축 회전

수학에서 2차원의 축 회전은 xy-카르트 좌표계에서 x'-카르트 좌표계로 매핑하는 것으로, x'-카르트 좌표계로 원점이 고정되어 있고 x'와 y'축이 각 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ta}}}$을 통해 x와 y축을 시계 반대방향으로 회전시켜 얻어진다$.$ p점에는 좌표(x, y)가 있다.h 원래 시스템에 대한 존중 및 새 시스템에 대한 좌표(^[1]x', y') 새로운 좌표계에서는 P 지점이 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$ 각도를 통해 시계방향으로 회전한 것으로 보일 것이다$.$ 2차원 이상의 축 회전도 이와 유사하게 정의된다.^[2][3] 축의 회전은 선형 지도와^[4][5] 경직된 변환이다.

동기

좌표계는 분석 기하학의 방법을 사용하여 곡선의 방정식을 연구하는데 필수적이다. 좌표 지오메트리의 방법을 사용하기 위해, 고려 중인 곡선과 관련하여 축을 편리한 위치에 배치한다. 예를 들어 타원과 하이퍼볼라의 방정식을 연구하기 위해 포커스는 보통 축들 중 하나에 위치하며 원점에 관해서 대칭적으로 위치한다. 곡선(하이퍼볼라, 파라볼라, 타원 등)이 축에 대해 편리하게 위치하지 않는 경우, 편리하고 익숙한 위치와 방향에 곡선을 배치하도록 좌표계를 변경해야 한다. 이런 변화를 만드는 과정을 좌표 변환이라고 한다.^[6]

좌표 축을 회전시켜 동일한 원점을 통해 새로운 축을 획득함으로써 많은 문제에 대한 해결책을 단순화할 수 있다.

파생

xy 축을 x'$y'$ 축으로$$반시계방향으로 회전시키는 2차원의 변환을 정의하는 방정식은 다음과 같이 도출된다.

xy 시스템에서 P 지점에 극좌표$({\displaystyle r}$ ,${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle(r,\alpha )}$을(를) 두십시오$.$ 그런 다음 x'y' 시스템에서 P는 극좌표$({\displaystyle r,}$ ${\displaystyle \alpha }$- ${\displaystyle \theta }$) ${\displaystyle (r,\alpha$ -$\theta )}$을(를) 갖는다$.$

삼각함수를 이용하여, 우리는

$\displaystyle x=r=r\cos \cos \cos$

(1)

$\displaystyle y=r\sin \cHB \cHB$

(2)

그리고 차이점들을 위해 표준 삼각공식을 사용하여, 우리는

$\displaystyle x'=r\cos(\displaystyle -\theta )=r\cos \cos \cos \coses \coses \coses \coses \cos \coses \cos$

(3)

$\displaystyle y'=r\sin(\displaystyle -\theta )=r\sin \coses \theta -r\coses \coses \coses \sin \sin \theta.}$

(4)

등식 (1)과 (2)를 등식 (3)과 (4)로 대체하면, 우리는 이를 얻는다.

$\displaystyle x'=x\cos \theta +y\sin \theta }$

(5)

$\displaystyle y'=-x\sin \theta +y\cos \theta.}$[7]

(6)

방정식 (5)과 (6)은 행렬 형태로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {\pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}={\\pmatrix}={\pmatrix}={\theta \\\sin \theta \end{pmatrix}},},}$

2차원에서 축의 회전에 대한 표준 행렬 방정식은 다음과 같다.^[8]

역변형은

$\displaystyle x=x'\cos \theta -y'\sin \theta }$

(7)

$\displaystyle y=x'\sin \theta +y'\cos \theta ,}$[9]

(8)

또는

${\displaystyle {\pmatrix}x\\y\end{pmatrix}={\\\nd{pmatrix}cos \theta \\\\sin \pmatrix}cos \theta \end{pmatrix}}{pmatrix}}}}}.}$

2차원의 예

예 1

축이 $\theta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }$${\displaystyle \pi }$ 1 = ( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle P_{1}=(x,y)=({\sqrt{3},1$) 각도를 통해 회전한 후$$ 점 ${\displaystyle {P1\mathrm{}}_{}}$= π${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 6\mathrm{}}$ ${\displaysty$ \$theta _{1}=\pi /6}$, 또는 30$°$의 좌표를 구한다.

해결책:

${\displaystyle x'={\sqrt{3}\cos(\pi /6)+1\sin(\pi /6)=({\sqrt{3}/2)+(1/2)=2}$

${\displaystyle y'=1\cos(\pi /6)-{\sqrt {3}\sin(\pi /6)=(1)({\sqrt{3}/2)-({\sqrt{3})(1/2)=0).}$

The axes have been rotated counterclockwise through an angle of ${\displaystyle \theta _{1}=\pi /6}$ and the new coordinates are ${\displaystyle P_{1}=(x',y')=(2,0)}$. Note that the point appears to have been rotated clockwise through ${\displaystyle \pi /6}$ with 이제 (새) x' 축과 일치하도록 고정 축에 대한 존중

예 2

축이 시계 방향으로 90° 회전한 후$$$,$즉${\displaystyle }$$\theta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= -${\displaystyle \pi \mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle \theta _{2}=-\pi$ /2$} 또는$ -90°의 점 ${\displaystyle {P2\mathrm{}}_{}}$ = ($x,y)=(7,7$)의 좌표를 구하십시오$.$

해결책:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(-\pi /2)&\sin(-\pi /2)\\-\sin(-\pi /2)&\cos(-\pi /2)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-7\\7\end{pmatrix}}.}$

The axes have been rotated through an angle of ${\displaystyle \theta _{2}=-\pi /2}$, which is in the clockwise direction and the new coordinates are ${\displaystyle P_{2}=(x',y')=(-7,7)}$. Again, note that the point appears to have been rotated counterclockwise through ${\displaystyle }$${\displaystyle 고정\mathrm{}}$ 축에 대한$$ ${\displaystyle \pi }$/ 2 ${\displaystyle \pi /2}.$

원뿔단면 회전

2도의 가장 일반적인 방정식은 형태를 가지고 있다.

${\displaysty Ax^{2}+Bxy+$$Cy^{2}+Dx+Ey$$+$[10]F=0}(${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A,B,C}$ 모두 0은$$ 아님).

(9)

좌표 변경(축 회전 및 축 변환)을 통해 방정식(9)을 표준형식으로 넣을 수 있어 통상적으로 작업하기 쉽다. 새로운 시스템에서는 x'y'라는 용어가 없는 방식으로 좌표를 회전시키는 것이 항상 가능하다. 방정식 (7)과 (8)를 방정식 (9)으로 대체하면, 우리는 얻는다.

${\displaystyle A'x^{2}+B'xy'+C'y'^{2}+D'x'+E'+++F'=0,}$

(10)

어디에

$(\displaystyle A'=A\cos ^{2}\theta +B\sin \cos \theta \theta +C\sin ^{2}\theta ,}$ ${\displaystyle B'=2(C-A)\sin \theta \cos \coses \theta +B(\coses ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta }),}$ $\displaystyle C'=A\sin ^{2}\theta -B\sin \coses \coses \theta +C\coses ^{2}\theta ,}$ $\displaystyle D'=D\cos \theta +E\sin \theta ,}$ $\displaystyle E'=-D\sin \theta +E\coses \theta ,}$ $F'=F.}$

(11)

$\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta }$을${\displaystyle (}$를) 선택하여 ${\displaystyle \mathrm{요람}}$ ${\displaystyle cot}$ 2${\displaystyle \theta }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle A}$- C )${\displaystyle }$/$$B {\$displaystyle \cot$ 2$\theta$= ($A-C)/B}$을(를) 만들면 $B$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty B'=0}$이 되고 (10) 방정식의 x'y 항이 사라진다.^[11]

B, D, E가 모두 0과 다른 문제가 발생했을 때, 연속적으로 회전(B 제거)과 번역(D, E 용어 제거)을 수행하여 제거할 수 있다.^[12]

회전 원뿔 단면 식별

등식 (9)에 의해 주어진 비감소 원뿔 섹션은 B ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}^{}}$- ${\displaystyle \text{4}\mathrm{}}$ A ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle$ B$^{2}\$ -\$4AC}$를 평가하여 식별할 수 있다$.$ 원뿔 부분은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{cases}{\mbox{an ellipse or a circle}},\ {\mbox{if}}\ B^{2}\ -\ 4AC\ <\ 0;\\{\mbox{a parabola}},\ {\mbox{if}}\ B^{2}\ -\ 4AC\ =\ 0;\\{\mbox{a hyperbola}},\ {\mbox{if}}\ B^{2}\ -\ 4AC\ >\ 0.\end{case}}}$^[13]

몇 가지 차원으로 일반화

직사각형 xyz-coordinate 시스템이 $각도{\displaystyle }$ positive ${\displaystyle \theta },$즉 양의 x 축이 즉시 양의 y 축으로 회전한다고 가정하자. 각 점의 z 좌표는 변경되지 않고 x 좌표와 y 좌표는 위와 같이 변형된다. 점 Q의 이전 좌표(x, y, z)는 다음에 의해 새로운 좌표(x', y', z')와 관련된다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$^[14]

제한된 수의 차원으로 일반화하는 회전 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) 최대 4개 요소의 ID 행렬과 다른 직교 행렬이다. 이 네 가지 요소는 형식이다.

${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle a_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle j_{}}$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$ {\$displaystyle a_{i}=a_{filename}=\cos$ \$theta }$ 및$$ i${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle a_{ij}=-{ji}=\sin \theta ,}$

일부 $[\displaystyle \theta }$ 및$$ 일부 i ≠ j.^[15]

몇 가지 차원의 예

예 3

Find the coordinates of the point ${\displaystyle P_{3}=(w,x,y,z)=(1,1,1,1)}$ after the positive w axis has been rotated through the angle ${\displaystyle \theta _{3}=\pi /12}$, or 15°, into the positive z axis.

해결책:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\pi /12)&0&0&\sin(\pi /12)\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\sin(\pi /12)&0&0&\cos(\pi /12)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w\\x\\y\\z\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \approx {\begin{pmatrix}0.96593&0.0&0.0&0.25882\\0.0&1.0&0.0&0.0\\0.0&0.0&1.0&0.0\\-0.25882&0.0&0.0&0.96593\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1.0\\1.0\\1.0\\1.0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.22475\\1.00000\\1.00000\\0.70711\end{pmatrix}}.}$

참고 항목

• 회전
• 회전(수학)

메모들

참조

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5th ed.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
• Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042