연속 매핑 정도

위상에서 동일한 차원의 두 콤팩트 지향 다지관 사이의 연속 매핑 정도는 도메인 다지관이 매핑 아래에서 범위 다지관을 감싸는 횟수를 나타내는 숫자다.도(道)는 항상 정수지만, 방향성에 따라 양수 또는 음수일 수도 있다.

지도의 정도는 처음에 브루워에 의해 정의되었는데,^[1] 브루워는 그 정도가 호모토피 불변성(호모토피 중에서 불변성)임을 보여 주었고, 브루워 고정점 정리를 증명하는 데 사용했다.현대 수학에서 지도의 정도는 위상과 기하학에서 중요한 역할을 한다.물리학에서 연속 지도의 정도(예를 들어 우주에서 어떤 순서 매개변수 집합까지의 지도)는 위상 양자수의 한 예다.

학위 정의

S에서ⁿ S로ⁿ

가장 단순하고 중요한 경우는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -sphere$$ ${\displaystyle S^{}}$ n ${\$ S$^{n}}$부터 그 자체까지$$ 연속 지도의 정도(경우 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyn=1$ 이것을 권선 번호라고 한다).

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {Sn}^{}}$→ ${\displaystyle {Sn}^{}}$ ${\$ S$^{n}\to$ S$^{n}}}$를 연속 지도로 한다$$.Then ${\displaystyle f}$ induces a homomorphism ${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}\left(S^{n}\right)\to H_{n}\left(S^{n}\right)}$, where ${\displaystyle H_{n}\left(\cdot \right)}$ is the ${\displaystyle n}$th homology group.Considering the fact that ${\displaystyle H_{n}\left(S^{n}\right)\cong \mathbb {Z} }$, we see that ${\displaystyle f_{*}}$ must be of the form ${\displaystyle f_{*}\colon x\mapsto \alpha x}$ for some fixed ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$. This ${$$\displaystyle \property }$을(를) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 정도라고 한다$$$.$

다지관 사이

대수 위상

X와 Y를 m-차원 다지관으로 연결한다.다지관의 방향성은 상위 호몰로지 그룹이 Z에 대해 이형성이라는 것을 의미한다.방향을 선택하는 것은 상위 동종학 그룹의 생성자를 선택하는 것을 의미한다.

연속 지도 f : X →Y는 H_m(X)에서 H_m(Y)로 동형상 f를_∗ 유도한다.［X］를 놓아, resp.[Y] H_m(X)의 선택된 발생기로서 resp.H_m(Y) 또는 X, Y의 기본 클래스.그 다음 f의 정도는 f([X])로_* 정의된다.바꾸어 말하면, 환언하면

${\displaystyle f_{*}([X])=\deg(f)[Y]\,}$

Y와 f(y)의 y가 유한 집합인 경우 f(y)의 각 지점에서 X의 m번째 국소 호몰로지 그룹을 고려하여 f의 정도를 계산할 수 있다.

미분 위상

미분위상 언어에서 평활지도의 정도는 다음과 같이 정의할 수 있다.f가 콤팩트한 다지관이고 p가 f의 정규값인 평탄한 지도라면 유한 집합을 고려한다.

${\displaystyle f^{-1(p)=\{x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\,}\,}$

p가 규칙적인 값이 됨으로써, 각 x의_i 이웃에서 지도 f는 국부적인 차이점형(표지형 지도)이다.차이점 형태는 방향 보존 또는 방향 역전이 될 수 있다.r은 f가 방향을 유지하는 지점 x의_i 수이고, s는 f가 방향을 반전시키는 지점의 수이다.f의 코도메인이 연결되었을 때, 숫자 r - s는 p의 선택과 무관하며(n은 n은 아니지만!) 하나는 f의 정도를 r - s로 정의한다.이 정의는 위의 대수적 위상학적 정의와 일치한다.

동일한 정의가 경계가 있는 콤팩트 다지관에 적용되지만, 그 다음 f는 X의 경계를 Y의 경계에 보내야 한다.

또한 학위모듈로 2(deg₂(f))를 전과 동일하게 정의하되 Z₂ 호몰로학에서 근본적인 수업을 들을 수 있다.이 경우 deg₂(f)는₂ Z의 요소(두 개의 요소가 있는 필드)이며, 다지관의 방향을 지정할 필요가 없으며, n이 이전과 같이 p의 사전 이미지 수인 경우 deg₂(f)는 n modulo 2이다.

미분 형식의 통합:⟨ c, ω ⟩)∫ c({\textstyle\langlec,\omega \rangle =\int_{c}\omega}, c{\displaystyle c}은 상동 반은 사이클 c{\displaystyle c}로 표현되 ω{\displaystyle \omega}는 닫힌 형태가 r(C∞-)singular 상동과 드 Rham cohomology 사이에 짝 짓기를 준다e드 람 코호몰로지 수업 발표.방향성 m-매니폴드 사이의 평활도 f : X →Y는 다음과 같다.

${\displaystyle \left\langle f_{*}[c],[\omega ]\right\angle =\left\langle [c],f^{*}[\omega ]\right\angle ,}$

여기서 f와_∗ f는^∗ 각각 체인과 형태에서 유도된 지도다.f_∗[X] = deg f · [Y]이므로 우리는

${\displaystyle \deg f\int _{Y}\omega =\int _{X}f^{*}\omega \,}$

Y의 모든 m-form Ω에 대해.

닫힌 지역의 지도

If ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$is a bounded region, ${\displaystyle f:{\bar {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}}$ smooth, ${\displaystyle p}$ a regular value of ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle p\notin f(\partial \Omega )}$, then the degree ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$, ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle \deg(f,\Oomega ,p)}$은 공식으로 정의된다$$.

${\displaystyle \deg(f,\Oomega ,p):=\sum _{y\in f^{-1(p)}\operatorname {sgn} \det(Df(y))}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$( y${\displaystyle }$) ${\displaystyle Df(y)}$은(는) $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$에 $있는{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle$f}의 Jacobi 행렬이다$.$

This definition of the degree may be naturally extended for non-regular values ${\displaystyle p}$ such that ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg \left(f,\Omega ,p'\right)}$ where ${\displaystyle p'}$ is a point close to ${\displaystyle p}$.

등급은 다음 특성을 만족한다.^[2]

• ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle f}$ , ${\displaystyle \Omega \stackrel{}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle ¯"}$ ,${\displaystyle p}$ )${\displaystyle 0}$ 0$${\$displaystyle \deg \left(f$, ${\bar {\Oomega$$}},$$p\right)\$$neq$ 0$\}$이(가) $있으면{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x}$) = ${\displaystyle p}${\$displaystystylease f(x)=p$가 있다$$${\displaystyle .}$
• ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle (\mathrm{ID}}$ ,${\displaystyle \Omega }$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \deg(\operatorname {id},\Oomega ,y)=1}$ 모든 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle y\in \Oomega }$에 대한$$ $.$
• 분해 특성:

  ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega _{1},y)+\deg(f,\Omega _{2},y)}$, if ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$ are disjoint parts of ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}}$ and ${\displaystyle y\notin f}$${\displaystyle (\Omega {\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}{}_{}}$ ∪ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle y\not \in$ f$\left({\overline{\Oomega }}}}\setminus \left(\Oomega _{1}\cup \Oomega _{2}\rigega \rig$)\ript$)\}\}\}.$

• 호모토피 침입:If ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle g}$ are homotopy equivalent via a homotopy ${\displaystyle F(t)}$ such that ${\displaystyle F(0)=f,\,F(1)=g}$ and ${\displaystyle p\notin F(t)(\partial \Omega )}$, then ${\displaystyle \mathrm{deg}(f,\mathrm{\Omega },p)=\mathrm{deg}(g,\mathrm{\Omega },p)}$${\displaystyle \deg(f,\Oomega,p)=\deg(g,\Oomega,p)}$
• $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (f}$, ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle p\mapsto \deg(f,\\Oomega ,p)}$ 함수는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle \mathrm{\partial }}$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle \mathb {n}-f(\partial \Oomega$)에서 로컬로 일정하다$$.

이러한 특성은 정도를 고유하게 특징짓고, 그 정도는 자명한 방식으로 정의될 수 있다.

비슷한 방법으로, 우리는 경계를 가진 콤팩트 지향 다지관 사이의 지도의 정도를 정의할 수 있다.

특성.

지도의 정도는 호모토피 불변량이다. 더욱이 구에서 그 자체로 이어지는 연속 지도의 경우 완전한 호모토피 불변량이다. 즉, 두 지도 $f{\displaystyle }$, g${\displaystyle }$: ${\displaystyle S^{}}$ ${\displaystyle n{}^{}}$→ ${\displaystyle S^{}}$ n $displaystyle f,g:$$S^{n}\to S^{n}\,}$은(는${\displaystyle )}$ deg${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$( g${\displaystyle }$)$${\$displaystyle \deg(f)=\deg(g)}$인 경우에만 동음극적이다$.$

즉, 학위는${\displaystyle }$[${\displaystyle S{}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ S ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle S^{}}$ ${\$과(와) $Z{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\${Z$}$ 사이의 이형이다$.$

또한, Hopf 정리에서는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}차원$ 폐쇄$$ 지향 다지관 M${\displaystyle ,}$ 2개의 지도 $f{\displaystyle }$ , ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle S^{}}$ ${\$$M\to S^{n}$는 ${\displaystyle \mathrm{deg}\mathrm{deg}}$ (${\displaystyle }$f${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{deg}}$ ${\displaystyle }$ ( ${\displaystyle g}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \deg(f)=\deg(g$)인 경우에만 동일시적이다$.$$}$

자체 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$→ ${\displaystyle S^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$n-sphere의 $S$$^{n}\to S^{n}}$은(는) 지도 $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$로 확장할 수 있다.$B_{n}\to S$$^{n}$ 만약 ${\displaystyle \mathrm{deg}(\mathrm{f}}$)${\displaystyle }$= 0 ${\$$displaystyle$ $\deg(f)=0}$이(가) 될 경우에만 n-ball에서$$ n-sphere로. $($여기서 F 함수는 f가 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$에 대한 $제한$이라는 의미에서 f를 확장한다$.)$

학위 계산

n차원 상자 B(n 간격의 산물)에서 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}$까지 연속함수 f의 위상학도 deg(f, B, 0)를 계산하는 알고리즘이 있는데, 여기서 f는 산술적 표현식의 형태로 주어진다$.$^[3]이 알고리즘의 구현은 TopDeg - 학위 계산용 소프트웨어 도구(LGPL-3)에서 이용할 수 있다.

참고 항목.

• 포함 번호, 유사하게 명명된 용어.권선 번호는 일반화하지 않고 볼에 의해 세트의 커버를 설명한다는 점에 유의하십시오.
• 다면 아날로그 밀도(폴리토프),
• 위상학 학위론

메모들

참조

• Flanders, H. (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. Dover.
• Hirsch, M. (1976). Differential topology. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.
• Milnor, J.W. (1997). Topology from the Differentiable Viewpoint. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-04833-8.
• Outerelo, E.; Ruiz, J.M. (2009). Mapping Degree Theory. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4915-6.

외부 링크

• "Brouwer degree", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Rade T. Zivaljevic의 지도 제작 학위를 알아봅시다.