항유니터리 연산자

수학에서 반유니컬 변혁은 편향적 반선형 지도다.

(\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}\,}

그렇게 복잡한 힐버트의 두 공간 사이에

\langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }

수평 막대가 복합 결합체를 나타내는 $H_{1}$ H $H_{1}$ ${\$ }의 $y$ 모든 $x$ $y$ 및 $y$ $y$ 에 대해.H $H_{1}=H_{2}$ = $H_{1}=H_{2}$ $H_{1}=H_{2}$ ${\$ 2}} $개$ 를 추가로 가지고 $U$ U{\ $displaystyle U$ }을(를) 반독성 연산자라고 부른다 $U$ .

항유니터리 연산자는 시간 역전과 같은 특정 대칭을 나타내기 위해 사용되기 때문에 양자 이론에서 중요하다.^[1]양자물리학에 있어서 그들의 근본적 중요성은 위그너의 정리에 의해 더욱 증명된다.

비침투성 변환

양자역학에서 복잡한 힐버트 공간 $H$ {\ $displaystyle H}$ 의 불변성 변환은 스칼라 제품 불변성의 절대값을 $H$ 남긴다.

\displaystyle \langle Tx,Ty\angle = \langle x,y\angle }

$H$ ${\displaystyle H$ 의 $x$ $y$ $모든$ $x$ $x$ 및 y $y$ 에 대해

위그너의 정리 때문에 이러한 변형은 단일하거나 반 단일화할 수 있다.

기하학적 해석

그 비행기의 조합은 두 개의 뚜렷한 부류를 이루고 있다.첫 번째는 방향을 보존하고 번역과 회전에 의해 생성된다.두 번째는 방향성을 보존하지 않으며 반사를 적용하여 첫 번째 등급에서 얻는다.복잡한 평면에서 이 두 등급은 각각 (번역까지) 단위와 반부대에 해당된다.

특성.

$\langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle$ holds for all elements $x,y$ of the Hilbert space and an antiunitary $U$ .
$U$ $U$ 이 $U$ (가) 반독성인 경우 U $U^{2}$ ${\$ U $^{2}}$ 이 단일병리인 $U^{2}$ 경우.이것은 에서 따온 것이다.
$\left\langle U^{2}x, U^{2}y\right\angle ={\langle Ux, Uy\angle }}=\langle x,y\angle .$
단일 연산자 $V$ $V$ 의 경우 연산자 $V$ $V$ $K$ ${\displaystyle VK$ 여기서 $K$ {\ $displaystyle K}$ 은 $K$ (는) 복합 결합 연산자임에는 반 단일 연산자다. $그$ 반대의 경우도 마찬가지인데, 반독성 U $U$ 의 $U$ 경우 운영자 $U$ K $UK$ 은 $UK$ (는) 단일독성이다.
반독성 $U$ $U$ 의 경우 보조 연산자 $∗{\$ 의 $U$ 정의가 복합적 결합을 보상하도록 변경되어 다음과 $U^{*}$ 같이 된다.
$\langle Ux,y\rangle ={\overline {\left\langle x,U^{*}y\right\rangle }}$ $\langle Ux,y\rangle ={\overline {\left\langle x,U^{*}y\right\rangle }}$ $\langle Ux,y\rangle ={\overline {\left\langle x,U^{*}y\right\rangle }}$ , y $\langle Ux,y\rangle ={\overline {\left\langle x,U^{*}y\right\rangle }}$ = $\langle Ux,y\rangle ={\overline {\left\langle x,U^{*}y\right\rangle }}$ x , $\langle Ux,y\rangle ={\overline {\left\langle x,U^{*}y\right\rangle }}$ $\langle Ux,y\rangle ={\overline {\left\langle x,U^{*}y\right\rangle }}$ $\langle Ux,y\rangle ={\overline {\left\langle x,U^{*}y\right\rangle }}$ 의 ${\$ x $,U^{*}y\우측\rangele$
반유니컬 $U$ $U$ 의 부호는 또한 $U$ 반유니컬 및 반유니컬이다.
U∗)U∗ U=1.{\displaystyle UU^{*}=U^{*}U=1.}(이는 단일 관측소의 정의와 혼동해서는 안 되며,이는 반물질연산자 U{\displaysty U}가복잡하게선형적이지 않기 때문이다.).

예

복합 결합 연산자 $K$ , $K,$ $Kz={\overline {z}},$ $Kz={\overline {z}},$ = $Kz={\overline {z}},$ , $Kz={\overline{z}},}$ 은 $Kz={\overline {z}},$ 복합 평면상의 반독성 연산자다.
오퍼레이터
$U=i\sigma _{y}K={\begin{pmatrix}0&#1&0\end{pmatrix}K,$
$K$ 서 $\sigma _{y}$ $\sigma _{y}$ ${\$ 는 $\sigma _{y}$ 두 번째 Pauli 매트릭스이고 K $K$ 은 $K$ 복합 결합 연산자, 반독성 물질이다. $U^{2}=-1$ $U^{2}=-1$ = $U^{2}=-1$ - 1 $U^{2}=-1$ 을(를) 만족한다 $U^{2}=-1$

초급 위그너 항유닛의 직접적인 합으로 반독성 연산자를 분해하는 방법

An antiunitary operator on a finite-dimensional space may be decomposed as a direct sum of elementary Wigner antiunitaries $W_{\theta }$ , $0\leq \theta \leq \pi$ . The operator $W_{0}:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ is just simple complex conjugati $\mathbb {C}$ ${\$ 대해

W_{0}(z)={\overline {z}

$0<\theta \leq \pi$ < $0<\theta \leq \pi$ $0<\theta \leq \pi$ $0<\theta \leq \pi$ $0<\theta \leq \pi$ 에 대해 $0<\theta \leq \pi$ 연산자 $W_{\theta }$ $W_{\theta }$ ${\$ 는 2차원 복합 힐버트 공간에 작용한다 $W_{\theta }$ .에 의해 정의된다.

W_{\theta }\left(\left(z_{1},z_{2}\right)\right)=\left(e^{{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{2}}},\;e^{-{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{1}}}\right).

$0<\theta \leq \pi$ < $0<\theta \leq \pi$ $0<\theta \leq \pi$ $0<\theta \leq \pi$ { $0<\theta \leq \pi$ 의 경우

W_{\theta }\left(W_{\theta }}\left(z_{1}, z_{2}\오른쪽)=\left(e^{i\theta }z_{1},e^{-i\ta }z_{2}}\rig)},},}

따라서 이러한 $W_{\theta }$ ${\$ 은(는) ID 맵에 정사각형인 $W_{0}$ W $W_{0}$ ${\$ s로 분해되지 않을 수 있다 $W_{\theta }$ .

위와 같은 반물질 연산자의 분해는 단일 물질 연산자의 스펙트럼 분해와 대조된다는 점에 유의한다.특히 복잡한 힐버트 공간의 단일 운영자는 1차원 복합 공간(아이겐스페이스)에 작용하는 단위체의 직접적인 합으로 분해될 수 있지만, 반독성 운영자는 1차원 및 2차원 복합 공간에서의 초등 운영자의 직접적인 합으로만 분해될 수 있다.

참조

^ Peskin, Michael Edward (2019). An introduction to quantum field theory. Daniel V. Schroeder. Boca Raton. ISBN 978-0-201-50397-5. OCLC 1101381398.

위그너, E. "항해성 운영자의 정규 형태", 제 5, 1960호, 페이지 409–412호, 수학 물리학 제1권, 제1권, 제1권, 제1권, 제1권, 제1권, 제1권, 제1권, 제1권, 제1권, 제1권, 제412권
위그너, E. "유니터리 대칭 연산자와 반유니터리 대칭 연산자의 감정학적 구분", 수학 물리학 제논문 Vol1, no5, 1960, pp.414–416

참고 항목

[1] Peskin, Michael Edward (2019). An introduction to quantum field theory. Daniel V. Schroeder. Boca Raton. ISBN 978-0-201-50397-5. OCLC 1101381398.

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특성.

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