실선

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수학에서, 실선, 즉 실번선은 실번인 점을 가진 선이다. 즉, 실제 선은 기하학적 공간, 즉 차원 1의 유클리드 공간으로 보는 모든 실수의 집합 R이다. 벡터 공간(또는 아핀 공간), 미터 공간, 위상학적 공간, 측정 공간 또는 선형 연속체로 생각할 수 있다.

실수의 집합과 마찬가지로 실선은 대개 기호 R(또는 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$칠판 굵게 표시된 문자 "R")으로 표시된다. 그러나 최초의 유클리드 공간으로서의 역할을 강조하기 위해 R로¹ 표기하기도 한다.

이 글은 위상, 기하학, 실제 분석에서 기하학적 공간으로서의 R의 측면을 중점적으로 다루고 있다. 실수는 분야로서 대수학에서도 중요한 역할을 하지만, 이러한 맥락에서 R은 거의 행이라고 하지 않는다. R에 대한 자세한 내용은 실제 번호를 참조하십시오.

선형 연속체로서

실제 선은 표준 < 순서>에 따른 선형 연속선이다. 구체적으로는 실선은 <>에 의해 선형적으로 순서가 되며, 이 순서는 밀도가 높고 상행성이 가장 적다.

위의 속성 외에 실선은 최대 또는 최소 요소가 없다. 그것은 또한 셀 수 있는 밀도 높은 부분집합, 즉 합리적인 숫자의 집합을 가지고 있다. 계수 가능한 밀도 부분 집합이 있고 최대 또는 최소 원소가 없는 선형 연속체는 실제 선에 대해 순서가 이형적이라는 것이 정리다.

실제 라인은 또한 계산 가능한 체인 조건을 만족시킨다. 즉, R에서 상호 불연속, 비어 있지 않은 개방 간격의 모든 컬렉션을 계산할 수 있다. 순서 이론에서, 유명한 서슬린 문제는 최대 요소나 최소 요소가 없는 계산 가능한 체인 조건을 만족하는 모든 선형 연속체가 반드시 R에 대한 순서 이형성인지 여부를 묻는다. 이 진술은 ZFC로 알려진 집합 이론의 표준 자명 체계와는 무관한 것으로 밝혀졌다.

미터법 공간으로서

실제 선은 미터법 공간을 형성하며 거리 함수는 절대 차이에 의해 주어진다.

${\displaystyle d(x,y)=x-y.}$

미터법 텐서는 분명히 1차원 유클리드 미터법이다. n차원 유클리드 메트릭은 매트릭스 형태로 n-by-n ID 매트릭스로 나타낼 수 있기 때문에, 실제 라인의 메트릭은 단순히 1-by-1 ID 매트릭스, 즉 1이다.

p ∈ R과 ε > 0이면 p를 중심으로 한 R의 ε-볼은 단순히 열린 간격(p - ε, p + ε)이다.

이 실제 선에는 메트릭 공간으로 다음과 같은 몇 가지 중요한 속성이 있다.

• 실제 선은 포인트의 모든 코치 시퀀스가 수렴한다는 의미에서 완전한 미터법 공간이다.
• 실제 선은 경로로 연결되어 있으며 지오데틱 메트릭 공간의 가장 간단한 예 중 하나이다.
• 실선의 하우스도르프 차원은 1과 같다.

위상학적 공간으로서

실제 라인은 표준 위상(standard topology)을 전달하는데, 이는 두 가지 다른 등가 방식으로 도입될 수 있다. 첫째, 실수는 순서가 완전히 정해져 있기 때문에 순서의 토폴로지를 가지고 있다. 둘째, 실제 숫자는 위에서 정의한 메트릭의 메트릭 토폴로지를 상속한다. R의 순서 위상과 미터법 위상은 동일하다. 위상학적 공간으로서 실제 선은 열린 간격(0, 1)에 대한 동형이다.

진짜 선은 사소한 것같이 차원 1의 위상학적 다지관이다. 동형사상까지, 그것은 경계가 없는 서로 다른 두 개의 연결된 1마니폴드 중 하나이고, 다른 하나는 원이다. 또한 그 위에 표준적인 차별화 구조도 있어 차별화 가능한 다지관이 된다.(차이형주의까지 위상학적 공간이 지탱하는 차별화 구조는 하나밖에 없다.)

실제 라인은 국소적으로 콤팩트한 공간과 파라콤팩트 공간은 물론, 2차 카운트 및 일반 공간이다. 또한 경로로 연결되어 있어, 어느 한 점을 제거해도 연결이 끊길 수 있다. 실제 라인은 또한 수축이 가능하며, 따라서 호모토피 그룹과 감소된 호몰로지 그룹은 모두 0이다.

지역적으로 콤팩트한 공간으로서 실제 라인은 여러 가지 다른 방법으로 컴팩트해질 수 있다. R의 원 포인트 콤팩트화는 원(명칭, 실제 투사선)이며, 추가 포인트는 부호 없는 무한대로 생각할 수 있다. 또는 실제 라인은 두 개의 끝을 가지며, 그 결과 엔드 컴팩트화는 확장된 실제 라인[-continue, +compaction]이다. 실선의 스톤-체크 콤팩트화도 있는데, 여기에는 무한히 많은 가산점이 추가된다.

어떤 맥락에서 하한 위상이나 자리스키 위상과 같은 다른 위상들을 실제 숫자의 집합에 배치하는 것이 도움이 된다. 실수의 경우 후자는 유한보완 위상과 같다.

벡터 공간으로서

실제 선은 치수 1의 실수의 필드 R(즉, 그 자체 위에) 위에 있는 벡터 공간이다. 내적인 상품으로 통상적인 곱셈을 가지고 있어 유클리드 벡터 공간이 된다. 이 내적 생산물에 의해 정의되는 규범은 그야말로 절대값이다.

측정 공간으로서

실선은 정론적인 조치, 즉 르베그 측정이 수반된다. 이 측정은 R에 정의된 보렐 측정의 완료로 정의될 수 있으며, 여기서 구간의 측정은 구간의 길이입니다.

실제 라인의 르베그 측도는 지역적으로 콤팩트한 그룹에서 하르 측도의 가장 간단한 예 중 하나이다.

진짜 알헤브라스에서

실제 선은 실제 대수 A의 1차원 하위 공간이며, 여기서 R a A.^{[clarification needed]} 예를 들어 복합 평면 z = x + iy에서 하위 공간 {z : y = 0}은 실제 선이다. 마찬가지로 쿼터니온의 대수.

q = w + x i + y j + z k

하위 공간에 실제 선이 있음 {q : x = y = z = 0 }.

실제 대수학이 $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \oplus }$ V${\displaystyle }$, ${\displaystyle A=R\oplus V}$인 경우, A에$$ 대한 결합은 $하위공간{\displaystyle }$ V의 매핑$\$ - v {\$displaystyle$v$\mapsto$ -v}에 의해 도입된다. 이러한 방식으로 실제 선은 결합의 고정된 점들로 구성된다.

참고 항목

• 칸토르-데데킨드 공리
• 초실수선
• 상상의 선(수학)
• 선(지오메트리)
• 투영 확장 실선
• 리얼 투영 라인

참조

• Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Rudin, Walter (1966). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-100276-6.