해석 기하학

고전 수학에서 해석 기하학은 좌표 기하학 또는 데카르트 기하학으로도 알려져 있으며 좌표계를 이용한 기하학 연구이다.이것은 합성 기하학과는 대조적입니다.

해석 기하학은 물리학과 공학, 그리고 항공, 로켓, 우주 과학, 그리고 우주 비행에 사용된다.그것은 대수학, 미분학, 이산학, 계산기하학을 포함한 대부분의 현대 기하학 분야의 기초이다.

일반적으로 데카르트 좌표계는 평면, 직선 및 원에 대한 방정식을 조작하는 데 사용되며, 종종 2차원 또는 3차원으로도 사용됩니다.기하학적으로 유클리드 평면(2차원)과 유클리드 공간을 연구한다.교과서에서 가르쳐진 것처럼 해석 기하학은 보다 간단하게 설명될 수 있다: 그것은 기하학적 형상을 수치적으로 정의하고 표현하는 것과 도형의 숫자 정의와 표현으로부터 숫자 정보를 추출하는 것과 관련이 있다.기하학의 선형 연속체에 대한 결과를 얻기 위해 실수의 대수를 사용할 수 있다는 것은 칸토르-데킨드 공리에 의존한다.

역사

고대 그리스

그리스의 수학자 메네크모스는 좌표의 사용과 매우 유사한 방법을 사용하여 문제를 풀고 이론을 증명했으며, 그가 해석기하학을 ^[1]도입했다는 것이 때때로 주장되어 왔다.

페르가의 아폴로니우스는 결정 부분에서, 다른 것과 비례하는 ^[2]선상의 점을 찾는 문제와 함께, 한 차원의 해석 기하학이라고 불릴 수 있는 방식으로 문제를 다루었다.코닉스의 아폴로니우스는 해석 기하학과 매우 유사한 방법을 더 발전시켰고, 그의 작업은 때때로 데카르트의 작업을 1800년 정도 앞섰다고 생각됩니다.그의 기준선, 직경 및 접선의 적용은 기본적으로 좌표 프레임을 사용하는 것과 다르지 않다. 여기서 접선의 점으로부터 직경을 따라 측정된 거리는 접선이고 축과 곡선 사이의 평행하고 절편된 세그먼트는 규칙이다.그는 또한 곡선의 수사 방정식에 해당하는 아브시사와 그에 상응하는 명령어 사이의 관계를 발전시켰다.그러나, 아폴로니우스는 해석 기하학을 개발하는 데 근접했지만, 음의 크기를 고려하지 않았고 모든 경우에 좌표계가 선험적 대신 주어진 곡선에 중첩되었기 때문에 그렇게 할 수 없었다.즉, 방정식은 곡선으로 결정되지만 곡선은 방정식으로 결정되지 않습니다.좌표, 변수 및 방정식은 특정 기하학적 ^[3]상황에 적용되는 보조 개념이었다.

페르시아

11세기 페르시아의 수학자 오마르 카얌은 기하학과 대수학의 강한 관계를 보고 올바른 방향으로 움직이고 있었는데, 그가 일반 ^[5]입방정식의 기하학적 해법으로 숫자와 기하학^[4] 사이의 차이를 좁히는 것을 도왔으나, 결정적인 단계는 데카르트와 ^[4]함께 나중에 왔다.오마르 카이얌은 대수기하학의 기초를 밝혀낸 공로를 인정받고 있으며, 해석기하학의 원리를 정립한 그의 저서 '대수의 문제에 대한 설명에 관한 논문'(1070)은 결국 ^[6]유럽으로 전해진 페르시아 수학의 일부입니다.대수 방정식에 대한 그의 철저한 기하학적 접근 때문에, 카이얌은 해석 ^[7]^{: 248}기하학의 발명에서 데카르트의 선구자로 여겨질 수 있습니다.

서유럽

해석 기하학은 르네 데카르트와 피에르 드 ^[8]^[9]페르마에 의해 독립적으로 발명되었지만, 데카르트는 때때로 유일한 ^[10]^[11]공로를 인정받는다.해석 기하학에 사용되는 대체 용어인 데카르트 기하학은 데카르트의 이름을 따서 명명되었습니다.

데카르트는 1637년에 출판된 세 편의 에세이 (부록) 중 하나인 "La Géométrie (기하학)"라는 제목의 에세이에서 중요한 발전을 이루었는데, 이는 흔히 "방법론"이라고 불리는 그의 "과학에서의 올바른 이성과 진실의 탐구"에 관한 담론과 함께 출판되었다.La Geometrie는 그의 모국어인 프랑스어로 쓰여졌고, 그 철학적 원리는 유럽에서 미적분의 기초를 제공했다.처음에는 논쟁과 복잡한 방정식의 많은 차이 때문에 그 연구는 부분적으로 좋은 평가를 받지 못했다.1649년에 라틴어로 번역되고 판 슈텐에 의한 해설(그리고 그 이후 더 많은 작업)이 추가된 후에야 데카르트의 걸작은 적절한 인정을 ^[12]받았다.

피에르 드 페르마는 또한 해석 기하학의 개발을 개척했다.그의 생전에는 출판되지 않았지만, 데카르트의 ^[13]^[14]^[15]담론이 출판되기 직전인 1637년 파리에서 Ad locos planos et solidos isagoge (평면과 고체 로케이의 입문)의 원고 형태가 유포되었다.명확하게 쓰여져 호평을 받은 서론은 해석 기하학을 위한 기초도 마련했습니다.페르마와 데카르트의 치료법의 주요 차이점은 관점의 문제이다.페르마는 항상 대수 방정식으로 시작해서 그것을 만족시키는 기하학적 곡선을 기술한 반면, 데카르트는 기하학적 곡선으로 시작해서 ^[12]곡선의 여러 특성 중 하나로 방정식을 만들어냈다.이 접근법의 결과로, 데카르트는 더 복잡한 방정식을 다루어야 했고 그는 더 높은 차수의 다항식 방정식을 다룰 수 있는 방법을 개발해야 했다.공간 곡선과 표면에 대한 체계적인 연구에서 좌표법을 최초로 적용한 사람은 레온하르트 오일러였다.

좌표

데카르트 좌표 평면의 그림입니다.(2,3) 녹색, (-3,1) 빨간색, (-1.5,-2.5) 파란색, 원점(0,0) 보라색 등 4개의 점이 좌표로 표시되고 레이블이 지정됩니다.

해석기하학에서 평면에 좌표계가 주어지며, 이에 따라 모든 점은 한 쌍의 실수 좌표를 가진다.마찬가지로, 유클리드 공간에는 모든 점이 세 개의 좌표를 갖는 좌표가 주어집니다.좌표 값은 초기 원점 선택에 따라 달라집니다.다양한 좌표계가 사용되지만 가장 일반적인 좌표계는 다음과 같습니다.^[16]

데카르트 좌표(평면 또는 공간 내)

가장 일반적으로 사용되는 좌표계는 데카르트 좌표계로, 각 점에는 수평 위치를 나타내는 x 좌표와 수직 위치를 나타내는 y 좌표가 있습니다.이들은 보통 순서쌍(x, y)으로 작성됩니다.이 시스템은 또한 유클리드 공간의 모든 점이 순서 있는 세 개의 좌표(x, y, z)로 표시되는 3차원 기하학에도 사용할 수 있습니다.

극좌표(평면 내)

극좌표에서 평면의 모든 점은 원점으로부터의 거리 r과 각도 θ로 나타내며, θ는 보통 양의 x축에서 시계 반대 방향으로 측정된다.이 표기법을 사용하면 점들은 보통 순서쌍(r, θ)으로 작성됩니다.다음 공식을 사용하여 2차원 데카르트 좌표와 극좌표를 앞뒤로 변환할 수 있다.

\displaystyle x=r,\cos \theta,,y=r,\sin \theta;,r=sinrt {x^{2}+y^{2}}}}},\theta =\arctan(y/x).}

이 시스템은 원통형 또는 구면 좌표를 사용하여 3차원 공간으로 일반화할 수 있습니다.

원통 좌표(공간 내)

원통좌표에서 공간의 모든 점은 높이 z, z축으로부터의 반지름 r 및 xy평면에 투영된 각도θ로 수평축에 대해 표현된다.

구면 좌표(공간 내)

구면좌표에서 공간의 모든 점은 원점으로부터의 거리θ, xy평면에 투영되는 각도θ, z축에 대한 각도θ로 나타난다.물리학에서는 ^[16]각도의 이름이 종종 거꾸로 되어 있다.

방정식과 곡선

해석기하학에서 좌표와 관련된 방정식은 평면의 부분 집합, 즉 방정식에 대한 해 집합 또는 궤적을 지정한다.예를 들어, y = x 방정식은 x-좌표와 y-좌표가 동일한 평면의 모든 점 집합에 해당합니다.이 점들은 직선을 이루며, y = x가 이 직선의 방정식이라고 합니다.일반적으로 x와 y를 포함하는 선형 방정식은 선을 지정하고, 2차 방정식은 원뿔 단면을 지정하며, 더 복잡한 방정식은 더 복잡한 ^[17]수치를 나타냅니다.

일반적으로 단일 방정식은 평면상의 곡선에 해당합니다.이러한 경우가 항상 있는 것은 아닙니다. 사소한 방정식 x = x는 전체 평면을 나타내며 방정식² x² + y = 0은 단일 점(0, 0)만 나타냅니다.3차원에서는 일반적으로 하나의 방정식이 표면을 나타내며 곡선은 두 표면의 교차점(아래 참조) 또는 모수 ^[18]방정식의 시스템으로 지정해야 합니다.x² + y² = r은² 반지름이 r인 원점(0, 0)을 중심으로 하는 모든 원에 대한 방정식입니다.

선과 평면

데카르트 평면의 선, 또는 보다 일반적으로 아핀 좌표의 선은 선형 방정식으로 대수적으로 설명할 수 있다.2차원에서 수직이 아닌 선에 대한 방정식은 종종 기울기-절편 형식으로 제공됩니다.

y=param+b

: " " " : " :

m은 선의 기울기 또는 구배입니다.
b는 선의 y자형입니다.
x는 함수 y = f(x)의 독립 변수입니다.

2차원 공간에서의 선이 점-경사 형태를 사용하여 방정식을 설명하는 것과 유사한 방법으로, 3차원 공간에서의 평면은 평면 내의 점 및 평면과 직교하는 벡터(통상 벡터)를 사용하여 "경사"를 나타내는 자연 기술을 가진다.

$\mathbf {r} _{0}$ 으로는 r $\mathbf {r} _{0}$ 0 $({displaystyle$ \ $mathbf {r}_{$ 0 $\mathbf {r} _{0}$ })을 $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ 0 $=$ ( $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ , $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ 0 , $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ 0 ){ $style P_$ {0}=( $x_{0}, z_{$ 0 $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ 의 $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ 벡터로 하고 n $=$ ( $\mathbf {n} =(a,b,c)$ , $\mathbf {n} =(a,b,c)$ ) {style $\mathb$ f ${n}을(으)$ 로 $\mathbf {r} _{0}$ .이 점과 벡터에 의해 결정되는 평면은 $P_{0}$ $\mathbf {r}$ r ${\$ $display$ \ $mathbf$ {r $\mathbf {r}$ 을(를) 갖는점 $P$ {\ $displaystyle$ $P_{0}$ 에서 $P_{0}$ P {\ $displaystyle$ P $}$ 로 $P$ 그려지는 벡터가 n $\mathbf {n}$ {\ $displaystyle \mathbf {n$ 에 수직이 되도록 P {\displaystyle $P$ 로 구성됩니다.ors는 도트곱이 0인 경우에만 수직이다. 따라서 원하는 평면을 모든 $\mathbf {r}$ 의 집합 r $(\$ 로 $\mathbf {r}$ 설명할 수 있다.

\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})= 0.}

(여기서 도트는 스칼라 곱셈이 아닌 도트 곱을 의미합니다.)확장:

\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}

평면 ^{[citation needed]}방정식의 점-정규 형식입니다.이것은 단순한 선형 방정식입니다.

({displaystyle ax+by+cz+d=0,{\text{여기서}}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}

반대로, a, b, c, d가 상수이고 a, b, c가 모두 0이 아니라면, 방정식의 그래프는 쉽게 나타난다.

ax+by+cz+d=0,

는

\mathbf {n} =(a,b,c)

n

=

(

\mathbf {n} =(a,b,c)

\mathbf {n} =(a,b,c)

) {

displaystyle \mathbf {n}

=(

a, b, c)}

을

\mathbf {n} =(a,b,c)

(^{[citation needed]}를) 법선으로 갖는 평면입니다.이 익숙한 평면 방정식은 평면 ^[19]방정식의 일반적인 형태라고 불립니다.

3차원에서 선은 단일 선형 방정식으로 기술할 수 없으므로 다음과 같은 파라메트릭 방정식으로 자주 기술됩니다.

x=x_{0}+at

y=y_{0}+bt

z=z_{0}+ct

: " " " : " :

x, y 및 z는 모두 실수에 이르는 독립 변수 t의 함수입니다.
(x₀, y₀, z₀)는 선상의 임의의 점입니다.
a, b, c는 벡터(a, b, c)가 선에 평행하도록 선의 기울기와 관련된다.

원뿔형 섹션

데카르트 좌표계에서, 두 변수에서 2차 방정식의 그래프는 항상 원뿔 단면이다 – 비록 퇴화할 수 있지만, 모든 원뿔 단면들은 이러한 방식으로 발생한다.방정식은 다음과 같습니다.

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{와 }}A,B,C{\text{가 모두 0은 아닙니다.}}

6개의 상수를 스케일링하면 0의 동일한 궤적이 생성되므로 원뿔을 5차원 투영

\mathbf {P} ^{5}.

\mathbf {P} ^{5}.

점으로 간주할 수 있습니다

.

{\displaystyle

\

mathbf

{P

}

^{

5}

}

이 방정식으로 설명된 원뿔 섹션은 판별자를^[20] 사용하여 분류할 수 있다.

(\displaystyle B^{2}-4AC).}

다음과 같이

$B^{2}-4AC<0$ 2 $B^{2}-4AC<0$ - $B^{2}-4AC<0$ $B^{2}-4AC<0$ C < $B^{2}-4AC<0$ \ $displaystyle$ B $^{2}-4$ 인 $B^{2}-4AC<0$ $AC <0$ 방정식은 타원을 나타낸다.
- A $A=C$ { $displaystyle$ A $=C}$ 및 $A=C$ $B=0$ $B=0$ { $displaystyle$ B $=0$ 인 경우, 방정식은 타원의 특수한 경우인 원을 나타냅니다.
$B^{2}-4AC=0$ 2 $B^{2}-4AC=0$ - $B^{2}-4AC=0$ $B^{2}-4AC=0$ C $B^{2}-4AC=0$ \ $displaystyle$ B $^{2}-4$ 인 $B^{2}-4AC=0$ $AC=0$ 방정식은 포물선을 나타낸다.
$B^{2}-4AC>0$ 2 $B^{2}-4AC>0$ - $B^{2}-4AC>0$ $B^{2}-4AC>0$ C $B^{2}-4AC>0$ > $B^{2}-4AC>0$ \ $displaystyle$ B $^{2}-4$ 인 경우 $AC>0$ 방정식은 쌍곡선을 나타냅니다.
- A $A+C=0$ + $A+C=0$ $A+C=0$ (\ $displaystyle$ A $+C=0$ 도 $A+C=0$ 방정식은 직사각형 쌍곡선을 나타냅니다.

사각형 표면

4차원 또는 4차원 표면은 2차 다항식의 0의 궤적으로 정의되는 3차원 공간의 2차원 표면이다.좌표₁ x, x₂, x에서₃, 일반 2차 방정식은 대수^[21] 방정식에 의해 정의된다.

\sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^3}P_{i}x_{i}+R=0.

4각형 표면에는 타원체(구 포함), 포물체, 쌍곡선, 원기둥, 원추체 및 평면이 포함됩니다.

거리와 각도

평면상의 거리 공식은 피타고라스의 정리에 따른다.

해석 기하학에서 거리 및 각도 측정과 같은 기하학적 개념은 공식을 사용하여 정의됩니다.이러한 정의는 기초가 되는 유클리드 기하학과 일치하도록 설계되었다.예를 들어 평면에서 데카르트 좌표를 사용하면 두 점(x₁, y₁)과 (x₂, y₂) 사이의 거리는 다음 공식으로 정의됩니다.

d2}{{displaystyle d=modulert {(x_{2}-x_{1})^2}+(y_{1})^2}}}

이것은 피타고라스 정리의 한 버전이라고 볼 수 있다.마찬가지로 선이 수평으로 만드는 각도는 다음 공식으로 정의할 수 있습니다.

= \displaystyle \theta = \arctan(m),}

여기서 m은 선의 기울기입니다.

정리의 : 3차원 원원서 거차 in차 in차 in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in

d{(2}-}^{22}, {{1}}{{displaystyle d=sqrt {(x_{2}-x_{1})^2}+{{1}^2}-{{{1})^2}-{{{{1}_{{1}}_{{{1}}_{{{{{1}}_{{{{{{}}}}}}}}}}}}}

두 벡터 사이의 각도는 점곱에 의해 주어집니다.두 유클리드 벡터 A와 B의 점곱은 다음과 같이 정의된다^[22].

\ { {def} { \ \displaystyle \cdot \mathbf {A} {STA} {Stack}

여기서 θ는 A와 B 사이의 각도입니다.

트랜스포메이션 transform

a) y = f(x) = x b) y = f(x+3) c) y = f(x)-3 d) y = 1/2 f(x)

변환은 부모 함수에 적용되어 유사한 특성을 가진 새로운 함수로 변환됩니다.

$R(x,y)$ ( $R(x,y)$ , $R(x,y)$ ) { $displaystyle$ R ( $x$ , $y$ )그래프는 $R(x,y)$ 다음과 같이 표준 변환에 의해 변경됩니다.

x $(디스플레이 스타일$ x $)$ 를 $x$ $x-h$ x - $x-h$ ( $디스플레이$ 스타일 $x-h)$ 로 $x-h$ $x$ 하면 그래프가 $오른쪽$ h $(디스플레이 스타일$ h $)$ 단위로 $h$ 이동합니다.
$y$ 를 $y$ $y-k$ y - $k$ 로 $y-k$ $y-k$ 하면 그래프가k $단위$ 위로 $k$ 합니다 $.$
$x($ 디스플레이 $x$ 스타일 x)를 $x/b$ x/ $(디스플레이 스타일$ x/ $b)$ 로 $x/b$ 변경하면 그래프가 b $($ $x(디스플레이$ 스타일 $x$ x $b$ 의 배수로 수평으로 늘어납니다.
$y를$ 로 $y/a$ 하면 $y/a$ 그래프가 수직으로 늘어납니다 $.$
$(\displaystyle$ x $)$ 를 $x$ x $x\cos A+y\sin A$ A + $x\cos A+y\sin A$ $x\cos A+y\sin A$ A \ $displaystyle$ $x\cos A+y\sin A$ x + $-x\sin A+y\cos A$ $-x\sin A+y\cos A$ A + y cos $-x\sin A+y\cos A$ A \ $displaystyle$ - x \ $sin$ A + $y$ \ $cos$ A $-x\sin A+y\cos A$ rotates $-x\sin A+y\cos A$ A \ $display style$ A a by A \ displaystyle A $-x\sin A+y\cos A$ $A$ AaA $a$ the $-x\sin A+y\cos A$ aA aA aA aA aA aA aA aA aA aA aA aA aA aAaA aA $a$

기본 해석 기하학에서는 일반적으로 연구되지 않는 다른 표준 변환이 있다. 왜냐하면 변환은 일반적으로 고려되지 않는 방식으로 물체의 모양을 변화시키기 때문이다.왜곡은 일반적으로 고려되지 않는 변환의 한 예입니다.상세한 것에 대하여는, 아핀 변환에 관한 위키피디아 기사를 참조해 주세요.

예를 들어 부모 $y=1/x$ y $y=1/x$ $y=1/x$ / $y=1/x$ (\ $displaystyle$ y $=1/x)$ 는 $y=1/x$ 수평 및 수직 점근선을 가지며, 변환된 모든 형태는 수평 및 수직 점근선을 가지며, 제1 및 제3 또는 제2 및 제4 사분면 중 하나를 차지한다. $y=f(x)$ 으로 y $y=f(x)$ ( $y=f(x)$ x $y=f(x)$ ) \ $displaystyle$ y $=$ $y=af(b(x-k))+h$ ( $y=f(x)$ $y=af(b(x-k))+h$ ) $y=f(x)$ + $y=af(b(x-k))+h$ ( \ $displaystyle y = af$ ( $x$ - $y=af(b(x-k))+h$ k ) + h $y=af(b(x-k))+h$ 로 $y=af(b(x-k))+h$ 할 수 있습니다.새로운 변환된 함수에서 { $displaystyle$ a $}$ 는 $a$ 함수를 수직방향으로 압축할 경우 수직방향으로 늘어나는 계수입니다.1보다 크고 $a$ 인{\ $displaystyle$ a $}$ 값의 $a$ 경우 함수는 $x축$ 에 $x$ 반영됩니다. $b$ {\ $displaystyle$ b $}$ 값은 $b$ 1보다 크면 함수의 그래프를 수평으로 압축하고, 1보다 작으면 함수를 수평으로 $확장하며,$ 음의 경우 y{\ $displaystyle$ y $}$ - $y$ 에 $y$ $a$ 를 반영합니다. $(displaystyle$ k $)$ 및 $k$ $(displaystyle$ h $)$ 값은 $h$ h $(displaystyle$ h $h$ $수직$ 및 k $(displaystyle$ k $)$ $수평$ $k$ $변환$ 을 도입합니다. $($ $표시$ 스타일 h) 및 $h$ k(표시 $스타일$ k $)$ 값은 $k$ 함수가 축의 양끝으로 변환되고 음의 의미 변환이 음의 끝으로 변환됨을 의미합니다.

방정식이 함수를 나타내든 아니든 변환은 기하 방정식에 적용할 수 있습니다.변환은 개별 트랜잭션 또는 조합으로 간주할 수 있습니다.

R $R(x,y)$ ( $R(x,y)$ , $R(x,y)$ ) { $displaystyle$ $R$ ( $x$ , $y$ ) } 이 $R(x,y)$ $xy$ 평면내의 $xy$ 관계라고 $R(x,y)$ .예를들면,

x^{2}+y^{2}-1=0

단위 원을 설명하는 관계입니다.

기하학적 객체의 교차점 찾기

$P(x,y)$ P $P(x,y)$ $)$ { $displaystyle$ P $(x,y)}$ 및 $P(x,y)$ $)$ { $displaystyle$ Q $(x,y)}$ 로 $Q(x,y)$ $(x,y)$ 표시되는 2개의 기하학적 객체 P 및 Q(x $,y$ )의 경우 교차는 양쪽 ^[23]관계에 있는 모든 점 $x$ 의 집합입니다.

$P$ 를 들어 $,$ P {\ $displaystyle$ P $}$ 는 $P$ 반지름이 $(0,0)$ 원이고 $(0,0)$ $(0,0)$ ${displaystyle$ $(0,0)$ $P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$ $(0,0)$ $P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$ P $P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$ { ( $P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$ x , $P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$ ) $P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$ 2 + $P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$ $P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$ 1 $}$ { $displaystyle$ P = \ { ( x , $y$ ) $x$ { $2$ 1 $}$ 은 $P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$ 반지름이 $Q$ 1인 원일 수 있습니다. $}$ $Q=\{(x,y)(x-1)^{2}+y^{2$ }= $1$ 이 두 원의 교차점은 두 방정식을 모두 참으로 만드는 점들의 집합입니다.점 $(0,0)$ ( $(0,0)$ $)$ { $style (0,0)}$ 이 $(0,0)$ 두 방정식을 모두 참으로 만들 수 있습니까? $($ $(0,0)$ $(x,y)$ , $(x,y)$ ) $(x,y)$ { $displaystyle ($ x , y ) {displaystyle (x , $y$ ) $(x,y)$ }에 $(0,0)$ 대해 ( $(0,0)$ , $(0,0)$ $)$ { $displaystyle$ Q $}$ 의 $Q$ $(-1)^{2}=1$ 방정식은 $(0-1)^{2}+0^{2}=1$ ( $(0-1)^{2}+0^{2}=1$ $(0-1)^{2}+0^{2}=1$ ) $(0-1)^{2}+0^{2}=1$ $(-1)^{2}=1$ + $0$ 2 $=$ $(0-1)^{2}+0^{2}=1$ $(-1)^{2}=1$ $(0-1)^{2}+0^{2}=1$ style $(1 -$ ) 이 $(0-1)^{2}+0^{2}=1$ $됩니다$ $({displaystyle$ Q $Q$ 한편 $,$ ( $(x,y)$ $)$ 에 $(0,0)$ ( $0$ 0 $)$ { $displaystyle ($ $x,$ y $(0,0)$ $(x,y)$ $(0,0)$ displaystyle $(x$ ,y $)}$ {\ $displaystyle$ (x,y)} {\ $displaystyle$ (0 $P$ $,yle$ )} {\ $0^{2}+0^{2}=1$ P $}$ 의 $0^{2}+0^{2}=1$ $0=1$ $P$ 은 $0^{2}+0^{2}=1$ + $0^{2}+0^{2}=1$ 2 $= 1$ 이 $0^{2}+0^{2}=1$ . $(0,0)$ $(0,0)$ , $(0,0)$ ) $(0,0)$ { $displaystyle (0,0)}$ 은 $(0,0)$ $($ 는) P {\ $displaystyle$ P $}$ 에 $P$ $없으므로$ 교차로에 없습니다.

P $(\displaystyle$ P $)$ 와 Q $(\displaystyle$ Q $)$ 의 $Q$ 교집합은 다음 방정식을 풀어 찾을 수 있습니다.

x^{2}+y^{2}=1

(x-1)^{2}+y^{2}=1.

교차로를 찾는 전통적인 방법에는 치환과 제거가 있습니다.

대체:첫 번째 $y$ 의 방정식을 $x$ 의 $x$ 에서 풀고두 $x$ 번째 $y$ 방정식으로y의 $식을$ 대입합니다. $표시 스타일$ y $)$ 식을 $y$ 바꿉니다.

x^{2}+y^{2}=1

(\displaystyle y^{2}=1-x^{2}).}

그런 다음 이 값을 $({$ 2})의 $y^{2}$ $y^{2}$ 방정식에 대입하여 x $({displaystyle$ x $x$ 의 해법을 진행합니다.

{{displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}

x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1

-2x=-1

(\displaystyle x=1/2).}

다음으로 이 x $({displaystyle$ x}) $x$ 을 $x$ 원래의 방정식 중 하나에 대입하여 y $({displaystyle$ y $y$ 에 대해 해결합니다.

(1/2)^{2}+y^{2}=1

y^{2}=3/4

y=black\pm{rt {3}}{2}}

교차로에는 다음 두 지점이 있습니다.

\displaystyle \left(1/2,\frac {+{\flacrt {3}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\left(1/2,\frac {-{\fracrt {3}}{2}}\right).}

배제:변수 중 하나가 제거되도록 한 방정식의 배수를 다른 방정식에 더하거나 뺍니다.현재의 예에서는 첫 번째 방정식을 두 번째 방정식에서 빼면 ( $(x-1)^{2}-x^{2}=0$ - $(x-1)^{2}-x^{2}=0$ ) $(x-1)^{2}-x^{2}=0$ - $(x-1)^{2}-x^{2}=0$ 2 $=$ {\ $displaystyle (x-1)^{2}-x^{2$ }= $0$ 이 $(x-1)^{2}-x^{2}=0$ 됩니다.첫 번째 방정식의 $({$ y $^{$ $2})$ 는 $y^{2}$ 두 번째 방정식의 $({$ y $})$ 에서 $y^{2}$ 빼서 y $({displaystyle$ y $})$ 항을 $y$ 남기지 $않습니다$ . $변수$ y가 $y$ 제거되었습니다 $.$ 그런 다음x의 $나머지$ 방정식을 치환 방법과 같은 방법으로 해결합니다 $x$

x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1

-2x=-1

(\displaystyle x=1/2).}

그런 다음 이 x $({displaystyle$ x}) $x$ 을 $x$ 원래 방정식 중 하나에 배치하고 y $({displaystyle$ y $y$ 에 대해 해결합니다.

(1/2)^{2}+y^{2}=1

y^{2}=3/4

y=black\pm{rt {3}}{2}}

교차로에는 다음 두 지점이 있습니다.

\displaystyle \left(1/2,\frac {+{\flacrt {3}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\left(1/2,\frac {-{\fracrt {3}}{2}}\right).}

원뿔 단면의 경우 교차로에 최대 4개의 점이 있을 수 있습니다.

절편 검색

$널리$ 연구되고 있는 교차로 중 하나는 기하학적 물체와 $y$ 및 $y좌표축의$ 교차로이다.

기하학적 객체와 $y축$ 의 $y$ 교차점을 $y축$ 이라고 $y$ 합니다 $.$ 기하학적 객체와 $x축$ 의 $x$ 교차점을 x $(표시 스타일$ x $)$ $x$ 이라고 $x$ 합니다.

$y=mx+b$ $y=mx+b$ $y=mx+b$ x + $y=mx+b$ { $displaystyle$ y $=b$ 라인의 경우 파라미터 $b$ ${\$ $displaystyle$ b $}$ 는 $b$ $y$ 라인이 $y축$ 과 교차하는 지점을 지정합니다.컨텍스트에 따라b $또는$ $(0,b)$ 점 ( $0$ $)$ 중 $하나를$ $y$ - $절편$ 이라고 $y$ 합니다.

접선 및 표준

접선 및 평면

기하학에서 평면 원곡선에 대한 접선(또는 단순히 접선)은 해당 점에서 원곡선에 "접선"하는 직선입니다.비공식적으로, 이것은 곡선상의 무한히 가까운 한 쌍의 점을 통과하는 선입니다.보다 정확하게는 곡선상의 점(c, f(c))을 통과하고 f'가 f의 도함수인 기울기 f'(c)를 갖는 경우, 직선은 곡선상의 점 x = c에서의 곡선 y = f(x)의 접선이라고 한다.유사한 정의는 n차원 유클리드 공간의 공간 곡선과 곡선에 적용된다.

접선과 원곡선이 만나는 지점(접선점)을 통과할 때 접선은 원곡선과 "같은 방향으로 가고" 있으므로 해당 지점에서 원곡선에 대한 최선의 직선 근사치가 됩니다.

마찬가지로, 지정된 지점에서 지표면에 대한 접선 평면은 해당 지점에서 지표면에 "접촉"하는 평면입니다.접선 개념은 미분 기하학에서 가장 기본적인 개념 중 하나이며 광범위하게 일반화되었습니다. 접선 공간을 참조하십시오.

정규선 및 벡터

기하학에서 법선은 주어진 물체에 수직인 선이나 벡터와 같은 물체입니다.예를 들어, 2차원 경우, 주어진 점에서의 곡선에 대한 법선이란 점에서의 곡선에 대한 접선에 수직인 선입니다.

3차원 케이스에서 점 P의 표면에 대해 법선 또는 단순 법선인 표면은 P의 표면에 대한 접면에 수직인 벡터이다."정상"이라는 단어는 형용사로도 사용됩니다: 평면에 수직인 선, 힘의 수직 성분, 법선 벡터 등.정규성의 개념은 직교성으로 일반화됩니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Boyer, Carl B. (1991). "The Age of Plato and Aristotle". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 94–95. ISBN 0-471-54397-7. Menaechmus apparently derived these properties of the conic sections and others as well. Since this material has a strong resemblance to the use of coordinates, as illustrated above, it has sometimes been maintained that Menaechmus had analytic geometry. Such a judgment is warranted only in part, for certainly Menaechmus was unaware that any equation in two unknown quantities determines a curve. In fact, the general concept of an equation in unknown quantities was alien to Greek thought. It was shortcomings in algebraic notations that, more than anything else, operated against the Greek achievement of a full-fledged coordinate geometry.
^ Boyer, Carl B. (1991). "Apollonius of Perga". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 142. ISBN 0-471-54397-7. The Apollonian treatise On Determinate Section dealt with what might be called an analytic geometry of one dimension. It considered the following general problem, using the typical Greek algebraic analysis in geometric form: Given four points A, B, C, D on a straight line, determine a fifth point P on it such that the rectangle on AP and CP is in a given ratio to the rectangle on BP and DP. Here, too, the problem reduces easily to the solution of a quadratic; and, as in other cases, Apollonius treated the question exhaustively, including the limits of possibility and the number of solutions.
^ Boyer, Carl B. (1991). "Apollonius of Perga". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 156. ISBN 0-471-54397-7. The method of Apollonius in the Conics in many respects are so similar to the modern approach that his work sometimes is judged to be an analytic geometry anticipating that of Descartes by 1800 years. The application of references lines in general, and of a diameter and a tangent at its extremity in particular, is, of course, not essentially different from the use of a coordinate frame, whether rectangular or, more generally, oblique. Distances measured along the diameter from the point of tangency are the abscissas, and segments parallel to the tangent and intercepted between the axis and the curve are the ordinates. The Apollonian relationship between these abscissas and the corresponding ordinates are nothing more nor less than rhetorical forms of the equations of the curves. However, Greek geometric algebra did not provide for negative magnitudes; moreover, the coordinate system was in every case superimposed a posteriori upon a given curve in order to study its properties. There appear to be no cases in ancient geometry in which a coordinate frame of reference was laid down a priori for purposes of graphical representation of an equation or relationship, whether symbolically or rhetorically expressed. Of Greek geometry we may say that equations are determined by curves, but not that curves are determined by equations. Coordinates, variables, and equations were subsidiary notions derived from a specific geometric situation; [...] That Apollonius, the greatest geometer of antiquity, failed to develop analytic geometry, was probably the result of a poverty of curves rather than of thought. General methods are not necessary when problems concern always one of a limited number of particular cases.
^ ^a ^b Boyer (1991). "The Arabic Hegemony". A History of Mathematics. pp. 241–242. ISBN 9780471543978. Omar Khayyam (ca. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an Algebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the sixteenth century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved."
^ 글렌 M. 쿠퍼(2003년)."오마르 카이얌, 수학자", 미국 오리엔탈 학회지 123.
^ 수학 명작: 탐험가에 의한 추가 연대기, 페이지 92
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^ Boyer 2004, 74페이지
^ Cooke, Roger (1997). "The Calculus". The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. pp. 326. ISBN 0-471-18082-3. The person who is popularly credited with being the discoverer of analytic geometry was the philosopher René Descartes (1596–1650), one of the most influential thinkers of the modern era.
^ Boyer 2004, 페이지 82
^ ^a ^b Katz 1998, 442페이지
^ 캣츠 1998, 436페이지
^ 피에르 드 페르마, 바리아 오페라 매스매티카 d. 페트리 드 페르마, 톨로사니 상원의원 (프랑스 툴루스: 장 페흐, 1679), "Ad locos planos et solidos isage", 91-103페이지.
^ "Eloge de Mush de Fermat"(페르마 씨의 노래), 르 저널 데 스캐방스, 1665년 2월 9일 페이지 69-72.페이지의 주 70:"우네 도입 aux lieux,;solides, 데 problemes 계획 & qui.unanalytiqueconcernantla 해결책 traité, veu 드방 que M. 데 카르테스)publié 제공하는 'ce'sujet rien solides,avoit esté qui & 계획이다."부터 장소, 비행기와 고체에 대한 소개, 비행기와 단단한 그러나 문제의 해결책에 관한 근원이 되는 분석적 논문.ms, which는 des Cartes씨가 이 주제에 대해 무언가를 발표하기 전에 발견되었습니다.)
^ ^a ^b 스튜어트, 제임스(2008년).미적분: Early Transceptentals, 6ed, Brooks Cole Cengage Learning.ISBN 978-0-495-01166-8
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레퍼런스

책들

Boyer, Carl B. (2004) [1956], History of Analytic Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0486438320
Cajori, Florian (1999), A History of Mathematics, AMS, ISBN 978-0821821022
John Casey(1885) 점, 선, 원 및 원뿔 섹션의 해석 기하학, Internet Archive 링크.
Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd Ed.), Reading: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
Struik, D. J. (1969), A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard University Press, ISBN 978-0674823556

기사들

Bissell, Christopher C. (1987), "Cartesian geometry: The Dutch contribution", The Mathematical Intelligencer, 9 (4): 38–44, doi:10.1007/BF03023730
Boyer, Carl B. (1944), "Analytic Geometry: The Discovery of Fermat and Descartes", Mathematics Teacher, 37 (3): 99–105, doi:10.5951/MT.37.3.0099
Boyer, Carl B. (1965), "Johann Hudde and space coordinates", Mathematics Teacher, 58 (1): 33–36, doi:10.5951/MT.58.1.0033
Coolidge, J. L. (1948), "The Beginnings of Analytic Geometry in Three Dimensions", American Mathematical Monthly, 55 (2): 76–86, doi:10.2307/2305740, JSTOR 2305740
Pecl, J., Newton and analytic geometry

외부 링크

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[1] Boyer, Carl B. (1991). "The Age of Plato and Aristotle". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 94–95. ISBN 0-471-54397-7. Menaechmus apparently derived these properties of the conic sections and others as well. Since this material has a strong resemblance to the use of coordinates, as illustrated above, it has sometimes been maintained that Menaechmus had analytic geometry. Such a judgment is warranted only in part, for certainly Menaechmus was unaware that any equation in two unknown quantities determines a curve. In fact, the general concept of an equation in unknown quantities was alien to Greek thought. It was shortcomings in algebraic notations that, more than anything else, operated against the Greek achievement of a full-fledged coordinate geometry.

[2] Boyer, Carl B. (1991). "Apollonius of Perga". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 142. ISBN 0-471-54397-7. The Apollonian treatise On Determinate Section dealt with what might be called an analytic geometry of one dimension. It considered the following general problem, using the typical Greek algebraic analysis in geometric form: Given four points A, B, C, D on a straight line, determine a fifth point P on it such that the rectangle on AP and CP is in a given ratio to the rectangle on BP and DP. Here, too, the problem reduces easily to the solution of a quadratic; and, as in other cases, Apollonius treated the question exhaustively, including the limits of possibility and the number of solutions.

[3] Boyer, Carl B. (1991). "Apollonius of Perga". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 156. ISBN 0-471-54397-7. The method of Apollonius in the Conics in many respects are so similar to the modern approach that his work sometimes is judged to be an analytic geometry anticipating that of Descartes by 1800 years. The application of references lines in general, and of a diameter and a tangent at its extremity in particular, is, of course, not essentially different from the use of a coordinate frame, whether rectangular or, more generally, oblique. Distances measured along the diameter from the point of tangency are the abscissas, and segments parallel to the tangent and intercepted between the axis and the curve are the ordinates. The Apollonian relationship between these abscissas and the corresponding ordinates are nothing more nor less than rhetorical forms of the equations of the curves. However, Greek geometric algebra did not provide for negative magnitudes; moreover, the coordinate system was in every case superimposed a posteriori upon a given curve in order to study its properties. There appear to be no cases in ancient geometry in which a coordinate frame of reference was laid down a priori for purposes of graphical representation of an equation or relationship, whether symbolically or rhetorically expressed. Of Greek geometry we may say that equations are determined by curves, but not that curves are determined by equations. Coordinates, variables, and equations were subsidiary notions derived from a specific geometric situation; [...] That Apollonius, the greatest geometer of antiquity, failed to develop analytic geometry, was probably the result of a poverty of curves rather than of thought. General methods are not necessary when problems concern always one of a limited number of particular cases.

[Boyer_Omar_Khayyam_positive_roots-4] Boyer (1991). "The Arabic Hegemony". A History of Mathematics. pp. 241–242. ISBN 9780471543978. Omar Khayyam (ca. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an Algebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the sixteenth century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved."

[5] 글렌 M. 쿠퍼(2003년)."오마르 카이얌, 수학자", 미국 오리엔탈 학회지 123.

[6] 수학 명작: 탐험가에 의한 추가 연대기, 페이지 92

[Cooper-7] 쿠퍼, G. (2003)미국 동양학회지, 123(1), 248-249.

[8] Stillwell, John (2004). "Analytic Geometry". Mathematics and its History (Second ed.). Springer Science + Business Media Inc. p. 105. ISBN 0-387-95336-1. the two founders of analytic geometry, Fermat and Descartes, were both strongly influenced by these developments.

[9] Boyer 2004, 74페이지

[10] Cooke, Roger (1997). "The Calculus". The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. pp. 326. ISBN 0-471-18082-3. The person who is popularly credited with being the discoverer of analytic geometry was the philosopher René Descartes (1596–1650), one of the most influential thinkers of the modern era.

[11] Boyer 2004, 페이지 82

[Katz_1998_loc=pg._442-12] Katz 1998, 442페이지

[13] 캣츠 1998, 436페이지

[14] 피에르 드 페르마, 바리아 오페라 매스매티카 d. 페트리 드 페르마, 톨로사니 상원의원 (프랑스 툴루스: 장 페흐, 1679), "Ad locos planos et solidos isage", 91-103페이지.

[15] "Eloge de Mush de Fermat"(페르마 씨의 노래), 르 저널 데 스캐방스, 1665년 2월 9일 페이지 69-72.페이지의 주 70:"우네 도입 aux lieux,;solides, 데 problemes 계획 & qui.unanalytiqueconcernantla 해결책 traité, veu 드방 que M. 데 카르테스)publié 제공하는 'ce'sujet rien solides,avoit esté qui & 계획이다."부터 장소, 비행기와 고체에 대한 소개, 비행기와 단단한 그러나 문제의 해결책에 관한 근원이 되는 분석적 논문.ms, which는 des Cartes씨가 이 주제에 대해 무언가를 발표하기 전에 발견되었습니다.)

[stewart-16] 스튜어트, 제임스(2008년).미적분: Early Transceptentals, 6ed, Brooks Cole Cengage Learning.ISBN 978-0-495-01166-8

[intro-17] 퍼시 프랭클린 스미스, 아서 설리번 게일(1905)해석기하학개론, Athaeneum Press

[18] William H. McCrea, 3차원 Courier Dover 출판물의 해석 기하학, 2012년 1월 27일

[Weisstein2009-19] Weisstein, Eric W. (2009), "Plane", MathWorld--A Wolfram Web Resource, retrieved 2009-08-08

[20] 섹션 3.2Fanchi, John R. (2006), Math refresher for scientists and engineers, John Wiley and Sons, pp. 44–45, ISBN 0-471-75715-2, 45페이지

[geom-21] Silvio Levy Quadrics "Geometry Facts" (미네소타 대학 기하학 센터의 CRC 표준 수학표 및 공식 30판)에서 발췌한 "Geometry Formatures and Facts" (기하학 공식 및 사실)

[Spiegel2009-22] M.R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines) (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

[23] 이 설명은 xy 평면으로 한정되지만 더 높은 차원으로 쉽게 확장할 수 있습니다.

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v t 수학
역사 타임라인 개요 리스트 용어집
기초	범주론 정보 이론 수리논리 수학 철학 집합론 유형 이론
대수학	추상적인 가환성 초등 군론 선형 멀티라인 유니버설 호몰로지
분석.	미적분학. 실제 분석 복잡한 분석 초복잡한 분석 미분 방정식 기능 분석 고조파 분석 측정 이론
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기하학.	대수적 분석 산술 차동 디스크리트 유클리드 유한
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