축 변환

수학에서 축의 2차원의 번역은 xy-카르트 좌표계에서 x'x'-카르트 좌표계까지의 매핑으로, x'x'축은 x축과 k단위 떨어져 있는 x'k축과 평행하고 y'x'축은 y축과 h단위 떨어져 있는 y축과 평행하다. 즉, 새로운 좌표계의 원점 O'는 원래 좌표계(h, k)에 좌표(h, k)가 있음을 의미한다. 양의 x와 y의 방향은 양의 x와 y 방향과 같도록 한다. 점 P는 원래 시스템에 대한 좌표(x, y)와 새 시스템에 대한 좌표(x', y')를 가지고 있으며, 다음과 같은 경우

${\displaystyle x}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$+ h ${\displaystyle x=x'+h}$ 및 y${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$+ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle y=y'+k}$

(1)

또는 동등하게

${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle$ x$'=x-h}$ 및$$ y${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle y}$- k${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ y$'=y-k.$$}$[1][2]

(2)

새로운 좌표계에서는 점 P가 반대 방향으로 번역된 것으로 보일 것이다. 예를 들어 xy-system을 오른쪽으로 h 거리, 위로 k 거리를 번역하면 p는 왼쪽으로 h 거리, x'y-system에서는 아래로 k 거리를 번역한 것으로 나타난다. 2차원 이상 축의 번역도 이와 유사하게 정의된다.^[3] 축의 번역은 경직된 변환이지만 선형 지도가 아니다.(부착 변환 참조)

동기

좌표계는 분석 기하학의 방법을 사용하여 곡선의 방정식을 연구하는데 필수적이다. 좌표 지오메트리의 방법을 사용하기 위해, 고려 중인 곡선과 관련하여 축을 편리한 위치에 배치한다. 예를 들어 타원과 하이퍼볼라의 방정식을 연구하기 위해 포커스는 보통 축들 중 하나에 위치하며 원점에 관해서 대칭적으로 위치한다. 곡선(하이퍼볼라, 파라볼라, 타원 등)이 축에 대해 편리하게 위치하지 않는 경우, 편리하고 익숙한 위치와 방향에 곡선을 배치하도록 좌표계를 변경해야 한다. 이런 변화를 만드는 과정을 좌표 변환이라고 한다.^[4]

좌표 축을 번역하여 원래의 축과 평행하게 새로운 축을 획득함으로써 많은 문제에 대한 해답을 단순화할 수 있다.^[5]

원뿔단면 번역

좌표 변경을 통해 원뿔 부분의 방정식을 표준 형태로 넣을 수 있는데, 보통은 작업하기가 더 쉽다. 제2도의 가장 일반적인 방정식의 경우, 새로운 시스템에서는 항상 방정식이 형태를 취하도록 축의 회전을 수행할 수 있다.

$displaysty Ax^{2}+Cy^{2}+Dx+Ey$$+F=0}($$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및$$ C ${\displaystyle C}$ 둘 다 0이 아님$$);

(3)

즉, xy 용어가 없다.^[6] 다음으로 축의 변환은 형태 (3)의 방정식을 좌표로 새로운 변수(x', y')를 포함하지만 새로운 변수(x', y')를 포함한 방정식으로 줄일 수 있으며, D와 E를 포함하면 둘 다 0(특정 예외(예: 포물선)과 같다. 이 과정의 주요 도구는 "광장을 완성하는 것"^[7]이다. 이어지는 예에서 축의 회전이 이미 행해진 것으로 가정한다.

예 1

방정식을 주어

${\displaystyle 9x^{2}+25y^{2}+18x-100y=0,}$

축의 변환을 사용하여 방정식의 중심이 포물선인지 타원형인지 또는 하이퍼볼라인지 확인하십시오. 초점(또는 초점), 꼭지점(또는 꼭지점) 및 편심도를 결정한다.

해결책: 정사각형을 x와 y로 완성하려면 방정식을 양식에 쓰십시오.

${\displaystyle 9(x^{2}+2x\qquad )+25(y^{2}-4y\qquad )=snf.}$

정사각형을 완성하고 구한다.

${\displaystyle 9(x^{2}+2x+1)+25(y^{2}-4y+4)=162+9+100}$

${\displaystyle \Leftrightarrow 9(x+1)^{2}+25(y-2)^{2}=225.}$

정의

${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ x$'=x+1}$및$$ y${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle y}$- 2${\displaystyle$ y$'=y-2.$$}$

즉, 방정식 (2)의 번역은 $h{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$k${\displaystyle }$= 2${\displaystyle h=-1,k=2.}$ 새로운 좌표계의 방정식은$$ 다음과 같다.

${\displaystyle 9x'^{2}+25y'^{2}=messages.}$

(4)

방정식(4)을 225로 나누어서 구한다.

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}:{25}+{\frac {y'^{2}}:{9}=1,}$

이것은 ${\displaystyle \mathrm{a}}$=${\displaystyle 5}$,${\displaystyle }$b =${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ =${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ - ${\displaystyle {b\mathrm{}}^{}}$2 = ${\displaystyle 16,}$ ${\displaystyle c}$= ${\displaystyle 4,e}$ =${\displaystyle \frac{4}{}}$ .$${\$displaystyle a=5,b=3,c^{2}=a^{2}-b^{2}=16,c=$4,$e={\tfrac {4}{5}}}}$를 가진 타원으로 인식된다.$}$ x'y-system에는 중심(0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle(0,0$ 정점${\displaystyle (\pm }$5,${\displaystyle(\pm$ 5,$0$ 포커${\displaystyle (\pm 4}$ ,${\displaystyle }$0 )${\displaystyle }$.${\displaystyle(\pm$4$,0)$이 있다$.$$}$

In the xy-system, use the relations ${\displaystyle x=x'-1,y=y'+2}$ to obtain: center ${\displaystyle (-1,2)}$; vertices ${\displaystyle (4,2),(-6,2)}$; foci ${\displaystyle (3,2),(-5,2)}$; eccentricity ${\displaystyle$${\tfrac {4}{5}.$$}$^[8]

몇 가지 차원으로 일반화

3차원의 xyz-Cartesian 좌표계의 경우, x'축이 x축과 h단위에 평행하도록 x'축, y'축, z'축이 x축과 평행하게 위치하도록 두 번째 데카르트 좌표계가 도입되었다고 가정하고, x'축은 그로부터 y축과 k단위에 평행하게 되며, z'축은 z축과 l단위에 평행하게 된다. 공간의 점 P는 두 시스템 모두에서 좌표를 가질 것이다. 만약 그것의 좌표가 원래의 시스템에서는 (x, y, z)이고 두 번째 시스템에서는 (x, y, z')인 경우, 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle x'=x-h,\qquad y'=y-k,\qquad z'=z-l}$

(5)

hold.^[9] 방정식 (5)은 (h, k, l)이 새로운 기원의 xyz 좌표인 3차원으로 축의 변환을 정의한다.^[10] 축의 변환은 어떤 한정된 치수에서도 유사하게 정의된다.

4중 표면의 번역

3공간에서 x, y, z에서 2도의 가장 일반적인 방정식은 형태를 가진다.

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Kz+L=0,}$

(6)

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 A${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,\dots ,}$ L ${\displaystyle A,B,C,\ldots,L}$의 양은 양수 또는 음수 또는 0이다$$. 그러한 방정식을 만족시키는 우주에서의 점들은 모두 표면에 놓여 있다. 실린더, 평면, 선 또는 점으로 감소하지 않는 2차 방정식은 사분면이라고 하는 표면에 해당한다.^[11]

평면 해석 기하학의 경우와 마찬가지로 축의 변환 방법을 사용하여 2차 방정식을 단순화함으로써 특정 4차 표면의 특성을 명확하게 할 수 있다. 이 과정의 주요 도구는 "광장을 완성하는 것"^[12]이다.

예 2

좌표 변환을 사용하여 사분면 식별

${\displaystyle x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2x-8y+9z=10.}$

해결책: 양식에 방정식을 쓰시오.

${\displaystyle x^{2}+2x\qquad +4(y^{2}-2y\qquad )+3(z^{2}+3z\qquad )=10.}$

구하려면 정사각형을 완성하십시오.

${\displaystyle (x+1)^{2}+4(y-1)^{2}+3(z+{\tfrac {3}{2}})^{2}=10+1+4+{\tfrac {27}{4}}}.}$

좌표 변환 소개

${\displaystyle x'=x+1,\qquad y'=y-1,\qquad z'=z+{\tfrac {3}{2}.}$

표면의 방정식은 형태를 취한다.

${\displaystyle x'^{2}+4y'^{2}+3z'^{2}={\tfrac {87}{4}},}$

타원체의 방정식으로 인식될 수 있다.^[13]

참고 항목

• 번역(지오메트리)

메모들

참조

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
• Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042