ${\displaystyle \{ a_{i}b_{j}\rangle \}}$. From the very definition of the tensor product, any vect또는 표준 1의, 즉 복합 시스템의 순수 상태는 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \rangele =\sum _{i,j}c_{i}}(a_{i}\rangele \otimes b_{j}\rangele )=\sum _{i,j}c_{i,j}a}a_{i}b_{j}\rangele ,}}}$

여기서 c ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 상수다$$.If ${\displaystyle \psi \rangle }$ can be written as a simple tensor, that is, in the form ${\displaystyle \psi \rangle = \psi _{1}\rangle \otimes \psi _{2}\rangle }$ with ${\displaystyle \psi _{i}\rangle }$ a pure state in the i-th space, it is said to be a product 상태, 특히 분리 가능한 상태.그렇지 않으면 엉킨다고 한다.순수한 상태의 경우 제품 개념과 분리 가능한 상태의 개념이 일치하더라도 혼합 상태의 경우 보다 일반적인 경우는 아니라는 점에 유의하십시오.

순수한 상태는 그들의 부분적인 상태가 순수하지 않은 경우에만 얽힌다.이를 확인하려면 $\$ {\$displaystyle \psi \rangele}$의 슈미트 분해를 다음과$$ 같이 기록하십시오.

${\displaystyle \rangele =\sum _{k=1}^{r_{\n1}:{\sqrt{p_{k}}}(u_{k}\rangele \otimes v_{k}\rangele }),}$

어디 pk>0{\displaystyle{\sqrt{p_{k}}}>0}은 긍정적인 실수를,이었고 넌 결코 모르네({\displaystyle r_{\psi}}ψ ⟩{\displaystyle \psi \rangle}의 슈미트 직위,{uk⟩}k=1rψ ⊂ H1{\displaystyle\와 같이{u_{k}\rangle\와 같이}_{k=1}^{r_{\psi}}\subset H_{1}}와{. vkm그리고 4.9초 만${\displaystyle {}_{}⟩}$ ${\displaystyle {\}}_{}^{}}$ } } ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {r_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ H ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $\{v_{k}\rangele \}{k=1}^{r_{\psi }}}}}\subset H_{$2}}은$$각각 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$${\$$displaystysty$ $H_{$1$\}\}\}\}\}\}\}\}$에 있는 정형 상태의 집합이다$$.상태 ${\displaystyle \psi }$⟩{\$displaystyle$\psi $\rangele }$은(는) r> > {\$displaystyle r_{\psi$}}}{\psi $}}}$의 경우에만 얽혀 있음$$ 동시에 부분 상태는 그 형태를 가진다.

${\displaystyle \rho _{A}\equiv \operatorname {T} _{B}(\psi \rangle \!\langle \psi )=\\sum _{k=1}{k=1}^{r_{p_}\, u_{k}\langle \langle u_{k}.}.}}}.$

${\displaystyle 따라서}$ ${\displaystyle {\rho }_{}}$ A$${\$displaystyle$$\rho_{A}$은(는) 순수 --- 즉, 단위 순위 -- 만약(는$)$ ${\displaystyle {r\psi }_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ $r_$${\$$psi }=$1$}$가 분리 가능한 경우에만$$ 해당된다${\displaystyle .}$

물리적으로 이것은 하위 시스템에 확실한 (순수) 상태를 할당할 수 없다는 것을 의미하며, 대신 순수 상태의 통계적 앙상블, 즉 밀도 행렬로 설명되어야 한다.A pure state ${\displaystyle \rho = \psi \rangle \!\langle \psi }$ is thus entangled if and only if the von Neumann entropy of the partial state ${\displaystyle \rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(\rho )}$ is nonzero.

형식적으로 상태 제품을 제품 공간에 내장하는 것은 세그르 임베딩에 의해 주어진다.즉, 양자-기계적 순수 상태는 세그르 임베딩의 이미지에 있는 경우에만 분리가 가능하다.

위의 논의는 사실상 아무것도 변하지 않은 상태에서 국가 공간이 무한 차원일 때 까지 확대될 수 있다.^{[clarification needed]}

혼성주

혼합된 주의 경우를 생각해 보십시오.A mixed state of the composite system is described by a density matrix ${\displaystyle \rho }$ acting on ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$. ρ is separable if there exist ${\displaystyle p_{k}\geq 0}$, ${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$ and ${\displayst$$yle \{\rho _{2}^{k}\}}}$은(는) 각 서브시스템의 혼합된 상태로서 다음과 같다.

${\displaystyle \rho =\sum _{k}{k}\rho_{1}^{1}^{k}\otimes \rho_{2}^{k}}}}}}$

어디에

${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1.}$

그렇지 않으면 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$을(를) 얽힌 상태라고 한다.우리는 위의 표현에서 일반성을 잃지 않고 {${\displaystyle {}_{}^{}}$ 1 k ${\displaystyle {}_{}^{}}${\$displaystyle$\{\$rho_{1}^{$${\displaystyle {}_{}^{}}$$}\}}$${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}^{}}$ 2 ${\displaystyle {k\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \{\rho_{2}^{$k$}\}}}}}}$이 모두 1위 예측값이라고$$ 가정할 수 있다.분리 가능한 상태의 집단이 볼록한 집합이라는 정의에서 보면 분명하다.

다시 한 번 텐서 제품의 정의에 따르면, {${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 $}$ {\$displaystyle$\{\$rho _{1}^{1}\}}$ 및$$${\displaystyle }${${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ $}{\rho _{2}^{k}\}}}}}}$라는 요구 사항을 삭제하면, 모든 밀도 매트릭스, 실제로 합성 상태 공간에 작용하는 매트릭스는 원하는 형태로 사소한 방식으로 작성할 수 있다.상태 및 ${\displaystyle \sum \underset{k}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$=${\displaystyle 1}$. ${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1.}$ 이러한 요건이 충족되면$$ 총 상태를 상관관계가 없는 제품 상태에 대한 확률 분포로 해석할 수 있다.

양자 채널의 관점에서, 얽힌 상태가 만들 수 없는 반면, 국지적 작용과 고전적 커뮤니케이션을 이용하여 다른 어떤 상태로부터도 분리 가능한 상태를 만들 수 있다.

상태 공간이 무한정 차원일 때, 밀도 행렬은 추적 1을 가진 양의 추적 등급 운영자로 대체되며, 추적 규범에서 위 형식의 상태로 근사치를 추정할 수 있다면 상태는 분리할 수 있다.

0이 아닌 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$가 하나만 있는 경우$,$ 상태는 $\rho$= ${}_{}$ ${1\mathrm{}}_{}$ ${}_{}$ 2${}_{}$,$${\$textstyle \rho$=\$rho _{1}\otimes \rho _{2$}로 표현될 수 있으며$$, 단순히 분리 가능 또는 제품 상태라고 한다.제품 상태의 한 가지 속성은 엔트로피 측면에서 볼 때

$[\displaystyle S(\rho )=S(\rho _{1})+S(\rho _{2}).}$

다중 사이트 사례로 확장

위의 논의는 세 개 이상의 서브시스템으로 구성된 양자시스템의 경우에 쉽게 일반화된다.시스템에 하위 시스템이 n개 있고 상태 $공간{\displaystyle }$ H ${\displaystyle =}$ H ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$⊗ ${\displaystyle \cdots }$ ⋯ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle H_{}}$ n ${\displaystyle H_{1}\otimes \cdots \otimes H_{$n$\}\}\}.$ 순수 상태 ${\displaystyle \psi }$ H${\displaystyle \rangle \in$ H$}. 형태$를 취하면 분리할 수 있다$$.

$\displaystyle \reangele = \display_{1}\rangele \otimes \cdots \otimes \n}\rangele .}$

마찬가지로 H에 작용하는 혼합상태 ρ은 볼록한 합일 경우 분리가 가능하다.

${\displaystyle \rho =\sum _{k}\rho _{1}^{1}^{1}\otimes \cdots \otimes \rho _{n}^{k}}.}$

또는 무한차원 사례에서 ρ은 위 형태의 상태에 의해 추적 규범에서 근사치할 수 있다면 분리할 수 있다.

분리 가능성 기준

국가가 일반적으로 분리 가능한지를 결정하는 문제를 양자정보이론에서는 분리 가능성 문제로 부르기도 한다.그것은 어려운 문제로 여겨진다.많은 경우 NP-hard인 것으로 나타났다.^[1][2]그리고 일반적으로 그렇게 믿어지고 있다.고정된 차원에 대해 직접 짐승의 힘 접근방식을 채택하여 문제를 해결하려고 하면 이 난관에 대한 어느 정도의 감상을 얻을 수 있다.우리는 그 문제가 심지어 낮은 차원에서도 금방 다루기 어렵게 된다는 것을 안다.따라서 좀 더 정교한 제형이 필요하다.분리 가능성 문제는 현재 연구 대상이다.

분리 가능성 기준은 국가가 분리 가능하기 위해 충족해야 하는 필수 조건이다.저차원(2 X 2와 2 X 3) 사례에서 페레스 호로데키 기준은 실제로 분리성을 위해 필요하고 충분한 조건이다.그 밖의 분리 가능성 기준에는 범위 기준, 감소 기준 및 불확실성 관계에 기초한 기준 등이 포함된다(이에 국한되지는 않음).^[3][4][5][6]이산형 변수 시스템의 분리 가능성 기준에 대한 검토는 ^[7]참조를 참조하십시오.

연속 가변 시스템에서는 페레스-호로드키 기준도 적용된다.구체적으로, 시몬은 표준 연산자의 2차 순간의 관점에서 페레스-호로데키 기준의 특정 버전을 공식화하였고, $1{\displaystyle \mathrm{}1}$ 1$[\displaystyle$ 1$\oplus$1} -모드$$ 가우스 상태에 대해 필요하며 충분하다는 것을 보여주었다(외견상으로는 다르지만 본질적으로 동등한 접근법은 ^[9]참조).이후 사이먼의 상태는 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ $[\displaystyle 1\oplus n}$ -mode$$ Gaussian 상태에도 필요하며 충분하지만, $2{\displaystyle \mathrm{}2}$ 2 $[\displaystyle 2\oplus 2$} -mode$$ Gaussian 상태에는 더 이상 충분하지 않다는 것이 밝혀졌다.시몬의 상태는 표준 연산자의 고순도 모멘트를 참작하거나 등방성 조치를 사용함으로써 일반화될 수 있다.^[13][14]

대수기하를 통한 특성화

양자역학은 투영적인 힐버트 공간에 모델링될 수 있으며, 그러한 두 공간의 범주적 산물은 세그르 임베딩이다.양자의 경우 양자 상태는 세그르 임베딩의 이미지에 놓여 있는 경우에만 분리가 가능하다.Jon Magne Leinaas, Jan Myrheim 및 Eirik Ovrum은 논문 "장착의 지리학적 측면"^[15]에서 문제를 설명하고 분리 가능한 상태의 기하학을 일반 상태 행렬의 하위 집합으로 연구한다.이 부분집합은 Peres-Horodeki 기준을 가진 상태의 부분집합과 어느 정도 교차한다.본 논문에서 Leinaas 외 연구진은 일반 사례에서 분리 가능성을 시험하기 위한 수치적 접근법을 제시하기도 한다.

분리성 검정

일반 사례에서 분리 가능성 시험은 NP-하드 문제다.^[1][2]Leinaas 등에서는 주어진 상태가 분리 가능한지 여부를 시험하기 위한 반복적이고 확률적인 알고리즘을 공식화했다.^[15]알고리즘이 성공하면 주어진 상태를 분리 가능한 상태로 명시적이고 무작위적으로 표현한다.그렇지 않으면 그것은 그것이 찾을 수 있는 가장 가까운 분리 가능한 상태로부터 주어진 상태의 거리를 제공한다.

참고 항목

• 연루증인

참조

외부 링크

• "StateSeparator" 웹 앱