흐름(수학)

수학에서 흐름은 유동체에서 입자의 움직임의 개념을 공식화한다. 과학에는 공학이나 물리학을 포함해 어디에서나 흐름이 있다. 흐름의 개념은 보통의 미분 방정식을 연구하는 데 기본이다. 비공식적으로, 흐름은 시간의 경과에 따른 점의 연속적인 움직임으로 볼 수 있다. 좀 더 형식적으로, 흐름은 집합에 있는 실수의 집단 행동이다.

벡터 흐름, 즉 벡터 장에 의해 결정되는 흐름의 개념은 미분위상, 리만 기하학, 리 그룹 영역에서 발생한다. 벡터 흐름의 구체적인 예로는 지오데틱 흐름, 해밀턴 흐름, 리치 흐름, 평균 곡률 흐름, 아노소프 흐름이 있다. 흐름은 또한 무작위 변수와 확률적 프로세스의 시스템에 대해 정의될 수 있으며, 에고다이내믹 시스템의 연구에서 발생한다. 이것들 중 가장 유명한 것은 아마도 베르누이 흐름일 것이다.

형식 정의

집합 X에 대한 흐름은 X에 있는 실제 숫자의 첨가된 그룹의 그룹 작용이다. 좀 더 명시적으로 흐름은 매핑이다.

${\displaystyle \varphi :X\times \mathbf {R} \rightarrow X}$

즉, 모든 x x x와 모든 실제 숫자의 경우

${\displaystyle \varphi(x,0)=x;}$

${\displaystyle \varphi(x,t),s)=\varphi(x,s+t)}$

φ(x, t) 대신 φ^t(x)를 쓰는 것이 관례로 되어 있어 위의 방정식은⁰ = = Id(identity function)와^st = = ((집단법)으로^s+t 표현할 수 있다. 그 다음, 모든 t for R에 대해 지도 φ^t: X → X는 역 φ^−t: X → X를 갖는 편향이다. 이는 위의 정의에서 따르며, 실제 매개변수 t는 기능 반복에서와 같이 일반화된 기능 동력으로 간주될 수 있다.

흐름은 대개 세트 X에 제공된 구조물과 호환되어야 한다. 특히 X에 위상이 탑재된 경우, 일반적으로 φ은 연속성이 요구된다. X가 다른 구조를 갖추고 있다면 φ은 보통 다른 구조를 갖추어야 한다. 이 경우 흐름은 각각 동형성 및 차이형성의 하나의 매개변수 하위그룹을 형성한다.

특정 상황에서는 일부 하위 집합에서만 정의되는 로컬 흐름을 고려할 수도 있다.

${\displaystyle \mathrm {dom}(\varphi )=\{(x,t)\\\in [a_{x}b_{x}]\ a_{x}<0<b_{x}\in X\}\subset X\time \mathb {R}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

φ의 flow domain이라 불린다. 벡터 필드의 흐름은 흔히 그러하다.

대체 표기

흐름을 암묵적으로 만드는 표기법을 사용하는 것은 공학, 물리학, 미분방정식 연구 등 여러 분야에서 매우 일반적이다. 따라서 x(t)는 φ^t(x₀)에 대해 쓰여 있으며, "변수 x는 시간 t와 초기 조건 x = x"에₀ 따라 다르다고 말할 수 있다. 예는 다음과 같다.

부드러운 다지관 X에서 벡터장 V의 흐름의 경우, 그 흐름은 종종 그 발전기가 명시적으로 만들어지는 방식으로 표시된다. 예를 들어,

$\displaystyle \Phi _{V}X\time\mathbf {R}\to X;\qquad (x,t)\mapsto \Phi _{V}^{t}(x)}$

오르빗

X에 X가 주어지면$,{\displaystyle }$ 세트 { ${\displaystyle \phi }$( ${\displaystyle x}$, t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{\varphi (x,t):t\in \mathb{R} \}}}}}}$은 φ아래 X의 궤도라고 불린다$$. 비공식적으로, 그것은 처음에 x에 위치했던 입자의 궤적으로 간주될 수 있다. 만약 흐름이 벡터장에 의해 생성된다면, 그것의 궤도는 그것의 적분 곡선의 이미지들이다.

예

대수 방정식

Let f: R → X는 시간에 의존하는 궤도로서, 즉 비주기적 함수인 생체 함수다. 그러면 흐름은 다음에 의해 정의될 수 있다.

${\displaystyle \varphi(x,t)=f(t+f^{-1}(x)).}$

일반 미분방정식의 자율시스템

F: Rⁿ → R은ⁿ (시간 독립) 벡터장이 되고 x: R → R은ⁿ 초기값 문제의 해결책이다.

${\dottyle {\boldsymbol {x}}(t)={\boldsymbol {F}({\boldsymbol {x})(t)),\qquad {\boldsymbol {x}(0)={\boldsymbol {x}_{0}.}$

그러면 φ(x₀, t) = x(t)는 벡터장 F의 흐름이다. 벡터장 F: Rⁿ → R이ⁿ 립스치츠-연속이라는 전제하에 잘 정의된 국소 흐름이다. 그 다음 φ: Rⁿ × R → Rⁿ 역시 정의되는 곳이면 어디든 립스키츠-연속적이다. 일반적으로 흐름 φ이 세계적으로 정의되어 있다는 것을 보여주기는 어려울 수 있지만, 한 가지 간단한 기준은 벡터장 F가 압축적으로 지지된다는 것이다.

시간에 따른 일반 미분 방정식

시간에 의존하는 벡터장 F: Rⁿ × R → R의ⁿ 경우 one^t,t₀(x₀) = x(t + t₀)를 의미하며, 여기서 x: R → R은ⁿ 의 해법이다.

${\dot {\boldsymbol{x}}(t)={\boldsymbol{x}}({\boldsymbol {x})(t),\qquad {\boldsymbol {x}(t_{0}})={\boldsymbol {x}}{0}.}$

그렇다면 φ^t,t₀(x₀)는 F의 시간 의존적인 흐름이다. 위의 정의에 의한 「흐름」은 아니지만, 그 주장을 재정비해 보면 쉽게 하나로 볼 수 있다. 즉, 매핑

${\displaystyle \varphi :(\mathbf {R} ^{n}\times \mathbf {R} )\times \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{n}\times \mathbf {R} ;\qquad \varphi (({\boldsymbol {x}}_{0},t_{0}),t)=(\varphi ^{t,t_{0}}({\boldsymbol {x}}_{0}),t+t_{0})}$

실제로 마지막 변수에 대한 그룹 법칙을 충족한다.

${\displaystyle \varphi(({\displaysymbol {x}_{0},t}),s)}$${\displaystyle =\varphi((\varphi ^{t,t_{0}))}({\barphi ^{t,t_{0}),t+t_{0}s)}$${\displaystyle =(\varphi ^{s,t+t_{0})(\varphi ^{t,t_{0})({\barphiymbol {x}_{0}),s+t+t_{0}}}$${\displaystyle =(\varphi ^{s,t+t_{0})({\symbol {x}(t+t_{0}),s+t+t_{0}}}$${\displaystyle =({\displaysymbol {x})(s+t+t_{0}),s+t+t_{0}}$${\displaystyle =(\varphi ^{s+t,t_{0})({\symbol {x}_{0}),s+t+t+t_{0}}}}$${\displaystyle =\varphi(({\symbol {x}_{0}},t_{0}),s+t).}$

벡터 필드의 시간에 의존하는 흐름을 다음과 같은 수법으로 시간에 의존하는 특수한 사례로 볼 수 있다. 정의

${\displaystyle {\boldsymbol {G}({\boldsymbol {x},t):==({\boldsymbol {F})({\boldsymbol {x},t),1)\qquad {\boldsymbol {y}(t):=({\\symbol{x})(t+t_{0}),t+t_{0}).}$

그러면 y(t)는 "시간 독립적인" 초기 가치 문제의 해결책이다.

${\dot {\dot}{\boldsymbol{y}}}={\boldsymbol{G}({\boldsymbol {y})},\qquad {\boldsymbol {y}(0)=({\boldsymbol {x}}}}}, t_{0}}}}}}}})}$

x(t)가 원래 시간 경과에 따른 초기 값 문제의 해결책인 경우에만. 더욱이, 매핑 φ은 정확히 "시간 독립적인" 벡터 필드 G의 흐름이다.

다지관의 벡터장 흐름

시간 독립적이고 시간에 의존하는ⁿ 벡터 장의 흐름은 유클리드 공간 R에 정의된 것과 정확히 같은 매끄러운 다지관에 정의되며, 이들의 국소적 행동은 동일하다. 그러나 매끄러운 다지관의 지구 위상학적 구조는 그것이 어떤 종류의 글로벌 벡터장을 지원할 수 있는가에 강하게 나타나며, 매끄러운 다지관의 벡터장 흐름은 실로 미분위상에서의 중요한 도구다. 동적 시스템의 대부분의 연구는 용도에서 "변수 공간"으로 생각되는 매끄러운 다지관에서 수행된다.

열 방정식의 해법

Ω은 R(nⁿ 정수를 가진)의 하위 도메인(경계든 아니든)이 되도록 한다. Ⅱ에 의해 그 경계(평활하다고 가정함)를 나타낸다. T > 0에 대해 Ω × (0,T)에 대해 다음과 같은 열 방정식을 고려한다.

${\displaystyle {\begin{t}{rcll}u_{t}-\Delta u&=0&#{\mbox{{in}}}}}}\오메가 \time (0,T),\u&#0&{\mbox{}}}}}}}}$

다음과 같은 초기 경계 조건 u(0) = Ω으로 u⁰.

등식 u = × (0, T)는 동질 디리클레 경계 조건에 해당한다. 이 문제에 대한 수학적 설정은 세미그룹 접근법이 될 수 있다. 이 도구를 사용하려면 도메인별로$$ $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle$ L$^{2}(\Oomega )}$에 정의된 무한 연산자 Δ를_D 소개한다.

${\displaystyle D(\Delta _{D}}=H^{2}(\Oomega )\cap H_{0}^{1}(\Oomega )}$

($H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$= W ${\displaystyle k^{}}$, ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle$ H$^{k}(\Oomega )=$가 있는 고전적인 Sobolev 공간을 참조한다.$W$$^{k,2}(\Oomega )}$ 및

${\displaystyle H_{0}^{1}^{1}(\Oomega )={\overline {C_{0}^{\infline }}(\Oomega )}}^{{\infline }}}}}}}}}}}^{{{\overlineH^{1}(\Oomega )}}}$

$H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle H^{1}(\Oomega )-}$ 표준에$$ 대해 Ω으로 콤팩트하게 지지하여 무한히 다른 기능을 닫는 것이다.

$모든{\displaystyle }$ v${\displaystyle d}$D (${\displaystyle {\Delta }_{}}$D )$${\$displaystyle$v\$in$ D$(\Delta _{D$에 대해 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle \D}v=\Delta v=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}V~}$

이 연산자를 사용하면 열 방정식이 $u{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \prime }$ (${\displaystyle t}$) = ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ D ${\displaystyle {}_{}u}$ ( t ) ${\displaystyle u'(t)=\Delta _{D}u$$(t)},$ u(0) = u⁰. 따라서 이 방정식에 해당하는 흐름은 (위의 공지를 참조)이다.

${\displaystyle \varphi(u^{0}t)={\mbox{e}^{t\Delta_{D}u^{0}}}$

여기서 exp(TΔ)_D는 Δ에_D 의해 생성된 (분석적) sem그룹이다.

파동 방정식의 해법

다시 Ω을 R(nⁿ 정수를 가진)의 하위 도메인(경계된 도메인 또는 그렇지 않은 도메인)이 되게 한다. 우리는 Ⅱ에 의해 그 경계를 나타낸다(평탄하다고 가정한다). $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle \Oomega \time (0,T)}($T > 0)에 대한 다음 파형 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin{array}{rcll}u_{tt}-\delta u&=0&#0&{\mbox{in}}}}}}}\오메가 \time (0,T),\u&#0&{\mbox{{}}}}}}}}$

다음의 초기 조건 u(0) = $\Omega$^1,0 ${\displaystyle \Oomega$$}$ 및${\displaystyle {}^{}\mathrm{u}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \Omega \mathrm{}}$ ${\displaystyle u_{t}(0)=u^{2,0}{\mbox$

위의 열 방정식의 경우와 동일한 세미그룹 접근법을 사용한다. 우리는 다음의 무한 연산자를 도입하여 파동 방정식을 시간 부분 미분 방정식의 첫 번째 순서로 쓴다.

${\displaystyle {\mathcal {A}=\좌측({\begin{array}{cc}0)&Id\\\Delta _{D}&0\end{array}\오른쪽)}$

${\displaystyle 도메인\mathcal{}}$ $D{\displaystyle (}$ A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {H\mathrm{}}^{}}$ 2 (${\displaystyle {}^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}\mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle \times }$ H ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 (${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ $){\displaystyle$ D$({\mathcal {A})=$가 있는 경우$H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )\times H_{0}^{1}(\Omega )}$ on ${\displaystyle H=H_{0}^{1}(\Omega )\times L^{2}(\Omega )}$ (the operator ${\displaystyle \Delta _{D}}$ is defined in the previous example).

우리는 칼럼 벡터를 소개한다.

${\displaystyle U=\왼쪽({\begin{array}{c^{1}\\u^{2}\end{array}\오른쪽)}$

(여기서 $u{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u^{1}=u$$}$ 및 $u{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle u_{}}$ t ${\$ 및

${\displaystyle U^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$= (${\displaystyle \begin{array}{c}{u\mathrm{}}^{}\end{array}}$ 1, 0 ${\displaystyle \begin{array}{c}{\mathrm{u}}^{}\end{array}}$ 2,${\displaystyle \begin{array}{c}{}^{}\end{array}}$0${\displaystyle \begin{array}{c}{}^{}\end{array}}$) ${\$1,$0}\u^{$2,$0}\end{array}\오른쪽)}$.

이러한 개념으로 ${\displaystyle \mathrm{파동}}$ 방정식은 $U{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U\mathcal{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle U'(t)={\mathcal{A}U(t)}$와 U${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\$ U $(0)=$가 된다.$U^{0}}$ $.$

따라서 이 방정식에 해당하는 흐름은 φ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ t ${\displaystyle {U\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 0^{}{}^{}}$ ${\$이다.$U^{0}}$ 여기서$$ ${\displaystyle {e\mathcal{}}^{}}$ T ${\$는 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 의해 생성된 (단일) 세미그룹이다$.$

베르누이 흐름

임의성을 나타내는 시스템인 에고다이내믹 시스템도 흐름을 나타낸다. 이것들 중 가장 유명한 것은 아마도 베르누이 흐름일 것이다. Ornstein 이소모르피즘 정리에서는 어떤 주어진 엔트로피 H에 대해서도 베르누이 흐름이라고 하는 흐름 ((x, t)이 존재하여 시간 t = 1, 즉 φ(x, 1)의 흐름이 베르누이 교대라고 기술하고 있다.

게다가, 이 흐름은 시간이 일정하게 재조정될 때까지 독특하다. 즉, 만약 ((x, t)이 엔트로피가 같은 또 다른 흐름이라면, 어떤 상수 c에 대해서는 =(x, t) = φ(x, t)이다. 여기서 고유성과 이형성의 개념은 역동적인 시스템의 이형성의 개념이다. 시나이 당구, 아노소프 흐름 등 많은 역동적인 시스템은 베르누이 교대조에 이형적이다.

참고 항목

• 아벨 방정식
• 반복함수
• 슈뢰더 방정식
• 분석 기능의 무한 구성

참조

• D.V. Anosov (2001) [1994], "Continuous flow", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• D.V. Anosov (2001) [1994], "Measureable flow", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• D.V. Anosov (2001) [1994], "Special flow", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• 이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 Flow on PlanetMath의 자료가 통합되어 있다.