양자 연산

양자역학에서 양자 연산(양자역학 지도 또는 양자 과정이라고도 함)은 양자역학계가 겪을 수 있는 광범위한 종류의 변환을 기술하는 데 사용되는 수학 형식주의다.이것은 처음에 조지 수다르샨에 의해 밀도 행렬에 대한 일반적인 확률적 변환으로 논의되었다.^[1]양자 작동 형식주의는 고립된 시스템의 단일 시간 진화 또는 대칭 변환뿐만 아니라 측정과 환경과의 과도적 상호작용의 영향을 설명한다.양자 계산의 맥락에서 양자 연산을 양자 채널이라고 한다.

일부 저자는 밀도 매트릭스 공간에 대한 완전 양성(CP) 및 비추적 증가 지도를 구체적으로 지칭하기 위해 "양수 연산"이라는 용어를 사용하며, 엄격하게 추적 보존되는 부분집합을 지칭하기 위해 "양수 채널"이라는 용어를 사용한다는 점에 유의한다.^[2]

양자 연산은 양자 역학 시스템의 밀도 연산자 설명의 관점에서 공식화된다.엄밀히 말하면, 양자 연산은 밀도 연산자 집합에서 그 자체로 완전히 양성인 선형 지도다.In the context of quantum information, one often imposes the further restriction that a quantum operation ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ must be physical,^[3] that is, satisfy ${\displaystyle 0\leq \operatorname {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1}$ for any state ${\displaystyle \rho }$.

일부 양자 과정은 양자 작동 형식주의 내에서 포착될 수 없다.^[4] 원칙적으로 양자 시스템의 밀도 행렬은 완전히 임의의 시간 진화를 겪을 수 있다.양자 연산은 양자 정보 외에도 측정 중에 얻은 고전적 정보를 포착하는 양자 계기에 의해 일반화된다.

배경

슈뢰딩거 그림은 특정 가정 하에서 양자역학 시스템의 상태 진화에 대한 만족스러운 설명을 제공한다.이러한 가정에는 다음이 포함된다.

• 시스템이 비관계적임
• 시스템이 격리되어 있다.

시간 진화를 위한 슈뢰딩거 그림에는 수학적으로 동등한 제형이 몇 가지 있다.그러한 공식 중 하나는 슈뢰딩거 방정식을 통해 국가의 시간 변화율을 나타낸다.이 설명회에 더 적합한 공식은 다음과 같이 표현된다.

고립된 시스템 S의 상태에 대한 시간 단위의 통과의 영향은 단일 운영자 U에_t 의해 S와 연관된 힐버트 공간 H에 주어진다.

즉, 시스템이 순간적으로 v ∈ H에 해당하는 상태에 있다면, t 시간 단위의 이후의 상태는_t U v가 된다.상대론적 시스템의 경우, 보편적 시간 매개변수는 없지만, 양자 역학적 시스템에 대한 특정 가역적 변환의 영향을 공식화할 수 있다.예를 들어, 다른 기준 틀에서 관찰자와 관련된 상태 변환은 단일 변환에 의해 제공된다.어떤 경우든, 이러한 상태 변환은 순수한 상태를 순수한 상태로 운반한다; 이것은 종종 이 이상화된 틀에서는, 탈착성이 없다고 말함으로써 공식화된다.

측정을 진행 중인 시스템과 같이 상호 작용(또는 개방) 시스템의 경우 상황은 완전히 다르다.결론부터 말하면, 그러한 시스템이 경험하는 상태 변화는 순수 상태 집합(즉, H의 노르말 1 벡터와 관련된 상태)의 변형에 의해서만 회계처리될 수 없다.그러한 상호작용 후, 순수 상태 φ에 있는 시스템은 더 이상 순수 상태 φ에 있지 않을 수 있다.일반적으로 순국 φ₁, ..., φ의_k 순서와 각각의 확률 λ₁, ..., λ의_k 통계적 혼합으로 이루어질 것이다. 순수 상태에서 혼합된 상태로의 전환은 탈착이라고 한다.

상호작용하는 시스템의 경우를 다루기 위해 수많은 수학 공식들이 확립되었다.양자 연산 형식주의는 1983년경 만두엔 최의 초기 수학적 연구에 의존했던 칼 크라우스의 작품에서 나왔다.밀도 상태에서 밀도 상태로의 매핑으로서 측정 등의 연산을 표현한다는 장점이 있다.특히, 양자 연산의 효과는 밀도 상태의 집합 내에 머무른다.

정의

밀도 연산자는 단위 추적이 있는 힐버트 공간의 음성이 아닌 연산자임을 상기한다.

수학적으로 양자 연산은 Hilbert 공간 H와 G의 추적 클래스 연산자 공간 사이의 선형 지도 φ이다.

• S가 밀도 연산자일 경우, Tr(Tr(S)(S) ≤ 1.
• φ은 추적 등급 연산자인 자연수 n과 크기 n의 제곱 행렬에 대해 완전히 양성이다.

${\displaystyle {\begin}S_{11}&\cdots &S_{1n}\\\vdots &\dodots \\\S_{n1}&\cdots &n}\end{bmatrix}}}}}$

음성이 아닌 거군

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Phi(S_{11})&\cdots &\phi(S_{n1})\\cdots \\\phi(S_{n}})\end{bmatrix}}}$

또한 음성이 아니다.즉, $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ⊗ ${\displaystyle I_{}}$n {\$displaystyle \Phi$\$otimes$$I_{$n}}}가$$ 모든 n에 대해 양이면 φ은 완전히 양성이며, 여기서 ${\displaystyle {In}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $I_{$$n}}}$은 n${\displaystyle }$×$n$의 C*-algebra에 있는 ID 지도를 나타낸다$$$.$

첫 번째 조건에서는 양자 연산이 통계 앙상블의 표준화 특성을 보존하지 못할 수 있다는 점에 유의한다.확률론적 측면에서 양자 연산은 마코비안 하위일 수 있다.양자 연산이 일련의 밀도 행렬을 보존하기 위해서는 추적 보존이라는 추가적인 가정이 필요하다.

양자정보의 맥락에서, 여기서 정의한 양자 연산, 즉 추적을 증가시키지 않는 완전히 양성화된 지도를 양자 채널 또는 확률적 지도라고도 한다.여기서의 공식은 양자 상태 사이의 채널에 국한되지만, 고전적 상태도 포함할 수 있기 때문에 양자 정보와 고전적 정보를 동시에 처리할 수 있다.

크라우스 연산자

Kraus의 정리(Karl Kraus의 이름을 따서 명명)는 양자 상태 사이의 양자 연산을 모델화한 완전히 긍정적인 지도를 특징으로 한다.Informally, the theorem ensures that the action of any such quantum operation ${\displaystyle \Phi }$ on a state ${\displaystyle \rho }$ can always be written as ${\displaystyle \Phi (\rho )=\sum _{k}B_{k}\rho B_{k}^{*}}$, for some set of operators ${\displaystyle$$\{B_{k}\}_{k}}}$ 충족$$ $\sum {\displaystyle \underset{}{}{}_{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle B\mathbf{}{}_{}^{}}$k${\displaystyle {}_{}}$= 1 ${\$\sum $_{k_{k}^{*_{k}={\mathbf{1$$displaystystyle {\\mathbf{1$}{1$}}}}}}$이 ID 연산자다.

정리명세서

정리.^[5]Let ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ be Hilbert spaces of dimension ${\displaystyle n}$ and ${\displaystyle m}$ respectively, and ${\displaystyle \Phi }$ be a quantum operation between ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ and ${\displaystyle {\$$mathcal{G$ 그러면 행렬이 있다.

$H{\displaystyle }$ ${\$을(를) $G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 매핑하십시오$$. $({\displaystyle \rho$반대로 이 형식의 지도$$ $map{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$은(는) 양자 연산이며, 제공된다.만족하다

행렬${\displaystyle }${${\displaystyle {Bi}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{B_{i}\}\}}}$을(를) 크라우스 연산자라고 한다.(특히 양자 정보 처리의 맥락에서 양자 연산자는 환경의 소음이 많고 오류가 발생하는 효과를 나타내는 소음 연산자 또는 오차 연산자로도 알려져 있다.)Stinespring 인자화 정리는 위의 결과를 임의의 분리 가능한 Hilbert 공간 H와 G로 확장한다.거기서 S는 추적 클래스 연산자로,${\displaystyle }${${\displaystyle {Bi}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{B_{i}\}}}$은(는) 일련의 경계 연산자로$$ 대체된다.

단일등가성

Kraus 행렬은 일반적으로$$ 양자 연산 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$에 의해 고유하게 결정되지 않는다.예를 들어 최 매트릭스의 서로 다른 Choleski 인자화는 다른 Kraus 연산자 세트를 제공할 수 있다.다음의 정리는 동일한 양자 연산을 나타내는 Kraus 행렬의 모든 시스템이 단일 변환에 의해 관련된다고 기술하고 있다.

정리.Let ${\displaystyle \Phi }$ be a (not necessarily trace-preserving) quantum operation on a finite-dimensional Hilbert space H with two representing sequences of Kraus matrices ${\displaystyle \{B_{i}\}_{i\leq N}}$ and ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\leq N}}$. Then there is a unitary ope$rator$ 매트릭스$({\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}{}_{}{}_{}}$) i ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle(u_{ij})_${ij$}}.$

${\displaystyle C_{i}=\sum _{j}u_{ij}B_{j}}$

무한 차원 사례에서 이것은 두 개의 최소 Stinespring 표현 사이의 관계로 일반화된다.

모든 양자 연산이 원체계에 적합한 부차적 요소를 결합한 후 단일진화에 의해 실행될 수 있다는 것은 Stinespring의 정리의 결과물이다.

언급

이러한 결과는 또한 추적에 관해서 에르미타인 특유의 양성 밀도 연산자(최 매트릭스)가 완전히 양성 유한차원 지도를 특징짓는 최성우의 완전 양성 지도에 대한 정리에서도 도출할 수 있다.Among all possible Kraus representations of a given channel, there exists a canonical form distinguished by the orthogonality relation of Kraus operators, ${\displaystyle \operatorname {Tr} A_{i}^{\dagger }A_{j}\sim \delta _{ij}}$. Such canonical set of orthogonal Kraus operators can be obtained by diagon최 행렬을 조정하고 고유 벡터를 정사각형 행렬로 재구성한다.

최씨의 정리를 무한대수학 일반화하는 것도 있는데, 최씨의 정리에는 '완전히 긍정적인 지도를 위한 벨라브킨의 라돈-니코딤 정리'라는 것이 있는데, 이것은 밀도 연산자를 지배하는 완전 포지티브 지도(기준 채널)에 관해서 양자 채널의 '라돈-니코디움 파생물'로 정의하고 있다.양자 채널에 대한 상대적 피델리티와 상호 정보를 정의하는 데 사용된다.

역학

비-상대적 양자역학 시스템의 경우, 그것의 시간 진화는 Q의 1-모수 자동화 그룹 {α_t}_t에 의해 설명된다.이는 단일변환으로 좁혀질 수 있다: 특정 취약한 기술적 조건(양자논리와 바라다라잔 참조에 관한 기사 참조)에서는 Q의 요소 E가 공식에 따라 진화하도록 기반 힐버트 공간의 단일변환에 대한 강력한 연속적인 단일변환 그룹 {U_t}_t이 있다.

${\displaystyle \alpha _{t}(E)=U_{t}^{*}EU_{t}}}$

시스템 시간 진화는 또한 통계적 상태 공간의 시간 진화로 간주될 수 있다.통계 상태의 진화는 다음과 같이 {β_t}_t 연산자 가족이 제공한다.

${\displaystyle \operatorname {Tr}(\beta _{t}(S)E)=\operatorname {Tr}(S\alpha _{-t}(E))=\operatorname {Tr}(SU_{t})EU_{t}^{*}=\operatorname {Tr}(U_{t}^{*})SU_{t}E).}$

분명히 t의 각 값에 대해 S → U*_t U는_t 양자 연산이다.게다가 이 수술은 되돌릴 수 있다.

이는 쉽게 일반화할 수 있다.G가 동일한 약한 연속성 조건을 만족하는 Q의 대칭의 연결된 Lie 그룹인 경우 G의 모든 요소 g의 작용은 단일 운영자 U:

${\displaystyle g\cdot E=U_{g}EU_{g}^{*}.\cHB }$

이 지도 g → U는_g G의 투사적 표현으로 알려져 있다.매핑 S → U*_g U는_g 가역 양자 연산이다.

양자 측정

양자 연산은 양자 측정의 과정을 설명하는 데 사용될 수 있다.아래 프리젠테이션에서는 분리 가능한 힐버트 공간 H에 대한 자기 적응형 투영, 즉 PVM(투영 값 측정)의 관점에서 측정을 설명한다.일반적인 경우, POVM의 개념을 통해 비직교 연산자를 사용하여 측정할 수 있다.비직교적인 경우는 양자기의 전체적인 효율을 향상시킬 수 있기 때문에 흥미롭다.

이항 측정

양자 시스템은 일련의 예-아니오 질문을 적용하여 측정할 수 있다.이 질문들의 집합은 양자논리의 명제들의 정형화된 격자 Q에서 선택되는 것으로 이해할 수 있다.격자는 분리할 수 있는 복잡한 힐버트 공간 H에 있는 자기 적응 투영 공간과 동일하다.

E가 양자 예-아니오 질문의 격자 요소인 일부 특성 E를 가지고 있는지 여부를 결정하는 것을 목표로, 일부 상태 S의 시스템을 고려한다.이러한 맥락에서 측정은 시스템을 어떤 절차에 제출하여 국가가 속성을 만족하는지 여부를 결정하는 것을 의미한다.이 논의에서 시스템 상태에 대한 참조는 시스템의 통계적 앙상블을 고려함으로써 운영적 의미를 부여할 수 있다.각 측정은 일정한 값 0 또는 1을 산출하며, 더욱이 측정 프로세스를 앙상블에 적용하면 통계 상태가 예측 가능한 변화를 초래한다.통계 상태의 이러한 변환은 양자 연산에 의해 주어진다.

$EESE+(I-E)S(I-E)S(I-E)S(Displaysto S\displaystyle S\mapsto.}$

여기서 E는 투영 연산자로 이해할 수 있다.

일반사례

일반적인 경우, 세 개 이상의 값을 갖는 관측치에 대해 측정한다.

관측 가능한 A가 순수 점 스펙트럼을 가질 경우 고유 벡터의 정사각형 기준으로 작성할 수 있다.즉, A는 분광 분해 작용을 한다.

${\displaystyle A=\sum _{\lambda }\lambda \operatorname {E} _{A}(\lambda )}$

여기서 E_A(직교)는 각각 측정값 λ과 연관된 A의 각 Eigenspace에 대한 쌍방향 직교 투영 계열이다.

관측 가능한 A의 측정은 A의 고유값을 산출한다.시스템의 통계적 앙상블 S에서 측정을 반복하면 A의 고유값 스펙트럼에 걸쳐 확률분포가 발생한다.이산 확률 분포로, 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \operatorname {Pr}(\lambda )=\operatorname {Tr}(S\operatorname {E} _{A}(\lambda )).}$

통계 상태 S의 측정은 지도에 의해 제공된다.

${\displaystyle S\mapsto \sum _{\lambda }\operatorname {E}{A}(\lambda )S\opername {E} _{A}(\lambda )\ .}$

즉, 측정 직후 통계 상태는 관측 가능한 값 λ과 관련된 진위대에 걸친 고전적 분포로서 S는 혼합된 상태라는 것이다.

완전하지 않은 포지티브 맵

샤지와 수다르산은 물리학 서신에서 면밀한 검토 결과 완전한 긍정이 열린 양자 진화를 잘 표현하기 위한 요건이 아니라고 주장했다.이들의 계산은 관찰된 시스템과 환경 사이의 일부 고정된 초기 상관관계로 시작할 때 시스템 자체에 제한된 지도가 반드시 양수적이지도 않다는 것을 보여준다.그러나 초기 상관관계의 형태에 대한 가정을 충족시키지 못하는 상태에만 긍정적이지 않다.따라서 양자 진화에 대한 완전한 이해를 얻기 위해서는 완전히 양성적이지 않은 지도도 고려해야 한다는 것을 보여준다.^[4][6][7]

참고 항목

• 양자역학 세미그룹
• 슈퍼 오퍼레이터

참조

• Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2010). Quantum Computation and Quantum Information (10th ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107002173. OCLC 665137861.
• Choi, Man-Duen (1975). "Completely positive linear maps on complex matrices". Linear Algebra and Its Applications. Elsevier BV. 10 (3): 285–290. doi:10.1016/0024-3795(75)90075-0. ISSN 0024-3795.
• Sudarshan, E. C. G.; Mathews, P. M.; Rau, Jayaseetha (1961-02-01). "Stochastic Dynamics of Quantum-Mechanical Systems". Physical Review. American Physical Society (APS). 121 (3): 920–924. Bibcode:1961PhRv..121..920S. doi:10.1103/physrev.121.920. ISSN 0031-899X.
• Belavkin, V.P.; Staszewski, P. (1986). "A Radon-Nikodym theorem for completely positive maps". Reports on Mathematical Physics. Elsevier BV. 24 (1): 49–55. Bibcode:1986RpMP...24...49B. doi:10.1016/0034-4877(86)90039-x. ISSN 0034-4877.
• K. Kraus, States, Effects and Operations: 양자이론의 기본이념, 스프링거 베라크 1983
• W. F. Stinespring, C*-algebras에서의 양성 기능, 미국수학협회, 211–216, 1955
• V. 바라다라잔, 양자역학의 기하학 제1권과 2권, 스프링거-베를라크 1985.