나이마르크의 팽창 정리

운영자 이론에서, 나이마크의 확장 정리는 긍정적인 운영자 가치 측정의 특징을 나타내는 결과물이다.스타인스프링의 팽창 정리의 결과로 볼 수 있다.

참고

수학 문헌에서, 나이마크의 이름을 담고 있는 다른 결과들도 발견할 수 있을 것이다.

철자법

물리학 문헌에서는 '나이마크' 대신 '네우마크'라는 철자를 보는 것이 일반적이다.후자의 변형은 소련 저널의 번역에 사용되는 러시아어의 로마자화에 따른 것으로, 이역학(원래 Na namark)이 생략되었다.전자는 성의 어원에 따른 것이다.

몇 가지 예비 관념

Let X be a compact Hausdorff space, H be a Hilbert space, and L(H) the Banach space of bounded operators on H. A mapping E from the Borel σ-algebra on X to ${\displaystyle L(H)}$ is called an operator-valued measure if it is weakly countably additive, that is, for any disjoint sequence of Borel sets ${\displaystyle \{$$B_{i}\}}$이$($가) 있다.

${\displaystyle \langle E(\cup _{i}B_{i}x,y\rangele =\sum _{i}\langle E(B_{i}x,y\rangle }}})$

모든 x와 y에 대해그러한 조치를 설명하는 일부 용어는 다음과 같다.

• E는 스칼라 값을 매긴 측정값이면 정규 값이라고 한다.

$\displaystyle B\rightarrow \langle E(B)x,y\angle }$

정규 보렐 측정치로서, 모든 콤팩트 세트는 유한 총 변동을 가지며 세트 측정치는 오픈 세트의 측정값으로 근사치를 구할 수 있다.

• = ( ) < > < <<\$displaystyle$E$=\suppy _{B}\ E(B)\\\\inflt$
• E(B)가 모든 B에 대해 양수 연산자일 경우 E를 양수라고 한다.
• E(B)가 모든 B에 대해 자칭인 경우 E를 자칭이라고 한다.
• E is called spectral if it is self-adjoint and ${\displaystyle E(B_{1}\cap B_{2})=E(B_{1})E(B_{2})}$ for all ${\displaystyle B_{1},B_{2}}$.

우리는 전체적으로 E가 규칙적이라고 가정할 것이다.

C(X)는 X에 대한 연속 함수의 아벨리안 C*-알지브라함을 나타낸다.E가 규칙적이고 경계가 있는 경우 다음과 같은 분명한 방법으로$$ 지도 ${\displaystyle {map}_{}}$ E${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle C}$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle L}$( ${\displaystyle H}$) ${\displaystyle \Phi _{E:C(X)\$오른쪽 $화살표 L(H)}$을 유도한다.

${\displaystyle \langle \Phi \{E}h_{1}h_{1}h_{E}h(f)_{2}h_{1}\angle }\langle _{X}f(x)\langle =\int_{X}f(x)\langle }$

E의 경계성은 단위 규범의 모든 h에 대해 함축한다.

${\displaystyle \langle \Phi \{E}h, h\rangle =\int _{X}f(x)\langle E(dx)h, h\rangle \leq \f\{\inft }\cdot E .}$

이것은 ${\displaystyle \phi {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle \;\Phi _{E}(f)$가 모든 f에 대한 경계 연산자임을$$ 나타내며, $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\$ 그 자체도$$ 경계 선형 지도임을 보여준다.

$\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\$의 속성은 E:의 속성과 직접적인 관련이 있다$$.

• E가 양성이면 C*-알게브라스 사이의 지도로 보는$$${\displaystyle {viewed}_{}}$ E ${\$도 양성이 된다.
• ${\displaystyle {\mathrm{\phi }}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\$은(는) X와 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$h ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ H ${\displaystyle h_{1}, h_{2}\in H}$에 대한 모든 연속 f에 대해 정의상 동일형이다$.$

${\displaystyle \langle \Phi_{E}(fg)h_{1}, h_{2}\langle = {X}f(x)\cdot g(x)\;\langle E(dx)h_{1},h_{2}\angle =\langle \Phi _{E}(f)\{E}(f)\f)\nangle.Phi _{E}(g)h_{1},h_{2}\rangele .}$

f와 g를 Borel 세트의 지표 함수로 삼으면 $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\$가 분광인 경우에만 동형체임을 알 수 있다.

• 마찬가지로, ${\displaystyle {\phi }_{}}$ E ${\$는 * 연산 수단을 존중한다.

${\displaystyle \langle \Phi \{E}({\bar {f})h_{1}{1}, h_{2}\nangle =\langle \Phi_{E}^{*h}, h_{2}, langle .}$

LHS는

${\displaystyle \int _{X}{\bar{f}\;\langle E(dx)h_{1}, h_{2}\angle ,}$

그리고 RHS는

${\displaystyle \langle h_{1},\Phi _{E}(f)h_{2}\rangle ={\overline {\langle \Phi _{E}(f)h_{2},h_{1}\rangle }}=\int _{X}{\bar {f}}(x)\;{\overline {\langle E(dx)h_{2},h_{1}\rangle }}=\int _{X}{\bar {f}}(x)\;\langle h_{1},E(dx)h_{2}\rangle }$

So, taking f a sequence of continuous functions increasing to the indicator function of B, we get ${\displaystyle \langle E(B)h_{1},h_{2}\rangle =\langle h_{1},E(B)h_{2}\rangle }$, i.e. E(B) is self adjoint.

• 앞의 두 가지 사실을 종합하면 E가 분광형이고 자칭형인 경우에만 φ E ${\$라는 결론이 나온다.(E가 분광형이고 자칭형인 경우 E는 투영형 측정치 또는 PVM이라고 한다.)

나이마르크의 정리

정리는 다음과 같이 읽는다.E를 X에 대한 양의 L(H) 값이 되도록 한다.힐버트 공간 K, 경계 $연산자{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$: K${\displaystyle }$→ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V:K\rightarrow H}$및 X, F에 자체 적응, 스펙트럼 L(K) 값 측정치가 있다.

${\displaystyle \;E(B)=VF(B)V^{*}}$

증명

우리는 이제 증거를 스케치한다.이 주장은 E를 유도 지도 $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\$에 전달하고$$ Stinespring의 팽창 정리를 사용한다.E는 양성이므로 위에서 설명한 대로 C*-알게브라 사이의 지도로서 $as$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\$도 마찬가지다.더욱이 ${\displaystyle {\phi }_{}}$ E ${\$ C(X)의 도메인이 아벨리안 C*-알지브라이기 때문에 ${\displaystyle {\phi }_{}}$ E ${\$가 완전히 양성이라는 것을 알게 되었다.Stinespring의 결과에 따르면 힐버트 공간 K, *-호모형주의 ${\displaystyle \pi }$: C${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle L}$( K${\displaystyle }$) ${\디스플레이$ 스타일 $\pi :C(X)\오른쪽$ 화살표 $L(K$ 그리고 $운영자{\displaystyle }$ V${\displaystyle }$: K${\displaystyle }$→ ${\displaystyle H}$ ${\디스플레이$ 스타일 $V:K$:K$\오른쪽$ 화살표 $H}$ 등이$$ 있다.

${\displaystyle \;\Phi _{E}(f)=V\pi(f)V^{*}}$

π은 *-호모형이기 때문에, 해당 연산자 값 측정치 F는 분광형이고 자기 조정형이다.F가 원하는 성질을 가지고 있다는 것을 쉽게 알 수 있다.

유한차원 케이스

유한차원의 경우, 다소 더 명시적인 제형이 있다.

지금 ${\displaystyle \mathrm{X}}$=${\displaystyle }${ 1${\displaystyle }$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ X$=\{1,\dotsc ,n$ 따라서 C(X)는 유한 차원 대수 $C{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n ${\$ H는 유한 치수 m이라고 가정하자.그런 다음 양성 연산자 값 측정치 E는 각 i에 양수 세미데핀 m × m 행렬 ${\displaystyle E_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 할당한다$.$ Naimark의 정리는 이제 제한치가 E인 X에 투영 값 측정치가 있다고 명시한다.

특히${\displaystyle \underset{}{}}$interest ${\displaystyle \underset{}{I}}$ ${\displaystyle E}$ I${\displaystyle {}_{}}$= I ${\displaystyle \sum _{i}E_{i}=$의 특별한 경우내가 있는 곳이$$ 바로 신원확인원이다$.$(관련 애플리케이션은 POVM 관련 기사를 참조하십시오.)이 경우 유도 지도 $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle E_{}}$ ${\$은(는) 일률적이다$$.각 ${\displaystyle {Ei}_{}}$ ${\$이(가) 일부 x ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$^{$m}}$에 대한 1위 투영이라고$$ 일반성을 잃지 않고 가정할 수 있다$.$ 가정에서 사례n < m {\$displaysty$n$<m}$은 제외되며 우리는 둘 중 하나를 가져야 한다.

1. ${\displaystyle n=m}$ and E is already a projection-valued measure (because ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}x_{i}^{*}=I}$ if and only if ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ is an orthonormal basis),
2. > ${\displaystyle n>m}$ 및 {${\displaystyle {Ei}_{}}$ } ${\displaystyle \{E_{i$}\}}은$($는) 상호 직교 투영으로 구성되지 않는다$$.

두 번째 가능성으로는, 이제 적절한 투영 값 측정치를 찾는 문제가 다음과 같은 문제가 된다.가정별, 비제곱 행렬

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}x_{1}\cdots x_{n}\end{bmatrix}}}}$

등각계(Isometry)는 M M${\displaystyle {}^{}m}$ =${\displaystyle {}^{}}$I ${\displaystyle MM^{*}=I$ 여기서 (${\displaystyle n}$- m${\displaystyle }$) ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-m)\times$ n$}$ 행렬을 찾을 수 있다면$.{\displaystyle }$

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}M\\N\end{bmatrix}}}$

원소가 U의 열 벡터에 투영되는 투영 값 측정값인 n × n 단일 행렬이다.원칙적으로 그러한 N은 항상 찾을 수 있다.

참조

• V. Paulsen, Cambridge University Press, 2003, 완전 경계 지도 및 운영자 Alzbras.