원통형 및 구형 좌표의 벡터 필드

참고: 이 페이지는 구형 좌표에 대한 공통 물리학 표기법을 사용하며, $여기$서 { ${\displaystyle \theta}$은 z축과 반지름 벡터 사이의 각도로서$$ 문제의 원점에 연결되며, $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi}$은 x-y 면에 대한 반지름 벡터 투영과 x축 사이의 각이다. 몇 가지 다른 정의가 사용되고 있으므로 서로 다른 출처를 비교할 때 주의해야 한다.^[1]

원통 좌표계

벡터 필드

벡터는 다음과 같이 원통형 좌표로 정의된다.

• ρ은 Xy 평면에 투영된 벡터의 길이,
• φ은 xy-평면에 대한 벡터 투영(즉, ρ)과 양의 x-축(0 ≤ φ < 2π) 사이의 각도다.
• z는 정규 z-beat이다.

(ρ, φ, z)는 다음과 같이 데카르트 좌표로 주어진다.

${\displaystyle {\bmatrix}\rho \\phi \\z\end{bmatrix}={\bmatrix}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}\\\piname {arctan}(y/x)\z\end{bmatrix},\\\\ \ 0\leq \pi <2\pi ,}$

또는 반비례:

${\displaystyle {\bmatrix}x\\y\z\end{bmatrix}={\bmatrix}\rho \cos \phi\\z\end{bmatrix}}}.}$

벡터 필드는 다음과 같이 단위 벡터 단위로 작성할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{\rho }\mathbf {\hat {\rho }} +A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}} }$

원통형 장치 벡터는 다음과 같은 방법으로 데카르트 장치 벡터와 관련된다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {\rho }} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}$

참고: 행렬은 직교 행렬이며, 즉 그 역행렬은 단순히 전치 행렬이다.

벡터 필드의 시간 파생형

벡터 필드 A가 시간에 따라 어떻게 변하는지 알아보려면 시간 파생상품을 계산해야 한다. 이러한 목적을 위해 뉴턴의 표기법은 시간 파생상품(${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$( {\$displaystyle {\dot {\mathbf {A}}})$에 사용된다.$$ 데카르트 좌표에서 이는 단순히 다음과 같다.

${\dot}{\dot{\mathbf{A}}}}}{\dot{A}}{}}{\mathbf{x}}{}}{\mathbf{A}}{\hat{\mathbf{y}}{}}}}}{\mathbf{A}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그러나 원통형 좌표에서는 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+A_{\rho }{\dot {\hat {\boldsymbol {\rho }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+A_{\phi }{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}+A_{z}{\dot {\hat {\boldsymbol {z}}}}}$

단위 벡터의 시간 파생상품이 필요하다. 이러한 정보는 다음에서 제공된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {\rho } }}}&={\dot {\phi }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}{\hat {\mathbf {\rho } }}\\{\dot {\hat {\mathbf {z} }}}&=0\end{aligned}}}$

따라서 시간 파생 모델은 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\hat {\boldsymbol {\rho }}}\left({\dot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\mathbf {z} }}{\dot {A}}_{z}}$

벡터 필드의 두 번째 파생 모델

두 번째 파생상품은 물리학에 관심이 있는데, 그것은 고전적인 기계 시스템의 운동 방정식에서 발견되기 때문이다. 원통형 좌표에서 벡터 필드의 두 번째 파생 모델은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {\ddot {A}} =\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\ddot {\phi }}-2{\dot {A}}_{\phi }{\dot {\phi }}-A_{\rho }{\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\ddot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\ddot {\phi }}+2{\dot {A}}_{\rho }{\dot {\phi }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}^{2}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot{A}_{z}}}$

이 표현을 이해하기 위해 A는 P를 대신하는데 여기서 P는 벡터( (, θ, z)이다.

${\displaystyle 즉\stackrel{}{\mathbf{}}}$,${\displaystyle }$A =${\displaystyle P\stackrel{}{}}$ = ^ ^${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}^}$ + ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}${\$displaystyle \mathbf {A}$ =\$mathbf {P}$ =\$rho \mathbf {\\rho}} +z\mathbf {\z}}}}$을(를) 의미한다$.$

대체 후 다음과 같은 결과가 주어진다.

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {P} }}=\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left(\rho {\ddot {\phi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {z}}}$

역학에서는 이 표현의 용어를 다음과 같이 부른다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\ddot{\rho}}\mathbf{\hat{\rho}}&={\mbox{중앙은 밖으로 가속}}\\-\rho{\dot{\phi}}^{2}\mathbf}{\hat{\rho}&={\mbox{구심 가속도}}\\\rho{\ddot{\phi}}{\boldsymbol{\hat{\phi}}}&={\mbox{각가속도}}\\2{\dot{\rho}}{\dot{\phi}}{\boldsymbol{\hat{\phi}}}&=.{\mbox{코리올리 효과}}\{\ddot{z}\mathbf {\hat{z}} &={\mbox{z-messages}\ended}}}}$

구형좌표계

벡터 필드

벡터는 (r, θ, φ)에 의해 구면 좌표로 정의된다.

• r은 벡터의 길이,
• θ은 양의 Z축과 해당 벡터 사이의 각도(0 ≤ θ ≤ π and
• φ은 Xy 면에 대한 벡터 투영과 양의 X 축(0 ≤ φ < 2 <) 사이의 각도다.

(r, θ, φ)는 다음과 같이 데카르트 좌표로 주어진다.

${\displaystyle {\bmatrix}r\\\theta \\\phi \end{bmatrix}={\\bmatrix}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\\arccos(z/r)\\\arctan(y/x)\end{bmatrix}},\\\\0\leq \leq \pi <2\pi ,}$

또는 반비례:

${\displaystyle {\bmatrix}x\\y\z\end{bmatrix}={\bmatrix}r\sin \theta \phi \r\cos \sin \sin \sin \sin \sin \phi\r\r\cos \te{bmatrix}}}}}.}$

벡터 필드는 다음과 같이 단위 벡터 단위로 작성할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf{A} =A_{x}\mathbf {\x} +A_{y}}\mathbf {\a_{z}}\mathbf {\z}} =A_{r}{boldsymbol}{r}}}+}A_{\theta}{\boldsymbol {\hatta}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat{\phi }}}}{\boldsymbol {\\hat{\pi }}}}}}}}}}$

구면 단위 벡터는 다음과 같은 방법으로 데카르트 단위 벡터와 관련된다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}{\boldsymbol{\hat{r}}}\\{\boldsymbol{\hat{\theta}}}\\{\boldsymbol{\hat{\phi}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin\theta\cos \phi&\sin\theta\sin \phi&\cos\theta \\\cos\cos \phi 및 \theta, \cos\theta\sin \phi&\theta \\-\sin \phi 및 -\sin, \cos \phi&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ma.thbf{\hat{)}}\\\mathbf {\hat {y} \\mathbf {\z} \end{bmatrix}}$

참고: 행렬은 직교 행렬이며, 즉 그 역행렬은 단순히 전치 행렬이다.

따라서 데카르트 단위 벡터는 구면 단위 벡터에 다음과 같이 관련된다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}\mathbf{\hat{)}}\\\mathbf{\hat{y}}\\\mathbf{\hat{z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin\theta\cos \phi&\cos\theta\cos \phi&-\sin\phi \\\sin \theta\sin \phi&\cos\theta\sin \phi&\cos\phi \\\cos\theta&-\sin \theta&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol{\hat{r}}}\\{년.boldsymbol{\hat{\theta }}}\{\\\symbol {\hat {\phi }}\end{bmatrix}}}$

벡터 필드의 시간 파생형

벡터 필드 A가 시간에 따라 어떻게 변하는지 알아보려면 시간 파생상품을 계산해야 한다. 데카르트 좌표에서 이는 단순히 다음과 같다.

${\dot{A}={\dot{A}}{\dot {A}_{x}}\mathbf {\x}+{\dot{A}}{y}}\mathbf {\dot{A}}}+{\dot{A}}}\mathbf {z}}}}}}}}}}}}}}}}"$

그러나 구면 좌표에서 이것은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \mathbf{\dot{A} ={\dot{A}_{r}{\boldsymbol{\hat{r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A}}_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}}$

단위 벡터의 시간 파생상품이 필요하다. 이러한 정보는 다음에서 제공된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\boldsymbol{\dot{\hat{r}}}}&={\dot{\theta}}{\boldsymbol{\hat{\theta}}}+{\dot{\phi}}\sin\theta{\boldsymbol{\hat{\phi}}}\\{\boldsymbol{\dot{\hat{\theta}}}}&=-{\dot{\theta}}{\boldsymbol{\hat{r}}}+{\dot{\phi}}\cos\theta{\boldsymbol{\hat{\phi}}}\\{\boldsymbol{\dot{\hat{\phi}}}}&am.p/&=-{\dot{)phi }}\sin \theta \sin symbol {\r}-{\dot{\phi }}}\cos \theta {\theta }\ended}}}}}}$

따라서 시간 파생상품은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}\left({\dot {A}}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\left({\dot {A}}_{\theta }+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_{\theta }{\dot {\phi }}\coses \theta \right)}$

참고 항목

• 다양한 좌표계의 그라데이션, 발산, 컬 및 라플라시안 사양을 위한 원통형 및 구형 좌표 델.

참조