립시츠 연속성

수학적 분석에서 독일 수학자 루돌프 립스치츠의 이름을 딴 립스치츠 연속성은 기능에 대한 균일한 연속성의 강한 형태다. 직관적으로, 립스치츠 연속함수는 얼마나 빨리 변할 수 있는가에 제한된다: 이 함수의 그래프에 있는 모든 점 쌍에 대해, 이들을 연결하는 선의 기울기의 절대값이 이 실수보다 크지 않은 실수가 존재한다. 가장 작은 바운드를 기능의 립스치츠 상수(Lipschitz constant)라고 한다.또는 균일한 연속성의 계량. 예를 들어, 첫 번째 파생상품과 경계를 이룬 모든 기능은 립스키츠 연속이다.^[1]

미분방정식 이론에서 립스키츠 연속성은 초기 가치 문제에 대한 해결책의 존재와 고유성을 보장하는 피카르-린델뢰프 정리의 중심 조건이다. 수축이라고 불리는 특수한 타입의 립시츠 연속성이 바나흐 고정점 정리에서 사용된다.^[2]

실제 라인의 폐쇄적이고 경계되지 않은 간격에 걸쳐 기능에 대한 다음과 같은 엄격한 포함 체인을 가지고 있다.

연속적으로 다른 lips 립스치츠 연속 α-홀더 연속

여기서 0 < α α α 1. 우리는 또한

립스키츠 연속 continuous 절대 연속.

정의들

두 개의 미터법_Y 공간(X, d_X)과 (Y, d_Y)이 주어진 경우, 여기서 d는_X 세트 Y의 미터법을 나타내며, 함수 f : X → Y는 X의 모든 x와₁ X에₂ 대해 실제 상수 K ≥ 0이 존재하는 경우 립슈츠 연속이라고 한다.

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2})\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}).}$^[3]

그러한 K는 f와 f 기능에 대해 립스치츠 상수라고 하며 K-립스치츠라고도 할 수 있다. 가장 작은 상수를 (최상의) 립스치츠 상수라고 부르기도 하지만, 대부분의 경우 후자의 개념은 덜 관련성이 있다. K = 1이면 함수를 쇼트맵이라고 하고, 0 ≤ K < 1과 f가 미터법 공간을 스스로 매핑하면 함수를 수축이라고 한다.

특히, 실제값 함수 f : R → R은 모든 real x와₁ x에₂ 대해 다음과 같은 양의 real constant K가 존재한다면 lipschitz 연속이라고 부른다.

${\displaystyle f(x_{1}-f(x_{2}) \leq K x_{1}-x_{2} .}$

이 경우 Y는 표준 미터법 d_Y(y₁, y₂) = y₁ - y₂ , X는 R의 부분집합인 실수 R의 집합이다.

일반적으로 불평등은 x₁ = x일₂ 경우 (비례적으로) 충족된다. 그렇지 않으면, 모든₁ x ≠ x에₂ 대해 상수 K 0 0이 존재하는 경우에만 립스키츠 연속 함수를 동등하게 정의할 수 있다.

${\displaystyle {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2})}}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K.}$

여러 개의 실제 변수의 실제 값 함수에서, 이것은 모든 제2의 선의 기울기의 절대값이 K로 경계되는 경우에만 유지된다. 함수의 그래프에서 한 점을 통과하는 경사 K의 선 집합은 원형 원뿔을 형성하며, 도처에 있는 함수의 그래프가 이 원뿔의 완전히 바깥쪽에 있는 경우에만 함수가 립슈츠(Lipschitz)이다(그림 참조).

X의 모든 X에 대해 U로 제한된 f가 립스치츠 연속인 x의 근린 U가 존재한다면, 기능은 국부적으로 립스치츠라고 불린다. 마찬가지로 X가 로컬로 컴팩트한 미터 공간인 경우, F는 로컬로 Lipschitz가 X의 모든 콤팩트 부분 집합에서 연속되는 경우에만 로컬로 Lipschitz이다. 국소적으로 압축되지 않은 공간에서 이것은 필요하지만 충분하지 않은 조건이다.

보다 일반적으로 X에 정의된 함수 f는 다음과 같은 상수 M or 0이 존재하는 경우 X에 Hölder 연속형 또는 X에 0의 순서 α > 0의 Hölder 조건을 만족하는 것으로 한다.

${\displaystyle d_{Y}(f(x)),f(y)\leq Md_{X}(x,y)^{\alpha }}}}$

X의 모든 x와 y에 대해. 때로는 순서 α의 쾰더 조건을 순서 α > 0의 균일한 립시츠 조건이라고도 한다.

K ≥ 1이 있는 경우

${\displaystyle {\frac {1}{K}}{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2})\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})}$

f는 bilipschitz (bi-lipschitz도 쓰여 있다)라고 불린다. 빌립시츠 지도는 주입식이고, 사실 그것의 이미지에 대한 동형상이다. 빌립시츠 함수는 역함수도 립시츠인 주입식 립시츠 함수와 같은 것이다.

예

립스키츠 연속 기능

• f${\displaystyle (}$x ) =${\displaystyle x\sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{2{}^{}}}$+ 5 ${\$에 대해 정의된$$ 함수 $f$는 ${\displaystyle \mathrm{어디}}$에서나 다르고 파생상품의 절대값이 1 이상 경계되기 때문에 립스치츠 상수 K = 1과 연속되는 립스치츠다. 아래의 "속성" 아래에 나열된 첫 번째 속성을 참조하십시오.
• 마찬가지로 사인함수는 그 파생상품인 코사인 함수가 절대값에서 1로 경계되기 때문에 립스키츠 연속이다.
• reals에 정의된 f(x) = x 함수는 역삼각형 불평등에 의해 립스치츠 상수가 1과 같은 립스치츠 연속이다. 이것은 차이가 나지 않는 립스치츠 연속 기능의 예다. 보다 일반적으로 벡터 공간의 표준은 관련 측정기준에 대해 연속적인 립스치츠로, 립스치츠는 1과 같은 상수를 가진다.

어디에나 차별화되지 않는 립시츠 연속 기능

• ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=function ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle f(x)=\mid x\mid }$

모든 곳에 차별화되지만 연속적으로 차별화되지 않는 립시츠 연속 기능

• The function ${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$, whose derivative exists but has an essential discontinuity at ${\displaystyle x=0}$.

(광택) 립시츠 연속이 아닌 연속적인 기능

• [0, 1]에 정의된 f(x) = √x 함수는 립스키츠 연속이 아니다. 이 함수는 x의 파생상품이 무한대가 되기 때문에 0에 가까워질수록 무한히 가파르게 된다. 단, 균일하게 연속적이며, ^[4]α ≤ 1/2에 대해서는 양쪽 ö더 등급 C의^{0, α} 연속이며, 또한 [0, 1]에 대해서는 절대적으로 연속된다(둘 다 전자를 의미한다).

Lipschitz 연속이 아닌 (로컬하게) 다른 기능

• f(0) = 0과 f(x) = xsin^3/2(1/x)로 정의한 함수 f는 0<x151>에 대해 콤팩트 세트에서 파생적 함수가 경계되지 않기 때문에 국소적으로 Lipschitz가 아닌 상태에서 구별할 수 있는 함수의 예를 제공한다. 아래의 첫 번째 속성을 참조하십시오.

Lipschitz 연속이 아닌(광택이 아닌 분석 기능

• 지수함수는 x → ∞으로 임의적으로 가파르게 되며, 따라서 분석함수임에도 불구하고 전세계적으로 립스치츠가 연속적이지 않다.
• f(x) = x²(영역 포함) 함수는 모든 실제 숫자가 Lipschitz 연속이 아니다. 이 기능은 x가 무한에 가까워질수록 임의로 가파르게 된다. 그러나 그것은 지역적으로 립스치츠가 계속된다.

특성.

• 어디에서나 다른 함수 g : R → R은 립스키츠 연속이다(K = supp g((x)). 만약 그것이 첫 번째 파생상품과 경계를 이룬 경우, 한 방향은 평균값 정리에서 따른다. 특히, 연속적인 기능이 국부적으로 경계되므로, 지속적으로 다른 기능은 국부적으로 Lipschitz이다.
• Lipschitz 함수 g : R → R은 절대적으로 연속적이며 따라서 거의 모든 곳에서, 즉 Lebesgue 측정치 0을 제외한 모든 지점에서 차이가 있다. 그것의 파생상품은 본질적으로 립스치츠 상수에 의해 크기가 경계되며, <b>의 경우, 차이 g(b) - g(a)는 [a, b] 구간에서 파생상품 g′의 적분과 같다.
  • 반대로 f : I → R이 절대적으로 연속적이어서 거의 모든 곳에서 차별성이 있고, I에서 거의 모든 x에 대해 f′(x) ≤ K를 만족시킨다면, f는 대부분의 K에서 립스키츠 상수로 연속된 립슈츠이다.
  • 보다 일반적으로 라데마허의 정리는 유클리드 공간들 사이의 립스치츠 매핑까지 차별성 결과를 확장시킨다:Lipschitz map f : U → R에서^mn U가 오픈세트인 경우는 거의 모든 곳에서 차별성이 있다. 더욱이 K가 f의 가장 좋은 립스키츠 상수라면, 총 파생상품 Df가 존재할 때마다${\displaystyle }$whenever ${\displaystyle D}$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle k}$ K ${\displaystyle \Df(x)\leq$ K$}.$
• 다른 Lipschitz map f : U → R^m 불평등 ${\displaystyle D}$ f${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {\mathrm{},}_{}}{\displaystyle }$∞, ${\displaystyle U_{}k}$ K$${\$displaystyle$\$Df\ _{\infit ,U}\leq$ K$}$가 f의 최상의 Lipschitz 상수에 대해 가지고$$ 있으며, 도메인 U가 볼록스라면 동등하다고 판명되었다.^{[further explanation needed]}
• {f_n}이(가) 두 메트릭스 공간 사이의 립스치츠 연속 매핑의 시퀀스이며, 모든_n f가 일부 K에 의해 경계된 립스치츠 상수를 가지고 있다고 가정하자. 만약_n f가 매핑 f로 균일하게 수렴된다면, f 역시 립슈비츠가 같은 K에 의해 일정한 경계를 이루면서 립슈비츠가 된다. 특히, 이는 립스치츠 상수에 대한 특정 바인딩이 있는 콤팩트한 미터 공간에서의 실제 가치 함수 집합이 연속함수의 바나흐 공간의 폐쇄적이고 볼록한 부분 집합임을 암시한다. 그러나 이 결과는 기능이 무한 립스치츠 상수를 가질 수 있는 시퀀스에는 포함되지 않는다. 사실 콤팩트한 미터법 공간에서 모든 립시츠 함수의 공간은 연속함수의 바나흐 공간의 아말게브라함이며, 따라서 그 안에 밀도가 높은 것은 스톤-바이어스트라스 정리의 기초적 결과(또는 모든 다항식이 국소적으로 립시츠 연속적이기 때문에 Weierstrass 근사정리의 결과로서)이다.
• 모든 Lipschitz 연속 지도는 균일하게 연속적이며, 따라서 fortiori 연속이다. 보다 일반적으로, 경계가 있는 립스치츠 상수를 가진 일련의 기능들이 등거리 세트를 형성한다. 아르젤라-아스콜리 정리는 {f_n}이(가) 경계가 있는 립스치츠 상수와 함께 균일하게 경계된 함수 시퀀스라면, 그 다음 융합적 하위 서열을 갖는다는 것을 암시한다. 전항의 결과, 한계함수 역시 립스치츠로, 립스치츠 상수에 대해 동일한 바운드가 있다. 특히, 모든 실제 가치의 립스치츠 함수의 콤팩트한 미터 공간 X의 세트 립스치츠 상수 ≤ K는 바나흐 공간 C(X)의 로컬 컴팩트 볼록 부분집합이다.
• 들어 리프 시츠 연속 기능의 가족은 fα 일반적인 상수와 함수는 저녁밥을 먹다 α f({\displaystyle \sup_{\alpha}f_{\alpha}}(그리고 떨어지는 급작스러α fα{\displaystyle \inf_{\alpha}f_{\alpha}})은 리프 시츠 연속도 함께 같은 리프 시츠 상수를 제공하죠 의심하고 유한한 값에서 최소한의 포인트다..
• U가 미터법 공간 M과 f의 부분집합인 경우 : U → R은 립슈비츠 연속함수 M → R은 f를 확장하고 f와 동일한 립슈비츠 상수를 가지는 립슈비츠 연속지도 M → R이 항상 존재한다(키르즈브라운 정리 참조). 확장 제공자:

${\displaystyle {\tilde{f}(x):=\inf _{u\in U}\{f(u)+k\,d(x,u)\}}$

여기서 k는 U에서 f에 대한 립스키츠 상수다.

립스키츠 다지관

U와 V를 R에서ⁿ 두 개의 오픈 세트로 하자. 기능 T : U → V는 그것의 이미지에 대한 립스치츠 동족상형이라면 바이 립시츠라고 불리며, 그 역도 립스치츠다.

바이 립시츠 매핑을 사용하면, 바이 립시츠 동형성에 대한 유사 집단 구조가 있기 때문에 위상학적 다지관에 립시츠 구조를 정의할 수 있다. 이 구조는 조각-선형 다지관과 매끄러운 다지관의 구조 사이에 중간이다. 사실 PL 구조는 독특한 립스치츠 구조를 만들어낸다;^[5] 그런 의미에서 그것은 '거의' 평활화 될 수 있다.

단측 립스치츠

F(x)를 x의 상위 반연속 함수로 하고, F(x)는 모든 x에 대해 닫힌 볼록 세트라고 한다. 그렇다면 F는 일방적인 립스치츠라면^[6].

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1}-F(x_{2})\leq C\vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}}$

일부 C와 모든 x와₁ x에₂ 대해.

F 기능은 매우 큰 립스치츠 상수를 가질 수 있지만 적당한 크기, 혹은 심지어 부정적인 단측 립스치츠 상수를 가질 수 있다. 예를 들어, 함수

${\displaystyle {\respects}케이스}F:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R},\F(x,y)=-50(y-\cos(x))\end{case}}}$

Lipschitz 상수 K = 50, 단측 Lipschitz 상수 C = 0. 단측 Lipschitz 상수 C = 0. 단측 Lipschitz 상수 F(x) = e^−x, C = 0.

참고 항목

• 디니 연속성
• 연속성계수
• 준등산법

참조