아핀 공간

수학에서, 아핀 공간은 유클리드 공간의 특성 중 일부를 일반화하는 기하학적 구조이며, 이것들은 거리와 각도 측정의 개념으로부터 독립적이며, 평행 선분의 길이 비율과 관련된 특성만을 유지한다.

아핀 공간에는 원점이 되는 구별점이 없습니다.따라서 어떤 벡터도 고정된 원점을 가지며 어떤 벡터도 한 점에 고유하게 연관지을 수 없다.아핀 공간에서, 대신 공간의 두 점 사이에 변환 벡터 또는 단순 변환 벡터라고도 불리는 ^[1]변위 벡터가 있습니다.따라서 공간의 두 점을 빼서 변환 벡터를 제공하는 것은 의미가 있지만 공간의 두 점을 더하는 것은 의미가 없습니다.마찬가지로 아핀 공간의 점에 변위 벡터를 더하면 해당 벡터에 의해 시작점에서 변환된 새로운 점이 생성됩니다.

어떤 벡터 공간도 아핀 공간으로 볼 수 있는데, 이는 제로 벡터가 수행하는 특별한 역할을 잊어버리는 것과 같습니다.이 경우 벡터 공간의 요소는 아핀 공간의 점 또는 변위 벡터 또는 변환으로 볼 수 있다.점으로 간주될 때, 영 벡터는 원점이라고 불립니다.벡터 공간의 선형 부분 공간의 요소에 고정 벡터를 추가하면 아핀 부분 공간이 생성된다.흔히 말하는 이 아핀 부분공간은 변환 벡터에 의해 선형 부분공간을 변환(원점으로부터 멀리)함으로써 얻어졌다고 한다.유한 차원에서는 이러한 아핀 부분 공간은 불균일한 선형 시스템의 솔루션 세트이다.해당 아핀 공간에 대한 변위 벡터는 선형 부분 공간인 해당 균질 선형 시스템의 해입니다.반면 선형 하위 공간에는 항상 벡터 공간의 원점이 포함됩니다.

아핀 공간의 차원은 변환의 벡터 공간의 차원으로 정의됩니다.차원 1의 아핀 공간은 아핀선이다.치수 2의 아핀 공간은 아핀 평면이다.아핀 공간 또는 차원 n의 벡터 공간에서의 차원 n – 1의 아핀 부분 공간은 아핀 초평면이다.

비공식적인 설명

다음의 특성은 일반적인 공식 정의보다 이해하기 더 쉽다: 아핀 공간은 어떤 점이 원점인지 잊어버린 후에 벡터 공간에 남는 것이다(또는 프랑스 수학자 마르셀 베르제의 말에 따르면, "아핀 공간은 우리가 기원을 잊으려고 하는 벡터 공간에 지나지 않는다, 덧셈에 의해.변환을 리니어 맵에 적용").^[2]앨리스가 특정 점이 실제 원점임을 알고 있지만 Bob은 다른 점(p라고 함)이 원점이라고 믿고 있다고 가정합니다.2개의 벡터 a와 b를 더한다.밥은 p점에서 a점으로 화살표를 그리고 p점에서 b점으로 다른 화살표를 그리고, 밥이 생각하는 a+b를 찾기 위해 평행사변형을 완성하지만, 앨리스는 그가 실제로 계산했다는 것을 안다.

p + (a - p) + (b - p)

마찬가지로 Alice와 Bob은 a와 b의 선형 조합 또는 유한 벡터 집합을 평가할 수 있으며 일반적으로 다른 답을 얻을 수 있습니다.그러나 선형 조합의 계수 합계가 1이면 Alice와 Bob은 동일한 답에 도달합니다.

앨리스가 다음 장소로 이동하는 경우

a + (1 - µ)b

그러면 밥은 비슷하게 로 여행할 수 있다.

p + λ(a - p) + (1 - λ)(b - p) = λa + (1 - λ)b.

이 조건에서 모든 계수 θ + (1 - θ) = 1에 대해 Alice와 Bob은 서로 다른 원점을 사용함에도 불구하고 동일한 선형 조합을 사용하여 동일한 점을 설명합니다.

앨리스만이 "선형 구조"를 아는 반면, 앨리스와 밥은 둘 다 "아핀 구조" 즉, 계수의 합이 1인 선형 조합으로 정의되는 아핀 조합의 값을 알고 있습니다.아핀 구조를 가진 세트는 아핀 공간이다.

정의.

아핀 공간은 벡터 $공간{\displaystyle \stackrel{}{}}$ A $→$ {\$displaystyle {A$과(와) 세트 A ^[3]$→$ {\$display$ style ${A}}$의 가법군의 전이 자유 동작과 함께 세트 A이다.아핀 공간 A의 요소를 점이라고 합니다.벡터 $공간{\displaystyle \stackrel{}{}}$ A $→$ {\style {\$display\overrightarrow$ {$A}}}$은 아핀 공간과 관련되며, 그 요소를 벡터, 변환 또는 자유 벡터라고 합니다.

명시적으로 위의 정의는 액션이 매핑이며 일반적으로 덧셈으로 표시됨을 의미합니다.

$디스플레이 스타일A\times(오른쪽 화살표 {A}&\to A\(a,v)\map to a+v,\end {aligned})$

다음과 같은 ^[4][5][6]속성을 가지고 있습니다.

1. 올바른 아이덴티티:

   ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$、 ${\displaystyle \mathrm{a}}$ + 0$=$ $a$ \$displaystyle$ \ $forall a$, \ $in$ A , \ ; $a$+ 0$→$a } ${\displaystyle \mathrm{。}}$여기서 0은 A$→$ \ displaystyle \$overrightarrow$ {$A}$ }의 제로 $벡터$입니다.

2. 연관성:

   ${\displaystyle vv}$ , w${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ A${\displaystyle \stackrel{}{}\to }$ ,${\displaystyle \mathrm{}a}$ a${\displaystyle }$、${\displaystyle }$( ${\displaystyle a}$+${\displaystyle v}$ ) + w${\displaystyle }$$=$${\displaystyle a}$ +${\displaystyle }$( $v$+$$w ) {$displaystyle$ \$forall v,w\in$ {A$},\forall a,\in$ A$,\;(a+v$)+$$$w$} (여기서 마지막 디스플레이는 $추가$ 형식입니다${\displaystyle \stackrel{}{.}}$

3. 자유 및 이행 액션:

   $모든{\displaystyle }$ $(\displaystyle$ a$\in$ A$)$에 대해 A$$ ${\displaystyle A}$: v${\displaystyle }$+$(\displaystyle$ {$A})$+ ${\displaystyle v}$(\displaystyle {A})에$대한$ $매핑$은 A\colon$v\mapto$ a$+v$}입니다.

처음 두 속성은 단순히 (오른쪽) 그룹 작업의 속성을 정의하는 것입니다.세 번째 속성은 자유롭고 과도적인 행동을 특징짓습니다.는 이동성으로부터 온 캐릭터로 이어지며, 그 후 주입적인 캐릭터는 자유로운 행동에서 따라옵니다.위의 1, 2에서 이어지는 네 번째 속성이 있습니다.

4. 일대일 번역의 존재

$모든{\displaystyle }$ v${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ A $→$ {{$displaystyle$ v$\$$in$ ${A$에 대해 A ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle A}$:${\displaystyle a}$ + ${\displaystyle v}${\$display A\colon$a$\map to$ a+v$}$ $매핑$은 bijection입니다.

속성 3은 다음과 같은 형식으로 자주 사용됩니다.

5. 감산:

A의 모든 a, b에 대해 b ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle a}$+$$v \ $displaystyle$ b $=$$$a ( b – a$$) ( b - a ) ( b = + v \ $displaystyle$ b =$a$ +$v$ $))$라는 $고유$한 v ${\displaystyle a\stackrel{}{}}$ A $→$ { \ $displaystyle$ v = a + v }

정의를 표현하는 또 다른 방법은 아핀 공간이 벡터 공간의 가법군의 작용을 위한 주요 균질 공간이라는 것이다.균질 공간은 정의상 전이군 작용이 부여되며, 주요 균질 공간에서는 이러한 전이 작용이 정의상 자유롭다.

뺄셈과 바일의 공리

그룹 동작의 속성은 A에서 주어진 순서의 포인트 쌍(b, a)에 대해 감산을 정의할 수 있으며, A $→$ {\$displaystyle {A$의 벡터를 생성합니다. 이 벡터는 b${\displaystyle }$- \$displaystyle b-a}$ $또는$ ${\displaystyle \stackrel{}{b}}$ $→$ {\$displaystyle {\overright$arrow {$ab$로 $정의$됩니다.A$→(\$ arrow {$A})$의 ector는 다음과 같습니다.

${\displaystyle a+(b-a)=b.}$

존재는 행동의 과도성에서 비롯되고, 그 행동이 자유롭기 때문에 고유성이 뒤따른다.

이 감산에는 와일 ^[7]공리라고 불리는 다음 두 가지 특성이 있습니다.

1. ${\displaystyle a}$ a${\displaystyle 、\mathrm{}}$ } ${\displaystyle v\stackrel{}{}}$} $A$ ${\displaystyle$ \$forall v\in$ A$,\forall v\$$in$ A$}$ {\$overrightarrow${$A$$\}\}$에는 ${\displaystyle b}$${\displaystyle }$- a$v$ .\$displaystyle b-a=$v${\displaystyle \}}$라는 $고유점$이 있습니다${\displaystyle \mathrm{.}}$
2. $(\displaystyle\forall a,b,c\in A,\;(c-b)+(b-a)=c-a)$

유클리드 기하학에서, 두 번째 바일의 공리는 보통 평행사변형 법칙이라고 불립니다.

아핀 공간은 벡터 $공간{\displaystyle \stackrel{}{}}$ A $→$ {\$displaystyle {A}}$및 Weyl의 공리를 만족시키는 뺄셈과 함께 점 집합 A로 동등하게 정의할 수 있습니다.이 경우, 벡터의 점에 대한 덧셈은 첫 번째 바일의 공리에서 정의된다.

아핀 부분공간 및 평행도

아핀 공간 A의 아핀 부분 공간(일부 문맥에서 선형 다양체, 평면 또는 실수에 대한 선형 다양체라고도 함) B는 A의 부분 집합이며, 점 $a{\displaystyle }$ {\$style$$a\in$ B$\}$가 주어지면 벡터 $집합{\displaystyle \stackrel{}{}}$ B$$${\displaystyle \to }$ {${\displaystyle b}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle a}$ -${\displaystyle \mathrm{display}}$B $display$ B$}$이다${\displaystyle .}$ A $→$ {\$displaystyle {A$의 $부분{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 공간. a의 선택에 의존하지 않는 이 속성은 B가 아핀 공간임을 의미하며, B $→$ {\$displaystyle {B}}$을(를) 관련 벡터 공간으로 사용합니다.

A의 아핀 서브스페이스는 형식의 A의 서브셋입니다.

$({displaystyle a+V=\{a+w:w\in V\})$

여기서 a는 A의 점이고 V는 A $→$ {{$displaystyle {A$의 선형 부분 공간입니다.

아핀 부분공간과 연관된 선형 부분공간은 종종 그 방향이라고 불리며, 같은 방향을 공유하는 두 개의 부분공간은 평행하다고 불립니다.

이는 Playfair의 공리를 다음과 같이 일반화하는 것을 의미합니다.방향 V가 주어졌을 때, A의 임의의 점 a에 대해 방향 V의 아핀 부분 공간 a + V를 통과하는 아핀 부분 공간이 하나뿐입니다.

모든 $변환{\displaystyle }$ A ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle A}$:${\displaystyle a}$+ v$${\$displaystyle$ A$\to$ A$:a\mapsto$ a$+v}$는 아핀 부분 공간을 평행 부분 공간에 매핑합니다.

평행이라는 용어는 두 개의 아핀 부분 공간에 대해서도 사용되며, 한 개의 방향이 다른 쪽 방향으로 포함됩니다.

아핀 지도

A $→$ {$displaystyle {A}}$ 및$$ $B{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $→$ {\$displaystyle {B$인 두 개의 아핀 공간 A 및 B가 주어졌을 때, A에서 B로의 아핀 맵 또는 아핀 동형사상은 지도이다.

${\displaystyle f:A/to B}$

그렇게 해서

${\displaystyle {\begin{aligned}:\overright 화살표 {A}에\overright 화살표 {B}\b-a&\mapsto f(b)-f(a)\end{aligned}}}$

잘 정의된 선형 맵입니다.$f{\displaystyle }${\$displaystyle$ f$}$는 b – a = d – c가 f(b) – f(a) = f(d) – f(c)를 의미한다는 것을 의미합니다.

${\displaystyle 즉,}$ A$(\displaystyle$ a$\in$ A$)$ 및$$ $벡터{\displaystyle }$ v$displaystyle$ v$\in {A$에 대해 다음과 같이 됩니다.

${\displaystyle f(a+v)=f(a)+{\overright 화살표 {f}}(v).}$

따라서 A의 임의의 b에 대해 b = a + v는 하나의 v에 대해 f는 단일 점에서의 값과 관련된 선형 $맵{\displaystyle \stackrel{}{}}$ f $→$ {\$displaystyle${\$overrightarrow {f$에 의해 완전히 정의됩니다.

내형사상

아핀 $공간{\displaystyle }$ A$(\$displaystyle $A)$의 아핀 변환 또는 내형성은 해당 공간에서 그 자체로 가는 아핀 맵입니다.하나의 중요한 $예$는 변환입니다. 벡터 v $→$ {\$displaystyle${\$overright$ 화살표 {v$\}\},$ ${\displaystyle \mathrm{변환}}$ 맵 ${\displaystyle {T\stackrel{}{}}_{}}$ v ${\displaystyle {\to }_{}}$ : A$$ ${\displaystyle A}$ {\$displaystyle T_{\overright$ 화살표 ${v}}}:$$A$$\displaystyle$A의$$$모든$$$\$displaystyle$ a$\$$displaystyle$ a$\mapto$ a$+{\overright$ 화살표 ${v}}$를 전송하는 오른쪽 화살표$A는$$$아핀 맵입니다.또 하나의 중요한 예로는 원점을 중심으로 한 선형 맵이 있습니다.$포인트{\displaystyle }$b(\$displaystyle$ b$)$와 선형 맵$$$M{\displaystyle {}_{}}$(\$displaystyle$ M${\displaystyle {)<img\; alt="M"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:2.442ex;\; height:2.176ex;">}_{}}$이 지정되면 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \to }$ $(\displaystyle L_{M,b}):$$A$\오른쪽 $화살표$ A$}$ 기준$$

$A$의$$$A$에 대해서요$.$

$원점 b$를$$선택한 후 임의의 아핀 맵을 변환과$b를$으로 한 선형 맵의 조합으로 고유하게 작성할 수 있습니다$.$

벡터 공간(아핀 공간)

모든 벡터 공간 V는 그 위에 있는 아핀 공간으로 간주해도 좋다.이것은 V의 모든 원소가 점이나 벡터로 간주될 수 있다는 것을 의미한다.이 아핀 공간은 때때로 V 요소의 이중 역할을 강조하기 위해 (V, V)로 표시되기도 합니다.0 벡터는 점으로 간주될 때 일반적으로 o(또는 점의 경우 대문자 사용 시 O)로 표시되며 원점이라고 합니다.

A가 동일한 벡터 공간($즉{\displaystyle }$, V ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle A\stackrel{}{}}$ $→$ {\$displaystyle$ V → {$A$ 위에 있는 또 다른 아핀 공간인 경우, A의 점 A를 선택하면 V의 동일성이고 a를 o에 매핑하는 고유한 아핀 동형이 정의됩니다.즉, A에서 원점 a를 선택하면 A와 (V, V)를 표준 동형사상으로 식별할 수 있다.이 성질의 반대 부분은 아핀 공간 A가 "원점 위치가 잊혀진" 벡터 공간 V와 동일시될 수 있다는 것이다.

유클리드 공간과의 관계

유클리드 공간의 정의

유클리드 공간(초급 기하학에서 일반적으로 연구되는 1차원 선, 2차원 평면, 3차원 공간 포함)은 아핀 공간이다.

실제로, 대부분의 현대 정의에서, 유클리드 공간은 아핀 공간으로 정의되며, 따라서 연관된 벡터 공간은 유한 차원의 실제 내부 곱 공간, 즉 정의-확정 2차 형식 q(x)를 가진 실재 위의 벡터 공간이다.두 벡터 x와 y의 내부 곱은 대칭 쌍선형 형태의 값이다.

$({displaystyle x\cdot y=sqfrac {1}{2}})(q(x+y)-q(x)-q(y)}).$

두 점 A와 B 사이의 일반적인 유클리드 거리는 다음과 같다.

${\displaystyle d(A,B)=sqrt {q(B-A)}}.}$

합성기하학을 통한 유클리드 공간의 오래된 정의에서 벡터는 등가하 점의 순서쌍의 동등성 클래스로 정의된다(이 순서로 점 A, B, D, C가 평행사변형을 형성하는 경우 쌍(A, B)과 (C, D)은 등가하이다).벡터가 벡터 공간을 형성하고, 유클리드 거리의 제곱이 벡터 공간의 2차 형식이며, 유클리드 공간의 두 정의가 동등하다는 것을 확인하는 것은 간단하다.

아핀 속성

유클리드 기하학에서, "아핀 특성"은 아핀 공간에서 증명될 수 있는 특성, 즉 2차 형식과 그 관련 내적을 사용하지 않고도 증명될 수 있는 성질을 가리킨다.즉, 아핀 속성은 길이와 각도를 포함하지 않는 속성이다.대표적인 예로는 병렬화 및 접선의 정의가 있습니다.비예시는 노멀의 정의입니다.

마찬가지로, 아핀 특성은 유클리드 공간의 아핀 변환 하에서 불변하는 특성이다.

아핀 조합과 바리센터

a₁, ...는_n 아핀 공간에 있는n개의 포인트의 집합이며, "${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\dots ",}$ "$\$ _${1$},\$dots,\lambda$ _${n}"$은 그라운드필드의 n개의 요소입니다.

that ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle +}$ + ${\displaystyle {nn}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ \ $displaystyle$\$displayda$_ {1$}$ + \$displaysda$_ { n } =$0$for 、 and points points points2개의 포인트 o에 대하여

$\displaystyle \displaystyle _{1}{\overrightarrow {oa_{n}}+\displaystyle \overrightarrow {oa_{n}}}=\displayda _{n}{\overrightarrow {o}}}}=\displaystyle +\da _{\displaystypa _ {oa _ {o} {o}}} {\disterrightarrow} {oa _{n} {o}}}}}}}}} {\}$

따라서 이 합계는 원점의 선택과 독립적이며, 결과 벡터는 다음과 같이 표시될 수 있다.

$\displaystyle \displaystyle _{1}a_{1}+\displayda _{n}a_{n}.}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle =2}$ , ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}_{}}$1 , ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle =}$ -$$ { $displaystyle$ n =$$2$,$ \ $displayda$_ {1} =$$1$,$ \ $displayda$_ {2} =-1$\}$이면 감점 정의를 가져옵니다.

대신 필드 요소가 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$1 +${\displaystyle }$+ + ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ $=$ 1 { displaystyle \ $displayda$_ { } + \ $displayda$_ { n }$$$= 1$ 을 만족한다고 가정합니다.원점 o 를 선택할 경우 g$${ $displaystyle$ g$}$ 로$$ $다음$과 같은 고유한 점을 나타냅니다.

${\displaystyle \displaystyle _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}+\displayda _{n}}{\overrightarrow {og}}=displaystyle \overrightarrow {og}}}.}$

$g(\displaystyle$ g$)$가 o의 선택에서 독립적이라는 $것$을 보여줄 수 있다.따라서 만약

$\displaystyle \displayda _{1}+\displayda _{n}=1,}$

쓸 수 있다

${\displaystyle g=\displayda_{1}+\displayda_{n}a_{n}.}$

g$(\displaystyle$ g$)$는 무게 ${\displaystyle i_{}}$i(\$displaystyle \lambda_{i$에 대해 $(\$displaystyle $a_$${$$i$})의 중심이라고 합니다.또, g$(\displaystyle$ g$)$는 $(\$$a_{$$i$와 $계수$의 아핀 조합이라고 $합니다{\displaystyle }$.

예

• 4 + 3 또는 4 - 2와 같은 합에 대한 답을 숫자 선에서 오른쪽 또는 왼쪽으로 세어 찾을 때, 그들은 숫자 선을 1차원 아핀 공간으로 간주합니다.
• 에너지의 공간은 R$\$에게 아핀 공간입니다. 왜냐하면 절대 에너지에 대해 설명하는 것은 의미가 없지만 에너지 차이에 대해 설명하는 것은 의미가 있기 때문입니다.진공 에너지가 정의될 때 표준 기원을 선택합니다.
• 물리적 공간은 비상대론적 환경에서는 R $(\$^{$3})$ 및$$ $상대론적{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 환경에서는 R${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$, $(\$^{$1,3})$의 아핀 공간으로 모델링되는 경우가 많다.벡터 공간과 구별하기 위해 이들을 유클리드 $공간{\displaystyle }$ E${\displaystyle }$( $3$) \${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$$\ text$ { $E$} （ $3$） $e$ e E (${\displaystyle 1}$,$$3 ) \ $displaystyle$ \$text$ { $E$}$$$（$ 1$$, 3 ）라고 부르기도 합니다.
• 벡터 공간의 부분 공간 V의 코셋은, 그 부분 공간상의 아핀 공간이다.
• T가 행렬이고 b가 열 공간에 있으면, 방정식 Tx = b의 솔루션 집합은 Tx = 0의 부분 공간에 걸친 아핀 공간이다.
• 비균질 선형 미분 방정식의 해는 대응하는 균질 선형 방정식의 해 위에 아핀 공간을 형성합니다.
• 위의 모든 것을 일반화하면, 만약 T : V → W가 선형 매핑이고 y가 그 이미지에 있다면, 방정식 Tx = y에 대한 솔루션 x δ V의 집합은 T의 커널의 코세트이며, 따라서 Ker T 위의 아핀 공간이다.
• 벡터 공간 W에서 벡터 부분 공간 V의 (선형) 보완 부분 공간 공간은 Hom(W/V, V) 위에 있는 아핀 공간이다.즉, 0 → V → W → X → 0이 벡터 공간의 짧은 연속이라면, 정확한 순서의 모든 분할 공간은 자연스럽게 Hom(X, V) 위에 아핀 공간의 구조를 운반한다.
• 연결 공간(벡터 $번들{\displaystyle }$ E ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ $m$M { $displaystyle{\displaystyle }$ E$\xrightarrow${pi }$M$（ 여기서$$M { $display style$ M$}$은 매끄러운 매니폴드))은 End$)$\ $display$ { $End}(E)$ \ text {End$}(E$)}의$$ ${\displaystyle \text{벡터}}$ 공간에 대한 아핀 공간입니다.연결 공간($주번들{\displaystyle }$ P ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$M {\$displaystyle$ P$\xrightarrow${pi }$M$ )은 ad${\displaystyle }$(${\displaystyle }$${\displaystyle P}$ )$$\ $display$style \$text$ ${ad$$}$ ( $P$) - value 1-forms ( P ) -${\displaystyle }$${\displaystyle \text{ad}}$ ( ${\displaystyle \text{P}}$) - style (${\displaystyle }$\ $display$ style \ text { ad } ($P$ ) ） {\ bundle ) spaceointatedated$$,,,atedatedointointoint ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad ad of of ad ad ad ad의 벡터 공간의 아핀 공간입니다.

아핀 스판 및 베이스

아핀 공간 A의 서브셋 X에 대해 이를 포함하는 가장 작은 아핀 부분 공간이 있으며 이를 X의 아핀 스팬이라고 합니다.X를 포함하는 모든 아핀 부분공간의 교차점이며, 그 방향은 X를 포함하는 아핀 부분공간의 방향의 교차점입니다.

X의 아핀 스팬은 X의 점의 모든 (유한) 아핀 조합의 집합이며, 그 방향은 X의 x와 y에 대한 x - y의 선형 스팬이다.특정 점₀ x를 선택하면 X의 아핀 스팬 방향도 X의 x – x의₀ 선형 스팬이 됩니다.

또한 X의 아핀 스팬은 X에 의해 생성되며 X는 그 아핀 스팬의 생성 세트라고 한다.

아핀 공간의 점 집합 X는 X의 엄밀한 부분집합이 X의 엄밀한 부분집합일 경우 아핀 독립적이거나 단순하게 독립적이라고 할 수 있다.아핀 공간의 아핀 베이스 또는 중심 프레임(아래의 § 중심 좌표 참조)은 독립적(최소 생성 세트)인 생성 세트이다.

아핀 공간의 차원은 연관된 벡터 공간의 차원임을 기억하십시오.유한 차원 n의 아핀 공간의 베이스는 n + 1 요소의 독립 부분 집합 또는 그에 상응하는 n + 1 요소의 생성 부분 집합이다.마찬가지로₀₁, {x_n0, ..., x}는 {x - x, ..., x_n - x₀}가 연관된 벡터 공간의 선형 기저인 경우에만 아핀 기저이다.

좌표

아핀 공간에서 정의할 수 있는 두 가지 강력한 좌표계 종류가 있습니다.

중심 좌표

A를 필드 k 위의 치수 n의 아핀 공간$,{\displaystyle }$ { ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$0 , ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $}$ { $displaystyle$\ {$x$_ { 0 , \ $dots$, x$_$ { $n$}\}을$$ A의 아핀 기저로 합니다.아핀 베이스의 속성은 A의 모든 x에 대해 다음과 같은 k 요소의 고유한 (n + 1)-tuple $({\displaystyle }$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$0 , ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle n_{}}$n$$){ $displaystyle$( \ $lambda$_ { $0$, \ $dots$, \ $lambda$_ { $n$} )이$$ 있음을 의미합니다.

$\displaystyle \displayda _{0}+\displayda _{n}=1}$

그리고.

${\displaystyle x=\displayda _{0}x_{0}+\displayda _{n}x_{n}.}$

만약 자이는 추를 자이의 요점은 cm는 이에 따라 barycenter, thi 나는}{\displaystyle \lambda_{나는}λ(또는 대중)다 몸으로 풀이된다 나는{\displaystyle \lambda_{나는}그 λ}은 아핀 기준{x0,…,)n}{\displaystyle\와 같이{x_{0},\dots ,x_{n}\에}}. x의 무게 중심 좌표라고 불린다.s에 중심좌표라는 용어의 유래를 나타냅니다.

중심 좌표는 아핀 공간 A와 아핀 부분^{n + 1} 공간 k 사이의 아핀 동형성을 정의한다. 식 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$0 +${\displaystyle +}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ \ $displaystyle$ \$dispenda$_ { $0$} + \ $dispenda$_ { n } =$1$。

무한 차원의 아핀 공간에 대해서는 유한합만을 사용하여 동일한 정의가 적용됩니다.즉, 각 점에 대해 유한한 수의 좌표만 0이 아님을 의미합니다.

아핀 좌표

아핀 공간의 아핀 프레임은 원점이라고 불리는 점과 연관된 벡터 공간의 선형 기저로 구성됩니다.좀 더 정밀하게, 아핀 공간에서 관련 벡터 공간을 가진 →{\displaystyle{\overrightarrow{A}}}, 발신지시 A까지이고 A→{\displaystyle{\overrightarrow{A}의 선형 기초 기본이고(v1,..., vn)}}(기호의 심플함을, 우리는 유한 차원의 사건과 일반적인 경우 i.이다s유사)

A의 각 포인트p에는 다음과 같은 그라운드필드 요소의 고유 ${\displaystyle {시퀀스1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle n_{}}$\ $displaystyle \lambda$_ {$1}$ , \ $dots$, \ $lambda$_ {$n}$ 이$$ 존재합니다.

${\displaystyle p=o+\displayda _{1}+\displayda _{n}v_{n}}$

또는 동등하게

${\displaystyle {op}}=\displayda _{1}v_{1}+\displayda _{n}v_{n}.}$

$(\displaystyle\lambda_{$i$$})는 아핀 프레임(o₁, v, ..., v_n) 위의 p의 아핀 좌표라고 불립니다.

예:유클리드 기하학에서 데카르트 좌표는 직교 정규 프레임에 상대적인 아핀 좌표이며, 이는 (v₁₁, ..., v_nn)가 직교 정규 기준인 아핀 프레임이다.

중심 좌표와 아핀 좌표 사이의 관계

중심 좌표와 아핀 좌표는 강하게 관련되어 있으며 동등하다고 간주할 수 있다.

사실, 중심적인 골격은

${\displaystyle(x_{0},\display,x_{n}),}$

아핀 프레임을 즉시 추론하다

$({displaystyle(x_{0}x_{1}},\overright 화살표, {\overright 화살표 {x_{0}x_{n}}})=\left(x_{0}-x_{0},\display,x_{0}-x_{0},\right})$

그리고 만약

$\displaystyle \left(\displayda _{0},\displayda _{1},\displayda _{n}\right)}$

중심 프레임 위의 점의 중심 좌표이며, 아핀 프레임 위의 같은 점의 아핀 좌표는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left(\displayda _{1},\displayda _{n}\오른쪽).}$

반대로 만약

$\displaystyle \left(o,v_{1},\display,v_{n}\right)}$

그럼 아핀 프레임입니다.

$\displaystyle \left(o,o+v_{1},\display,o+v_{n}\right)}$

중심 프레임입니다.한다면

$\displaystyle \left(\displayda _{1},\displayda _{n}\오른쪽)}$

아핀 프레임 위의 점의 아핀 좌표이며, 그 다음 중심 프레임 위의 중심 좌표는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \left(1-\displayda _{1}-\displayda -\displayda _{n},\displayda _{1},\displaystyle _{n}\오른쪽).}$

따라서 중심 좌표와 아핀 좌표는 거의 동일합니다.대부분의 응용 프로그램에서는 독립적인 좌표를 적게 포함하므로 아핀 좌표가 선호됩니다.그러나, 연구된 문제의 중요한 포인트가 친화적으로 독립적인 상황에서, 중심 좌표는 다음 예시와 같이 더 단순한 연산으로 이어질 수 있다.

삼각형의 예

평탄하지 않은 삼각형의 꼭지점은 유클리드 평면의 아핀 기저를 형성한다.중심 좌표를 사용하면 각도나 거리를 포함하지 않는 삼각형의 요소를 쉽게 특성화할 수 있습니다.

정점은 중심 좌표(1, 0, 0), (0, 1, 0) 및 (0, 0, 0, 1)의 지점입니다.모서리를 지지하는 선은 좌표가 0인 점입니다.모서리 자체는 0좌표와 두 개의 음이 아닌 좌표가 있는 점입니다.삼각형의 내부는 좌표가 모두 양수인 점들입니다.는 두개의 동등한 좌표는 medians 지점들, 그리고 좌표의 중심 있는 지점(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/3, 1/3,1/3컵.

좌표 변경

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아핀 좌표의 경우

중심 좌표의 경우

아핀 동형사상의 특성

행렬 표현

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이미지 및 파이버전

허락하다

$(\displaystyle f\colon E\to F)$

와 같은 아핀 동형이다

$(*displaystyle #오버라이트 화살표 {f}) 콜론(*오버라이트 화살표 {E})에서 (*오버라이트 화살표 {F})로)$

연관된 선형 맵으로 표시됩니다.

f의 이미지는 F의 아핀 부분공간 f(E)이며, f ${\displaystyle \to }$ (${\displaystyle E\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$)({$displaystyle {overrightarrow {f})({\overrightarrow {E})$를 관련 벡터 공간으로 한다.아핀 공간은 0원소를 가지지 않기 때문에 아핀 동형사상은 커널을 가지지 않는다.단, f(E)의 임의의 점 x에 대해 x의 역이미지^–1 f(x)는 $방향{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ f${\displaystyle {\to }^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$1 (${\displaystyle F\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ $){displaystyle {overrightarrow${f$}{\overrightarrow {F$의 E의 아핀 부분공간이다.이 아핀 부분 공간은 x의 섬유라고 불립니다.

투영

중요한 예로는 아핀 부분공간에 어떤 방향으로 평행한 투영을 들 수 있습니다.이 예의 중요성은 유클리드 공간이 아핀 공간이라는 사실과 이러한 종류의 투영법이 유클리드 기하학의 기초라는 사실에 있다.

보다 정확하게는 벡터 $공간{\displaystyle \stackrel{}{}}$ E $→$ {\$displaystyle${\$overrightarrow {E$인 아핀 공간 E → {\$displaystyle$ {\displaystyle {$F}}}$ $방향$의 아핀 부분 공간 F$$${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ {\$displaystyle${\$overrightarrow {F}}}}$을$($으)로 합니다$.$$Ightarrow$ {E$}}($$E$ {\displaystyle ${\$$overrightarrow$$${E$$$}}}$의 모든 벡터는 F $→$ {\$displaystyle {\$overrightarrow ${F}}}$의 원소와 D의 원소의 합으로 고유한 방식으로 분해될 수 있습니다.)E의 모든 점 x에 대해, D에 평행한 F에 대한 투영은 다음과 같은 F의 고유한 점 p(x)이다.

$(\displaystyle p(x)-x\in D).}$

이것은 연관된 선형 $맵{\displaystyle \stackrel{}{}}$ p $→$ {\$displaystyle${\$overright$ 화살표 ${p}}}$이(가$$) 정의되는 아핀 동형사상입니다.

${\displaystyle {p}}(x-y)=p(x)-p(y),}$

E의 x와 y에 대해서.

이 투영의 이미지는 F이며, 그 파이버는 방향 D의 서브스페이스입니다.

몫공간

커널은 아핀 공간에 대해 정의되지 않지만 몫 공간은 정의됩니다.이는 "아핀 동형사상의 동일한 섬유에 속함"이 등가 관계라는 사실에서 비롯된다.

E를 아핀 공간, D를 관련 벡터 $공간{\displaystyle \stackrel{}{}}$ E $→$ {\style {\$display\overrightarrow {E$의 선형 부분 공간이라고 하자.D에 의한 E의 E/D의 몫은 다음과 같은 경우 x와 y가 같도록 등가관계에 의한 E의 몫이다.

$(\displaystyle x-y\in D).}$

이 몫은 E ${\displaystyle \to }$ / ${\displaystyle D}$\ $displaystyle$ \$overright$ arrow { $E}$ /$D$를 연관 벡터 공간으로 $하는{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 아핀 공간입니다.

모든 아핀 동형상 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ E$\to$ F$\}$에 대해 이미지는 연관된 선형 맵의 커널에 의해 E의 몫과 동형상입니다.이것은 아핀 공간에 대한 첫 번째 동형 정리이다.

악리

아핀 공간은 보통 좌표 또는 등가 벡터 공간을 이용한 해석 기하학에 의해 연구된다.공리를 적어 합성 기하학으로도 연구할 수 있지만, 이 접근법은 훨씬 덜 일반적입니다.아핀 공간에 대한 몇 가지 다른 공리체계가 있다.

콕서터(1969, 페이지 192)는 실수에 걸친 아핀 기하학의 특수한 경우를 드사르게스 정리의 아핀 형태와 평면 내에 주어진 선과 일치하지 않는 점을 통해 최대 1개의 선이 있음을 나타내는 공리와 함께 순서 기하학으로 공리화한다.

아핀 평면은 다음 공리를 충족한다(Cameron 1991, 2장). (두 선이 같거나 분리된 경우 평행이라고 한다.)

• 두 개의 뚜렷한 점은 하나의 선 위에 있습니다.
• 점과 선이 지정되면 점을 포함하고 선과 평행한 고유한 선이 있습니다.
• 3개의 비선형이 존재합니다.

필드 위의 아핀 평면(또는 분할 링)뿐만 아니라, 이러한 공리를 만족시키는 많은 비 데사르게스 평면도 있습니다.(Cameron 1991, 3장)은 고차원 아핀 공간에 대한 공리를 제시한다.

순수하게 자명한 아핀 기하학은 아핀 공간보다 더 일반적이며 별도의 기사에서 다루어진다.

투영 공간과의 관계

아핀 공간은 투영 공간에 포함됩니다.예를 들어 하나의 선과 그 위의 모든 점을 제거함으로써 임의의 투영 평면으로부터 아핀 평면을 얻을 수 있으며, 반대로 평행선의 등가 클래스에 대응하는 무한대의 선을 추가함으로써 아핀 평면을 클로저로서 투영 평면을 구축할 수 있다.비슷한 구조물은 더 높은 차원으로 지탱된다.

또한 아핀 공간을 보존하는 투영 공간의 변환(등가적으로 하이퍼플레인을 한 세트로 무한 불변하게 하는 것)은 아핀 공간의 변환을 낳는다.반대로 아핀 선형 변환은 투영 선형 변환으로 고유하게 확장되므로 아핀 그룹은 투영 그룹의 하위 그룹입니다.예를 들어, 뫼비우스 변환(복소 투영 선 또는 리만 구의 변환)은 점을 무한대로 고정하는 경우에만 아핀(복소 평면의 변환)입니다.

아핀 대수 기하학

대수기하학에서, 아핀 다양성(또는 더 일반적으로 아핀 대수 집합)은 아핀 공간에 걸친 소위 다항식 함수 집합의 공통 0 집합인 아핀 공간의 부분 집합으로 정의된다.아핀 공간에 걸쳐 다항식 함수를 정의하려면 아핀 프레임을 선택해야 합니다.다항함수는 임의의 점의 이미지가 점 좌표에 대한 일부 다변량 다항함수의 값인 함수이다.아핀 좌표의 변화는 좌표의 선형 함수(더 정확히는 아핀 함수)에 의해 표현될 수 있기 때문에 이 정의는 특정 좌표 선택과는 무관하다.

필드 k ${\displaystyle {}_{}^{}}$의 차원 n의 아핀 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ A ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n$$\$displaystyle \mathbb {A}$ _${k}^n}$에 대한 아핀 좌표계의 선택은 A ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$\$displaystyle \mathbb {A} _{k}^n}$과 아핀 좌표 공간ⁿ k $사이$의 아핀 동형성을 유도한다.이것은 단순화를 위해 많은 교과서가 A ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $=$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ \ $displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n$}=$k^{n$이라고 $쓰고{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ^[8]k에 대한ⁿ 다항식 함수의 공통 0으로 아핀 대수 변종을 도입하는 이유를 설명한다.

아핀 공간 전체가 제로 다항식의 공통 0 집합이므로 아핀 공간은 아핀 대수 변종이다.

다항 함수의 링

위의 정의에 따르면 아핀 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ A ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n$$\$displaystyle \mathbb {A}$ _${k}^n}$의 아핀 프레임을 선택하면 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ k ${\displaystyle {}_{}^{}}$\$displaystyle \mathbb {A}$ _${k}^n}$의 다항식 함수를 n변수로 식별할 수 있다.세로세로 정렬하다따라서 A ${\displaystyle {}_{}^{}}$ \$displaystyle$ $\mathbb {A}_{k}^{n}$ $위$의 다항식 함수 집합은 k${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}^{}}$ k${\displaystyle {}_{}^{}}$n$](\$ k$\$$left[\mathbb {A}_{n}\right$$])$로 $표기$되는 k-대수로, 이는 다항식 $링{\displaystyle }$K [${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle ]}$와 동형이다${\displaystyle {}_{}}$.

좌표를 변경하면 k${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $n$ \ $displaystyle$k \ left [ \ $mathbb${ $A$} $_${ $k$}^{$n$} \ $right$} 와$$$$${\displaystyle }k{\displaystyle }$ [ ${\displaystyle X{}_{}}$${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle {}_{}}$ $]$ ($xisplaystyle k _$ {1} , \$dots$ , X _ { n } ) 사이의 $동형$이 그에 따라 변화하고${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {X\_\mathrm{}}_{}\{}$$n}$ 의 $자동형$이 유도됩니다${\displaystyle .}$$ight$ - 각 값이 1차 다항식으로 매핑됩니다.따라서 전체 차수는 좌표 선택과는 무관한${\displaystyle }$k [ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n$]$ {\$displaystyle$ k$\left$[\$mathbb {A}$ _${k}^{n}\right$의 필터링을 정의합니다.총 차수는 또한 그라데이션도 정의하지만, 아핀 좌표를 변경하면 비균질 다항식에 대해 부정하게 매핑될 수 있기 때문에 좌표 선택에 따라 달라집니다.

자리스키 위상

실수나 복소수 등 위상 필드 위의 아핀 공간은 자연스러운 위상을 가집니다.Zariski 토폴로지는 모든 필드의 아핀 공간에 대해 정의되며 어떤 경우에도 토폴로지 메서드를 사용할 수 있습니다.Zariski 토폴로지는 닫힌 집합이 아핀 대수 집합인 아핀 공간상의 고유한 토폴로지입니다(아핀 집합에서 다항식 함수의 공통 0 집합).위상 필드에 걸쳐 다항식 함수가 연속적이기 때문에 모든 Zariski 닫힌 집합은 일반적인 위상(있는 경우)에 대해 닫힙니다.즉, 토폴로지 필드에 걸쳐 Zariski 토폴로지는 자연 토폴로지보다 거칠다.

아핀 공간에서 다항식 함수의 링의 원시 이상 집합(스펙트럼)으로 자연 주입 함수가 있습니다.아핀 좌표를 선택한 경우 이 함수는${\displaystyle 좌표점{}_{}}$(${\displaystyle {a\mathrm{}}_{}}$1${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$)(\$display \left(a_{1},\dots,a_{n}\right)$을 최대 아이디얼${\displaystyle x{}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$1 - ${\displaystyle {a\mathrm{}}_{},}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle X_{}}$n - a ${\displaystyle n_{}}$ - n - ${\displaystyle {}_{}}$ $（$ $display$style \$left$ \ $langle X_1$ - ${\displaystyle {}_{}}$}, $dots$ \ dots }, dots {1 - 1 })에 매핑합니다.함수의 이미지에 대한 아핀 공간의 오모피즘(아핀 공간의 자리스키 위상 및 다항식 함수의 링 스펙트럼)

대수적으로 닫힌 지면장의 경우는 특히 대수기하학에서 중요하다. 왜냐하면, 이 경우, 위의 동형사상은 아핀 공간과 함수의 고리의 모든 최대 이상 집합 사이의 지도이기 때문이다(이것은 힐베르트 눌스텔렌사츠이다).

이것은 아핀 공간의 점뿐만 아니라 스펙트럼의 모든 주요 이상을 "점"으로 간주하는 대수적 다양성을 연구하기 위한 그로텐디크의 체계론의 시작 사상이다.이를 통해 다지관의 경우 차트를 다지관을 구축하기 위해 함께 붙이는 것과 유사한 방법으로 대수적 변종들을 함께 붙일 수 있습니다.

코호몰로지

모든 아핀 종류와 마찬가지로 아핀 공간상의 로컬 데이터는 항상 글로벌하게 패치할 수 있습니다.아핀 공간의 코호몰로지는 사소한 것입니다.보다 정확하게는 $모든{\displaystyle {}^{}}$ 간섭성 시브 F에 대해 ${\displaystyle Hi{\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$n ,${\displaystyle F\mathbf{}}$ ) ${\displaystyle =}$ { \ $displaystyle$$$H^{$i$} \ left ( \ $mathbb${$A$} $_${ $k$}^{$n}$ , \ $mathbf { F$$}$ \ $right$ ) = >$0$ .이 성질은 또한 다른 모든 아핀 품종들도 즐긴다.그러나 아핀 공간의 모든 에테일의 코호몰로지 그룹은 사소하다.특히, 모든 회선 번들은 사소한 것입니다.보다 일반적으로, 퀴렌-수슬린 정리는 아핀 공간 위의 모든 대수 벡터 다발이 사소하다는 것을 암시한다.

「 」를 참조해 주세요.

• 아핀 선체 – 서브셋을 포함하는 최소 아핀 부분 공간
• 복소 아핀 공간– 복소수 위에 아핀 공간
• 이국적인 아핀 공간 – 복잡한 아핀 공간과 동형이 아닌 짝수 차원의 실제 아핀 공간
• 공간(수학) – 구조가 추가된 수학 집합
• 중심 좌표계

메모들

레퍼런스

• Berger, Marcel (1984), "Affine spaces", Problems in Geometry, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90971-4
• Berger, Marcel (1987), Geometry I, Berlin: Springer, ISBN 3-540-11658-3
• Cameron, Peter J. (1991), Projective and polar spaces, QMW Maths Notes, vol. 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019
• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
• Dolgachev, I.V.; Shirokov, A.P. (2001) [1994], "Affine space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. Zbl 0367.14001.
• Nomizu, K.; Sasaki, S. (1994), Affine Differential Geometry (New ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
• Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989), Metric Affine Geometry (Dover edition, first published in 1989 ed.), Dover Publications, ISBN 0-486-66108-3
• Reventós Tarrida, Agustí (2011), "Affine spaces", Affine Maps, Euclidean Motions and Quadrics, Springer, ISBN 978-0-85729-709-9