포아송 괄호

다음에 대한 시리즈 일부
고전역학
${\displaystyle {\textbf {F}={\frac {d}{dt}(m{\textbf {v})}$ 운동 제2법칙
역사 타임라인 교과서
나뭇가지 적용됨 천체 연속체 역학 운동학 키네틱스 통계학 통계적
기초 가속 각 운동량 커플 달랑베르트의 원리 에너지 운동성의 전위적인 힘 기준 틀 관성 기준 프레임 충동 관성/관성 모멘트 미사 기계력 기계적인 일 모멘트 모멘텀 공간 속도 시간 토크 속도 가상 작업
공식화 뉴턴의 운동 법칙 해석역학 라그랑기 역학 해밀턴 역학 루스 역학 해밀턴-자코비 방정식 호칭 운동 방정식 콥만-본 노이만 역학
핵심 주제 감쇠비 변위 운동 방정식 오일러의 운동 법칙 가공의 힘 마찰 조화 발진기 관성/비내장 기준 프레임 평면 입자 운동 역학 운동(선형) 뉴턴의 만유인력의 법칙 뉴턴의 운동 법칙 상대 속도 강체체 역학 관계 오일러 방정식 단순 고조파 운동 진동
회전 원형 운동 회전 기준 프레임 구심력 원심력 반작용의 코리올리스 힘 진자 접선 속도 회전 속도 각도 가속/변위/주파수/속도
과학자들 케플러 갈릴레오 후이겐스 뉴턴 호록스 핼리 다니엘 베르누이 요한 베르누이 오일러 달랑베르 클라이라우트 라그랑주 라플라스 해밀턴 포아송 카우치 루스 리우빌 호칭 깁스 콥만 폰 노이만
물리포털 카테고리
v t

수학과 고전역학에서 포아송 브래킷은 해밀턴 역학에서 중요한 이항 연산으로서 해밀턴 역학계의 시간 진화를 지배하는 해밀턴의 운동 방정식의 중심 역할을 한다. 또한 포아송 브래킷은 표준 좌표계를 표준 좌표계로 매핑하는 표준 변환이라고 불리는 특정 종류의 좌표 변환을 구별한다. "수평 좌표계"는 표준적인 포아송 대괄호 관계를 만족시키는 표준적인 위치 및 운동 변수($각각{\displaystyle {}_{}}$ ${\$와 p ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle p_{i}$로 상징됨$)$로 구성된다. 가능한 표준 변환의 집합은 항상 매우 풍부하다. 예를 들어 해밀턴 자체 $H{\displaystyle }$= ${\displaystyle H(q,}$ ${\displaystyle p;}$ $){\displaystyle H=H(q,p;t)}$를 새로운 표준운동량 좌표 중 하나로 선택할$$ 수 있는 경우가 많다.

보다 일반적인 의미에서 포아송 괄호는 포아송 대수학을 정의하는데 사용되는데, 그 중 포아송 다지관의 함수 대수는 특별한 경우다. 다른 일반적인 예들도 있다: 그것은 리 알헤브라의 이론에서 일어나는 것으로, 리 대수학의 텐서 대수가 포아송 대수학을 형성하고 있다; 이것이 어떻게 발생하는지에 대한 상세한 구성은 보편적 포위 대수학 기사에 제시되어 있다. 보편적 포락 대수학의 양자 변형은 양자 집단의 개념으로 이어진다.

이 모든 물건들은 시메온 데니스 포아송을 기리기 위해 명명되었다.

특성.

위상 공간과 시간에 따라 달라지는 두 가지 함수 f와 g를 감안할 때, 이들의 포아송 브래킷${\displaystyle }${${\displaystyle f}$, $} {\displaystyle$\{$f,g$\}}은 위상 공간과 시간에 따라 달라지는 또 다른 함수다$$. 다음 규칙은 위상 공간 및 시간의$$ $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$, h , ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle$ f$,\,g,\,h}$에 대해 유지된다.

반공칭도

${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}}$

이선성

${\displaystyle \{af+bg,h\}=a\{f,h\}b\{g,h\}}\quad \{h,f+b\}}}=a\h,f\}{h,g\}}\quad a,b\in \mathb {R}}}}}}}}}}}}}"$

라이프니츠의 법칙

${\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}}}$

자코비 정체성

${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}\{f,g\}\}=0}$

또한 함수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$이(가) 위상 공간 위에 일정한 경우(단, ${\displaystyle 시간}$에 따라 다를 수 있음), $임의$의 f$${\$displaystyle$$$\{$f,\,k\}=0}$에 대해 $\{{\displaystyle f,}$ k$}$ = 0$\}.$

표준 좌표 정의

정준 좌표에서 조의를 위상 공간에(q나는, 나는){\displaystyle(q_{나는},\,p_{나는})}, 두가지 기능을 주어진(또한 다르부 좌표로 알려진)(p, q, t){\displaystyle f(p_{나는},\,q_{나는},t)}과 입수(p, q, t){\displaystyle g(p_{나는},\,q_{나는},t)},[주 1]는 푸아송 괄호를 사용하는.형태

${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$

표준 좌표의 포아송 대괄호는 다음과 같다.

${\displaystyle {\ij}\{q_{i}}q_{j}\}=0\\\\{p_{i}}p_{j}\}=0\\\\{q_{j}\}}}}=\i1}{i}\i}}}\ij}\nd{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

여기서$$ $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 Kronecker 델타다.

해밀턴의 운동 방정식

해밀턴의 운동 방정식은 포아송 대괄호에서 등가 식을 가지고 있다. 이것은 명시적 좌표 틀에서 가장 직접적으로 증명될 수 있다. $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle q}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle f(p,q,t)}$이(가) 솔루션의 궤적 관리 상태에 있는 함수라고$$ 가정해 보십시오. 그럼 다변화할 수 있는 사슬 규칙으로 보면

${\displaystyle {\frac {d}{dt}{dt}{dt}{\frac {dq}{dq}}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\frac {d}{dt}{d}}{\flp}}{\flp}}}}}}}{\frap}}}}}}}}}}}}{\frapp}}{\frappafferfla}$

또한 해밀턴 방정식에 대한 해답이${\displaystyle }되기{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{위해}}$ p = p = ${\displaystyle p(}$ t${\displaystyle }$)$${\$displaystyle$$p=$$p$$(t)}$ 및$$${\displaystyle }q{\displaystyle }$ = $(t)}$을(를) 사용할 수 있다. 즉,

${\displaystyle {\begin{case}{\dot{q}}={\frac {\partial h}}=\{q,H\};\\\\p}=-{\frac {\partial h}{\p}}}}}=\p,H\}.\end{case}}$

그러면

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}~~\end{정렬}}}$

따라서, 복합체 다지관의 $함수$ f ${\displaystyle f}$의 시간 진화는 동일체형(즉, 표준 변환, 면적 보존 차이점)의 단일 매개변수 계열로 주어질 수 있으며, $시간{\displaystyle }$ t$${\$displaystyty t}$은 다음과 같은 매개변수가$$ 될 수 있다. 해밀턴 모션은 해밀턴이 일으킨 정론적 변혁이다. 즉, 포아송 괄호는 그 안에 보존되어 있어서 해밀턴 방정식에 대한 $해법$에서 t ${\displaystyle t}$이(가) 언제든지

${\displaystyle q(t)=\exp(-t\{H,\cdot \}q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{H,\cdot \}p(0),}$

대괄호 좌표 역할을 할 수 있다. 포아송 괄호는 표준 불변성이다.

좌표를 떨어뜨리고,

${\dplaystyle {\frac {d}{dt}f=\왼쪽({\frac {\partial t}-\{H,\cdot \}\오른쪽)f.}$

파생상품의 대류 부분에 있는 연산자 ${\displaystyle I\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$=${\displaystyle }$-${\displaystyle }${ H${\displaystyle }$, ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle i{{L}=-\{H,\cdot$ $\backslash \}\}\}$는 Louvillian(Liouville의 정리(해밀턴어 ${\displaystyle \mathrm{참조}}$)이라고 부르기도 한다.

운동 상수

통합형 동력학 시스템은 에너지 외에도 운동 상수를 가질 것이다. 그러한 운동의 상수는 포아송 계급 아래 해밀턴인과 함께 통근할 것이다. 일부 함수 $f{\displaystyle (p}$ ,${\displaystyle q}$) ${\displaystyle f(p,q)}$이(가) 동작 상수라고 가정해 보십시오. $이것$은 p${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ,${\displaystyle q}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle p(t),q(t)}$이(가) 해밀턴의 운동 방정식에 대한 궤적이나 해결책이라면$$, 그렇다면,

${\displaystyle 0={\frac {df}{dt}}}$

그 궤도를 따라. 그러면

${\displaystyle 0={\frac {d}{dt}f(p,q)=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}}}}$

위와 같이 동작 방정식을 적용하여 중간 단계를 따르며, $우리$는 f ${\displaystyle f}$이(가) 시간에 명시적으로 의존하지 않는다고$$ 가정한다. 이 방정식은 리우빌 방정식으로 알려져 있다. Louville의 정리의 내용은 한 측정치의 시간 진화(또는 위상 공간의 "분포함수")가 위에 의해 주어진다는 것이다.

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및$$ g ${\displaystyle g}$의 포아송 브래킷이 사라진$$ 경우$f,g\}=0}),$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ 및$$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$은(는) 비자발적인 것으로 간주된다$$. 해밀턴 시스템이 완전히 통합되려면 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$개의$$ 독립된 운동 상수가 상호 비자발 상태여야 하며, $여기$서 n ${\displaystyle$n}은$$ 자유도 수입니다.

Furthermore, according to Poisson's Theorem, if two quantities ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ are explicitly time independent (${\displaystyle A(p,q),B(p,q)}$) constants of motion, so is their Poisson bracket ${\displaystyle \{A,\,B\}}$. This does not always supply a usef그러나 동작 상수의 수가 제한되므로($n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$자유도가$$ 있는 시스템의 경우$$ ${\displaystyle \mathrm{2n}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2n-1}),$ 따라서 결과는 사소한 것일 수 있다(상수 $또는{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$ $및{\displaystyle }$ B$$ ${\displaystyle B}).$

좌표가 없는 언어로 된 포아송 대괄호

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 공감각 다지관, 즉 2-폼 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$과(즉, 외부 파생 $모델{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ Ω$${\$displaysty d\omega })$ 모두 소멸되는$$ 복합체가 되도록 한다. 예를 들어 위의 치료에서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\$로 하고 복용하십시오.

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dq_{i}\dp_{i}.}$

If ${\displaystyle \iota _{v}\omega }$ is the interior product or contraction operation defined by ${\displaystyle (\iota _{v}\omega )(w)=\omega (v,\,w)}$, then non-degeneracy is equivalent to saying that for every one-form ${\displaystyle \alpha }$ there is a unique vector field ${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$$\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\$$Oomega$ $\{\$$alpha$ }$$α$$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ =${\displaystyle }$α = α = ${\displaystyle \alpha }$ = α = α = α = α = α = α = $\displaystyle \iota _{\alpha$ $\}\}\}.$ 또는 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ H${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 1^{}d)}$ ${\d$$.$$H}=\omega ^{-1}(dH)}$. 그런 다음 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이$($가) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에서 매끄러운 함수인$$ 경우 해밀턴 벡터 필드 ${\displaystyle X_{}}$ $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$H}}$은(는) $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\$로 정의할 수 있다$$$.$

${\displaystyle{\begin}X_{p_{i}}&={\frac {\partial q_{i}}\X_{q_}=-{\partial }{\partial p_{i}}}}}}.\end{정렬}}}$

The Poisson bracket ${\displaystyle \ \{\cdot ,\,\cdot \}}$ on (M, ω) is a bilinear operation on differentiable functions, defined by ${\displaystyle \{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})}$; the Poisson bracket of two functions on M is itself a function on M. 포아송 대칭은 다음과 같은 이유로 대칭성이 없다.

${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \}}$= ${\displaystyle \Omega }$( X ${\displaystyle f_{}}$, ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \Omega }$( X ${\displaystyle g_{}}$, X ${\displaystyle f_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$-${\displaystyle }${ ${\displaystyle g}$ ,${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{f,g\}=\omega(X_{f},X_{g$},$X_{g}}}}=\g,f$

더 나아가

{f, 감속})ω(Xf, Xg)= ω(Ω df, Xg)=(ι Ω dfω)(X감속))df(X감속))Xgf)나는 Xgf{\displaystyle{\begin{정렬}\{f,g\}&,=\omega(X_{f},X_{g})=\omega(\Omega_{의},X_{g})\\&, =(\iota_{\Omega_{의}}\omega)(X_{g})=df(X_{g})\\&, =X_{g}f={{나는\mathcal}}_.{X_{$g}}f\end{정렬$

(1)

여기서 Xf는_g 함수 f에 적용된 벡터장 X를_g 방향파생물로, $L{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ X ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle f_{{}_{}}}$ ${\displaystyle {\mathcal${L$}_{X_{g}f}$는 함수 f의 (정확히 동등한) Lie파생물을 나타낸다.

만일 α가 M의 임의의 단일 형태인 경우, 벡터 필드_α Ω은 경계 조건 $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \phi _{x}(t)$ $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$(${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ $\displaysty \phi _{x}=x}$과 1차 미분 방정식을 만족$$(최소 국소 국소)한다.

${\displaystyle {\frac {d\pi _{x}{dt}=\왼쪽.\Oomega _{\alpha }\오른쪽 _{\phi _{x}(t)}}$

The ${\displaystyle \phi _{x}(t)}$ will be symplectomorphisms (canonical transformations) for every t as a function of x if and only if ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0}$; when this is true, Ω_α is called a symplectic vector field. Recalling Cartan's identity ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega }$ and dω = 0, it follows that ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Ome$$ga _{\alpha }}\omega \right)\;=\;d\alpha$$}$ 그러므로 Ω은_α α가 닫힌 형태인 경우에만 공감 벡터 필드다. $d{\displaystyle }$( ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle d{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\dplaystyle d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0}$이므로$,$ 모든 해밀턴 벡터 필드_f X는 공통 벡터 필드이며, 해밀턴 흐름은 표준 변환으로 구성된다. 위 (1)부터 해밀턴의 흐름 X 아래_H,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}f(\phi _{x}(t))=X_{H}f=\{f,H\}}$

이것은 위상 공간에 정의된 기능의 시간 진화를 지배하는 해밀턴 역학의 근본적인 결과물이다. 위에서 언급한 바와 같이, {f,H} = 0일 때, f는 시스템의 움직임 상수다. In addition, in canonical coordinates (with ${\displaystyle \{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0}$ and ${\displaystyle \{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}}$), Hamilton's equations for the time evolution of the system follow immediately fr이 공식은 생략한다.

또한 (1)로부터 포아송 브래킷이 파생됨, 즉 라이프니츠의 제품 규칙의 비확정 버전을 만족한다는 것을 따른다.

${\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}}$, and ${\displaystyle \{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}}$

(2)

포아송 브라켓은 해밀턴 벡터 필드의 리 브라켓과 밀접하게 연결되어 있다. 거짓말 파생상품은 파생상품이기 때문에

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}w}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,w]}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega }$.

따라서 v와 w가 공통적인 형태라면, ${\displaystyle L\mathrm{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystyle {\mathcal$ {L$}{v}\오메가 \=\;0},$ 카르탄의 정체성$,$ , ${\displaystyle w_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \iota _{w}\omega }}}$을 사용한 후 닫힌 형태,

${\displaystyle \iota _{[v,w]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{w}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )=d(\omega (w,v)).}$

${\displaystyle 그}$ 뒤에${\displaystyle }$[ v${\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$(${\displaystyle w_{}}$, $){\$이 있다$.$

${\displaystyle [X_{f},X_{g}]=X_{\omega (X_{g},X_{f})}=-X_{\omega (X_{f},X_{g})}=-X_{\{f,g\}}}$.

(3)

따라서 함수의 포아송 브래킷은 연관된 해밀턴 벡터 필드의 리 브래킷에 해당한다. 우리는 또한 두 개의 공통 벡터 장의 Lie Bracket이 해밀턴 벡터장이며 따라서 또한 공통 벡터장이라는 것을 보여주었다. 추상 대수학 언어에서, 공통 벡터 장은 M에 있는 평활 벡터 장의 Lie 대수학 아말게브라를 형성하고, 해밀턴 벡터 장은 이 아말게브라의 이상을 형성한다. 공감 벡터 장은 M의 (무한차원) Lie 그룹의 Lie 대수학이다.

포아송 족속들의 야코비 정체성은 널리 주장되고 있다.

${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}\{f,g\}\}=0}$

벡터 필드의 Liebracket에 대한 해당 ID로부터 따르지만, 이것은 국소 상수 함수까지만 적용된다. 그러나 포아송 대열에 대한 자코비 정체성을 증명하기 위해서는 다음과 같은 것을 보여주면 충분하다.

${\displaystyle \cHBNAME {ad} _{f,g\}}=[\bename {ad} _{f},\bename {ad} _{g}]}$

where the operator ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$ on smooth functions on M is defined by ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}}$ and the bracket on the right-hand side is the commutator of operators, ${\displaystyle [\opera$$토르네임 {A} ,\,\\operatorname {B}\;=\;\operatorname {A}$-\$operatorname {B} \operatorname {A$ (1) 연산자 ${\displaystyle {광고}_{}}$ g ${\$는 연산자 X와_g 같다$$. 벡터장의 Lie Bracket은 미분 연산자로서 그들의 정류자일 뿐이기 때문에 Jacobi 정체성의 증거는 (3)로부터 따르게 된다.

M의 평활함수의 대수, 포아송괄호와 함께 포아송대수를 형성하는데, 이는 포아송괄호 아래 리 대수로서 라이프니츠의 규칙(2)을 추가로 만족시키기 때문이다. 우리는 매끄러운 기능이 포아송 대수학을 형성하도록 매끄러운 기능에 "커리브래킷" 연산자를 둔 다지관인 포아송 다지관임을 보여주었다. 그러나 모든 포아송 다지관이 이러한 방식으로 발생하는 것은 아니다. 왜냐하면 포아송 다지관은 동정적 사례에서 발생할 수 없는 퇴화를 허용하기 때문이다.

결합모멘텀에 관한 결과

구성 공간에 부드러운$$ 벡터 필드 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 부여한 $후{\displaystyle {}_{}}$ P ${\displaystyle X_{}}${\$displaystyle P_{X}$를 결합 모멘텀으로 삼으십시오. 공차 운동량 매핑은 포아송 괄호에서 거짓말 괄호까지의 리 대수 반호모형이다.

${\displaystyle \{P_{X},P_{{}Y}\}=-P_{[X,Y]}}\,}$

이 중요한 결과는 짧은 증거의 가치가 있다. 구성 공간의 포인트$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$에 벡터 필드 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 다음으로 쓰십시오.

${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial q^{\partial q^}}}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{i^{}}{}}$ ${\$frac ${}{\reason q^{i}}}}}}$은 로컬 좌표 프레임이다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 결합 모멘텀에는 다음과$$ 같은 표현이 있다.

${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}}$

여기서 p ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 모멘텀 함수가 좌표에 결합되는$$ 것이다. 그런 다음 위상 공간에 점$$$({\displaystyle q}$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle(q,p$)}이(가) 있다.

${\displaystyle {\reasoned}\{{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{i}\{j}\왼쪽\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{정렬}}}$

위의 내용은 원하는 결과를 제공하는 모든${\displaystyle }$(${\displaystyle q}$, p${\displaystyle }$) ${\displaystyle (q,p)}$에 대해 유지된다$.$

수량화

포아송 대괄호는 정량화 시 모얄 대괄호로 변형된다. 즉, 그들은 다른 리 대수, 모얄 대수로 일반화하거나 힐버트 공간, 양자 정류자로 동등하게 일반화된다. 이들(고전적 한계인 ħ → 0)의 위그너-아이뉴 그룹 수축은 위의 리 대수학을 산출한다.

이것을 좀 더 명시적이고 정확하게 말하면 하이젠베르크 대수학의 보편적 포락 대수학은 웨일 대수(중심이 단위가 되는 관계)이다. 모얄 제품은 기호 대수에서 별 제품의 특별한 케이스가 된다. 기호의 대수학에 대한 명시적인 정의와 항성생산은 보편적 포락 대수학에 관한 기사에 제시되어 있다.

참고 항목

언급

메모들

참조

• Arnold, Vladimir I. (1989). Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.
• Landau, Lev D.; Lifshitz, Evegeny M. (1982). Mechanics. Course of Theoretical Physics. Vol. 1 (3rd ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2896-9. volume= 추가 텍스트(도움말)
• Karasëv, Mikhail V.; Maslov, Victor P. (1993). Nonlinear Poisson brackets, Geometry and Quantization. Translations of Mathematical Monographs. 119. Translated by Sossinsky, Alexey; Shishkova, M.A. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0821887967. MR 1214142.

외부 링크

• "Poisson brackets", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Eric W. Weisstein. "Poisson bracket". MathWorld.