랜덤 기하 그래프

그래프 이론에서 랜덤 기하학 그래프(RGG)는 수학적으로 가장 단순한 공간 네트워크, 즉 (특정 확률 분포에 따라) 어떤 메트릭 공간에 랜덤하게 N개의 노드를 배치하고, 예를 들어 거리가 특정 범위 내에 있는 경우에만 링크에 의해 2개의 노드를 연결함으로써 구성된 무방향 그래프이다.근린 반지름, r.

랜덤 기하학 그래프는 여러 가지 면에서 실제 인간 사회 네트워크와 유사하다.예를 들어, 이들은 모듈성이 높은 노드의 클러스터인 커뮤니티 구조를 자발적으로 보여준다.Erdss-Rényi 모델 또는 Barabashi-Albert(BA) 모델을 사용하여 생성된 알고리즘과 같은 다른 랜덤 그래프 생성 알고리즘은 이러한 유형의 구조를 생성하지 않는다.또한 랜덤 기하학 그래프는 공간적 ^[1]차원에 따라 정도 구분을 표시합니다. "인기적" 노드(많은 링크가 있는 노드)는 특히 다른 인기 노드에 링크될 가능성이 높습니다.

RGG의 실제 적용은 애드혹네트워크 ^[2]모델링입니다.또한 (외부) 그래프 알고리즘의 벤치마크를 수행하기 위해 사용됩니다.

정의.

다양한 접속 파라미터 r에 대한 랜덤 기하학 그래프 생성.

다음에서, G $= (V,$ E)는 $정점$ V 세트와 $가장자리 E \times V$ × V 세트를 가진 무방향 그래프를 나타낸다. 세트 크기는 V = $n$ $및$ E = $m$ 으로 $나타낸다$ .또한 달리 명시되지 않은 경우 유클리드 거리를 갖는 메트릭공간 [ $0,1)$ $d$ 을 고려한다. 즉 $x,y\in [0,1)^{d}$ $x,y\in [0,1)^{d}$ , $x,y\in [0,1)^{d}$ † [ $1$ $x,y\in [0,1)^{d}$ \ $x,y\in [0,1)^{d}$ 의 $x,y\in [0,1)^{d}$ 유클리드 거리는 다음과 같이 정의된다.

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

(

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

,

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

y )

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

-

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

- y

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

d (

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

- y

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

)

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

{

display style

d (

x

, y ) =

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

x - y

_

{2} =

secrt

{

sum

_ { i

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

=

1

}^{

d

（

x

_

i

} -

y

_ {

i

} }

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

} }

d(x,y)=||x-y||_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{d}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

} 。

랜덤 지오메트릭 그래프(RGG)는 기본 공간의균일한 분포[0 $,1]$ $d$ ^[3]에서 랜덤으로 샘플링된 노드를 가진 무방향 지오메트릭 그래프이다.2개의 $정점$ p, $q v$ V는 루프를 제외하고 그 거리가 이전에 지정된 $파라미터$ r ( ( $0,$ 1)보다 작은 경우에만 연결됩니다.따라서 $파라미터$ $r$ 과 n은 RGG의 특성을 완전히 나타냅니다.

알고리즘

순진한 알고리즘

순진한 접근법은 모든 정점에서 다른 모든 정점까지의 거리를 계산하는 것입니다.n ${\textstyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$ ( ${\textstyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$ - ${\textstyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$ ) ${\textstyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$ ( \ $textstyle$ \ $frac { n$ ( n - 1 ) } { ${\textstyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$ } )이 ${\textstyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$ 체크되어 ${\textstyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$ 때문에, Naigive 알고리즘의 시간 복잡도는 ${\textstyle \Theta (n^{2})}$ ity ( n ${\textstyle \Theta (n^{2})}$ ) ( \ $textstyle$ \ $Theta$ ( n^ {2} ${\textstyle \Theta (n^{2})}$ 입니다.샘플은 [ $[0,1)^{d}$ $[0,1)^{d}$ $\$ )^{ $d$ 에 RNG(랜덤 번호 생성기)를 사용하여 생성됩니다. $[0,1)$ 는 [ $[0,1)$ 1 $]$ \ $displaystyle$ [ $0,$ 1 $[0,1)$ 에 $[0,1)$ RNG를 1개씩 사용하여 구현할 수 있습니다.

유사 코드

V : = generateSamples(n) // 단위 큐브에서 n개의 샘플을 생성합니다.각 p v V에 대해 q V\{p} do distance(p, q) then r 、 add Connection(p, q) // 엣지(p, q)를 엣지 데이터 구조에 추가합니다.끝끝내로 끝나다

이 알고리즘은 측정할 수 없기 때문에(모든 정점은 다른 모든 정점에 대한 정보를 필요로 한다), Holtgrewe 등 및 Funke 등.님은 이 문제에 대한 새로운 알고리즘을 도입했습니다.

분산 알고리즘

홀트그레위 외

Holtgrewe 등이 제안한 이 알고리즘은 차원 ^[4]2에 대한 최초의 분산 RGG 발생기 알고리즘이었다.유닛의 정사각형을 변의 $r$ 가r $이상$ 인 동일한 크기의 셀로 분할합니다 $.$ 특정 $P=p^{2}$ $P=p^{2}$ $P=p^{2}$ $P=p^{2}$ 2 ({ $displaystyle P=p^{2$ }})에 $P=p^{2}$ 대해 각 ${\textstyle {k \over p}\times {k \over p}}$ 에 ${\textstyle {k \over p}\times {k \over p}}$ k × ${\textstyle {k \over p}\times {k \over p}}$ $p {$ k \ $over$ p $}\time {k$ \ $over$ p $}$ ${\textstyle {k \over p}\times {k \over p}}$ 할당됩니다. ${\textstyle k=\left\lfloor {1/r}\right\rfloor .}$ 서 k ${\textstyle k=\left\lfloor {1/r}\right\rfloor .}$ 1 $= leftextstyleft style$ \ $fl$ \ fl \ time $r {1/r}\right\rfloor$ .} 단순하게 ${\textstyle k=\left\lfloor {1/r}\right\rfloor .}$ 하기 위해 ${\textstyle P}$ P {\ $textstyle$ P}는 ${\textstyle P}$ 정사각형 수치로 간주되지만 이는 임의의 수의 프로세서로 일반화할 수 있습니다.다음으로 각 프로세서는 ${\textstyle {\frac {n}{P}}}$ 정점을 ${\textstyle {\frac {n}{P}}}$ 하여 $각각$ 의 소유자에게 배포합니다 $.$ 그런 다음 정점은 QuickSort와 같이 셀 번호에 따라 정렬됩니다.다음으로 각 프로세서는 인접한 프로세서에 경계 셀 내의 정점에 관한 정보를 송신하여 각 처리 유닛이 다른 유닛과는 독립적으로 파티션 내의 에지를 계산할 수 있도록 한다.예상되는 실행시간은 O ${\textstyle O({\frac {n}{P}}\log {\frac {n}{P}})}$ ${\textstyle O({\frac {n}{P}}\log {\frac {n}{P}})}$ log ${\textstyle O({\frac {n}{P}}\log {\frac {n}{P}})}$ n ${\textstyle O({\frac {n}{P}}\log {\frac {n}{P}})}$ $){$ $textstyle$ O $({\frac {n}{P}}})\log$ { $frac {n}{P$ 입니다.이 알고리즘의 통신비 상한은 $T_{all-to-all}(n/P,P)+T_{all-to-all}(1,P)+T_{point-to-point}(n/(k\cdot {P})+2)$ $T_{all-to-all}(n/P,P)+T_{all-to-all}(1,P)+T_{point-to-point}(n/(k\cdot {P})+2)$ - $T_{all-to-all}(n/P,P)+T_{all-to-all}(1,P)+T_{point-to-point}(n/(k\cdot {P})+2)$ - a $T_{all-to-all}(n/P,P)+T_{all-to-all}(1,P)+T_{point-to-point}(n/(k\cdot {P})+2)$ ( $T_{all-to-all}(n/P,P)+T_{all-to-all}(1,P)+T_{point-to-point}(n/(k\cdot {P})+2)$ / $T_{all-to-all}(n/P,P)+T_{all-to-all}(1,P)+T_{point-to-point}(n/(k\cdot {P})+2)$ ) + $T_{all-to-all}(n/P,P)+T_{all-to-all}(1,P)+T_{point-to-point}(n/(k\cdot {P})+2)$ l $T_{all-to-all}(n/P,P)+T_{all-to-all}(1,P)+T_{point-to-point}(n/(k\cdot {P})+2)$ l - $T_{all-to-all}(n/P,P)+T_{all-to-all}(1,P)+T_{point-to-point}(n/(k\cdot {P})+2)$ $T_{all-to-all}(n/P,P)+T_{all-to-all}(1,P)+T_{point-to-point}(n/(k\cdot {P})+2)$ 로 $T_{all-to-all}(n/P,P)+T_{all-to-all}(1,P)+T_{point-to-point}(n/(k\cdot {P})+2)$ 됩니다. $e T_{all-to-all}(n/P,$ $T_{올투올}(1,P)+$ $T_{point-to-point}(n/(k\cdot {P}+2$ $T_{all-to-all}(l,c)$ 서 T $T_{all-to-all}(l,c)$ - $T_{all-to-all}(l,c)$ - $T_{all-to-all}(l,c)$ ( $T_{all-to-all}(l,c)$ , c $){$ $displaystyle T_{all$ to all }( $l$ , $c)}$ 는 $T_{all-to-all}(l,c)$ 길이가 긴 메시지와 all-to-all 통신하는 시간을 나타냅니다.l에의 비트.c커뮤니케이션 파트너. $T_{point-to-point}(l)$ $T_{point-to-point}(l)$ $T_{point-to-point}(l)$ n $T_{point-to-point}(l)$ - $T_{point-to-point}(l)$ - $T_{point-to-point}(l)$ $T_{point-to-point}(l)$ n $T_{point-to-point}(l)$ t ( $T_{point-to-point}(l)$ $){$ $displaystyle T_{ point-to-point$ }( $l)$ 는 $T_{point-to-point}(l)$ 긴 메시지의 포인트 투 포인트 통신에 걸리는 시간입니다.l비트를 클릭합니다.

이 알고리즘은 통신이 자유롭지 않기 때문에 Funke 등은^[4] 고차원을 위한 확장 가능한 분산 RGG 발생기를 제안했으며, 이는 처리 장치 간에 어떠한 통신도 없이 작동합니다.

펑크 등

이^[4] 알고리즘에 사용되는 접근법은 Holtgrewe의 접근법과 유사합니다: 단위 큐브를 최소 측면 길이가 있는 동일한 크기의 청크로 분할합니다.r. 그래서...d= 2 이것은 정사각형입니다.d = 3 큐브가 됩니다.1 차원당 ${\textstyle {\left\lfloor {1/r}\right\rfloor }}$ / ${\textstyle {\left\lfloor {1/r}\right\rfloor }}$ ${\$ \ $r$ {\ { \ $textstyle$ \ $lfloor$ { ${\textstyle {\left\lfloor {1/r}\right\rfloor }}$ $1$ / $r }$ \ right \ $lflow$ { 1 / ${\textstyle {\left\lfloor {1/r}\right\rfloor }}$ $r$ } 청크밖에 사용할 수 없기 때문에 청크 ${\textstyle {\left\lfloor {1/r}\right\rfloor }^{d}}$ 는 ${\textstyle {\left\lfloor {1/r}\right\rfloor }^{d}}$ ${\textstyle {\left\lfloor {1/r}\right\rfloor }^{d} \over P}$ / ${\textstyle {\left\lfloor {1/r}\right\rfloor }^{d}}$ r ${\textstyle {\left\lfloor {1/r}\right\rfloor }^{d}}$ d \ $r d1$ / r d d ${\textstyle {\left\lfloor {1/r}\right\rfloor }^{d}}$ ${\textstyle {\left\lfloor {1/r}\right\rfloor }^{d} \over P}$ / r $d1$ / $rfloor$ ${\textstyle {\left\lfloor {1/r}\right\rfloor }^{d} \over P}$ 로 ${\textstyle {\left\lfloor {1/r}\right\rfloor }}$ 제한됩니다.앞과 같이 각 프로세서에 ${\textstyle {\left\lfloor {1/r}\right\rfloor }^{d} \over P}$ 되어 있습니다. $right\rfloor$ }^{ $d}$ \ $over$ P $}$ 청크로 ${\textstyle {\left\lfloor {1/r}\right\rfloor }^{d} \over P}$ 정점을 생성합니다.통신 자유 프로세스를 달성하기 위해 각 프로세서는 시드 해시 함수의 의사 난수화를 이용하여 인접 청크에 동일한 정점을 생성합니다.이렇게 하면 각 프로세서가 동일한 정점을 계산하므로 정점 정보를 교환할 필요가 없습니다.

치수 3의 경우, Funke 등은 예상 실행 시간이 O ${\textstyle O({\frac {m+n}{P}}+\log {P})}$ + ${\textstyle O({\frac {m+n}{P}}+\log {P})}$ + ${\textstyle O({\frac {m+n}{P}}+\log {P})}$ P $)\textstyle$ O $({\frac {m+n})$ 을 보여주었다. $P}}+\log {P$ 처리 장치 간 통신 비용 없음).

특성.

고립된 정점과 연결

RGG에서 하나의 정점이 분리될 확률은 ( ${\textstyle (1-\pi r^{2})^{n-1}}$ - ${\textstyle (1-\pi r^{2})^{n-1}}$ ${\textstyle (1-\pi r^{2})^{n-1}}$ 2) ${\textstyle (1-\pi r^{2})^{n-1}}$ n - ${\textstyle (1-\pi r^{2})^{n-1}}$ { $textstyle (1-\pi$ r $^{2})^{n-1$ ^[5]이다 ${\textstyle (1-\pi r^{2})^{n-1}}$ X ${\textstyle X}$ {\ $textstyle$ X $}$ 를 ${\textstyle X}$ 분리되는 정점의 수를 세는 랜덤 변수라고 ${\textstyle X}$ .X $(\textstyle$ X $)$ 의 ${\textstyle X}$ 기대치는 ${\textstyle E(X)=n(1-\pi r^{2})^{n-1}=ne^{-\pi r^{2}n}-O(r^{4}n)}$ ( $X$ ${\textstyle E(X)=n(1-\pi r^{2})^{n-1}=ne^{-\pi r^{2}n}-O(r^{4}n)}$ ( ${\textstyle E(X)=n(1-\pi r^{2})^{n-1}=ne^{-\pi r^{2}n}-O(r^{4}n)}$ - ${\textstyle E(X)=n(1-\pi r^{2})^{n-1}=ne^{-\pi r^{2}n}-O(r^{4}n)}$ r ${\textstyle E(X)=n(1-\pi r^{2})^{n-1}=ne^{-\pi r^{2}n}-O(r^{4}n)}$ ) ${\textstyle E(X)=n(1-\pi r^{2})^{n-1}=ne^{-\pi r^{2}n}-O(r^{4}n)}$ - ${\textstyle E(X)=n(1-\pi r^{2})^{n-1}=ne^{-\pi r^{2}n}-O(r^{4}n)}$ ${\textstyle E(X)=n(1-\pi r^{2})^{n-1}=ne^{-\pi r^{2}n}-O(r^{4}n)}$ e - ${\textstyle E(X)=n(1-\pi r^{2})^{n-1}=ne^{-\pi r^{2}n}-O(r^{4}n)}$ ${\textstyle E(X)=n(1-\pi r^{2})^{n-1}=ne^{-\pi r^{2}n}-O(r^{4}n)}$ n ${\textstyle E(X)=n(1-\pi r^{2})^{n-1}=ne^{-\pi r^{2}n}-O(r^{4}n)}$ - ${\textstyle E(X)=n(1-\pi r^{2})^{n-1}=ne^{-\pi r^{2}n}-O(r^{4}n)}$ ( ${\textstyle E(X)=n(1-\pi r^{2})^{n-1}=ne^{-\pi r^{2}n}-O(r^{4}n)}$ 4 ${\textstyle E(X)=n(1-\pi r^{2})^{n-1}=ne^{-\pi r^{2}n}-O(r^{4}n)}$ n ) { $textstyle$ E ( X ) = ${\textstyle E(X)=n(1-\pi r^{2})^{n-1}=ne^{-\pi r^{2}n}-O(r^{4}n)}$ n ( $1$ - \ $pi$ r^ { $2$ } $Ne^$ { - 1 = $ne$ ^ { - \ $pi$ r ^ { ^ { - r 2 - r 2 } { n } N ^ { - { n } N （ n $}$ ${\textstyle \mu =ne^{-\pi r^{2}n}}$ ${\textstyle \mu =ne^{-\pi r^{2}n}}$ ${\textstyle \mu =ne^{-\pi r^{2}n}}$ ${\textstyle \mu =ne^{-\pi r^{2}n}}$ e - ${\textstyle \mu =ne^{-\pi r^{2}n}}$ r ${\textstyle \mu =ne^{-\pi r^{2}n}}$ (\ $textstyle \mu =ne^{-\pi$ r $^{2}n})$ 은 ${\textstyle \mu =ne^{-\pi r^{2}n}}$ RGG의 연결성에 대한 정보를 제공한다.μ ${\textstyle \mu \longrightarrow 0}$ 0 \ $textstyle \ mu$ \ long $right arrow$ 0 ${\textstyle \mu \longrightarrow 0}$ }의 경우 RGG는 점근적으로 거의 확실하게 연결되어 있습니다.μ μ μ $\mu \longrightarrow \infty$ $（$ \ $displaystyle \ mu$ \ $long$ rightarrow \ $infty$ 의 경우 RGG는 점근적으로 거의 확실하게 절단됩니다.μ ${\textstyle \mu =\Theta (1)}$ ( ${\textstyle \mu =\Theta (1)}$ $){$ $textstyle$ $\$ $mu$ =\ $Theta (1)$ }의 경우, RGG에는 $n개({$ textstyle ${frac {n}{$ 2}}개 ${\textstyle {\frac {n}{2}}}$ ${\textstyle {\frac {n}{2}}}$ 의 정점이 포함되는 거대 컴포넌트가 $,$ X {\ $displaystyle$ X $\mu$ 는 $X$ $\mu$ μ({ $displaystyle$ \mu $})$ 와 함께 분포된 포아송입니다. μ({ $textstyle$ \ $mu)$ ${\textstyle \mu =\Theta (1)}$ RGG가 연결되어 있는 것은 P ${\textstyle P[X=0]\sim e^{-\mu }}$ [ ${\textstyle P[X=0]\sim e^{-\mu }}$ $=$ ${\textstyle P[X=0]\sim e^{-\mu }}$ ~ ${\textstyle P[X=0]\sim e^{-\mu }}$ - ${\textstyle P[X=0]\sim e^{-\mu }}$ { { $Textstyle$ P [ $X$ ${\textstyle P[X>0]\sim 1-e^{-\mu }}$ = $0$ ]\ $sim$ e^ { - \ mu $}$ 입니다 ${\textstyle P[X=0]\sim e^{-\mu }}$ .또, RGG가 연결되어 있지 않을 확률은 ${\textstyle P[X>0]\sim 1-e^{-\mu }}$ [ ${\textstyle P[X>0]\sim 1-e^{-\mu }}$ > ${\textstyle P[X>0]\sim 1-e^{-\mu }}$ ${\textstyle P[X>0]\sim 1-e^{-\mu }}$ - ${\textstyle P[X>0]\sim 1-e^{-\mu }}$ { $textstyle$ P $[ X$ > $0$ > 0]\ sim $1-e$ ^ { - $mu$ } 입니다 ${\textstyle P[X>0]\sim 1-e^{-\mu }}$

어떤 나는 p{\textstyle l_{p}}-Norm(1≤ p≤ ∞{\textstyle 1\leq p\leq \infty})과 치수 d의 어떤 번호를, 들어 2{\displaystyle d>2}, RGG 연결 r∼(ln ⁡(n)α p, dnx에서 날카로운 역치 1d{\textstyle r\sim({\ln(n)\over \alpha_{p,d}n})^{1\over d}}을 보유하고 있다. c업무를 $\alpha _{p,d}$ p $\alpha _{p,d}$ {\ $displaystyle$ \ $alpha _{p,$ d $\alpha _{p,d}$ 2차원 공간과 유클리드 노름( $d=2$ $d=2$ { $displaystyle$ d $=2$ } 및 $p=2$ $p=2$ {\ $displaystyle$ p $=2$ 의 특수한 경우 r ${\textstyle r\sim {\sqrt {\ln(n) \over \pi n}}}$ ~ ${\textstyle r\sim {\sqrt {\ln(n) \over \pi n}}}$ ( ${\textstyle r\sim {\sqrt {\ln(n) \over \pi n}}}$ n ) | $textstyle$ r\sim { $r\r\$ ln $($ (n\ln\ $ln\$ pi ${\textstyle r\sim {\sqrt {\ln(n) \over \pi n}}}$ $)$ 을 산출합니다 $.$

해밀턴성

2차원 사례에서 ${\textstyle r\sim {\sqrt {\ln(n) \over \pi n}}}$ r ~ ${\textstyle r\sim {\sqrt {\ln(n) \over \pi n}}}$ ${\textstyle r\sim {\sqrt {\ln(n) \over \pi n}}}$ ( ${\textstyle r\sim {\sqrt {\ln(n) \over \pi n}}}$ ) ${\textstyle r\sim {\sqrt {\ln(n) \over \pi n}}}$ n \ $textstyle$ r $\sim$ {\ $sqrt$ {ln ( $n) \over$ \ $pi$ n $}$ 도 ${\textstyle r\sim {\sqrt {\ln(n) \over \pi n}}}$ 해밀턴 사이클(해밀턴 경로)^[6]의 존재에 대한 정보를 제공하는 것으로 나타났다.어떤ϵ>;0{\displaystyle \epsilon>0}, 만약 r(n)ln ⁡ ∼(π+ϵ)n{\textstyle r\sim{\sqrt{\ln(n)\over(\pi +\epsilon)n}}}, 다음 RGG이 점차적으로 거의 결코 해밀턴 주기고 r(π − ϵ)n{\textstyle r\sim{\sqrt{\ln(n)\over(\pi -\epsilon)n}(n)}을 위해서 ln ⁡}∼.y $>$ 0 \ textstyle \ $epsilon >$ 0 ${\textstyle \epsilon >0}$ } ${\textstyle \epsilon >0}$ RGG는 거의 점근적으로 해밀턴 사이클을 갖는다.

군집화 계수

RGG의 군집화 계수는 치수에만 의존합니다.d $[0,1]$ $d$ 을 클릭합니다.군집화 계수는

${\textstyle C_{d}=1-H_{d}(1)}$ $C$ d ${\textstyle C_{d}=1-H_{d}(1)}$ ${\textstyle C_{d}=1-H_{d}(1)}$ - ${\textstyle C_{d}=1-H_{d}(1)}$ d ( $1$ ) ${\textstyle C_{d}=1-H_{d}(1)}$ \ $displaystyle$ $d$ $d$ } 、 ${\textstyle C_{d}={3 \over 2}-H_{d}({1 \over 2})}$ d ${\textstyle C_{d}={3 \over 2}-H_{d}({1 \over 2})}$ ${\textstyle C_{d}={3 \over 2}-H_{d}({1 \over 2})}$ 2 - ${\textstyle C_{d}={3 \over 2}-H_{d}({1 \over 2})}$ ( ${\textstyle C_{d}={3 \over 2}-H_{d}({1 \over 2})}$ ) ${\textstyle C_{d}={3 \over 2}-H_{d}({1 \over 2})}$ 、 d $style$ $d$ = { $3$ \ $over$ 2 ） - $H _ d$ （ 1 \ $over$ 2 ） d ${\textstyle C_{d}={3 \over 2}-H_{d}({1 \over 2})}$ $d$ ${\textstyle C_{d}={3 \over 2}-H_{d}({1 \over 2})}$ （ 2 ） $。$

H_{d}(x)={1\over\i=x}^{d\over2}{\Gamma(i)\over \Gamma(i+{1\over2})({3 \over 4})^{i+{1\over2}

large

d {\

displaystyle

d

d

의 경우

C_{d}\sim 3{\sqrt {2 \over \pi d}}({3 \over 4})^{d+1 \over 2}

~

C_{d}\sim 3{\sqrt {2 \over \pi d}}({3 \over 4})^{d+1 \over 2}

2

C_{d}\sim 3{\sqrt {2 \over \pi d}}({3 \over 4})^{d+1 \over 2}

d(

C_{d}\sim 3{\sqrt {2 \over \pi d}}({3 \over 4})^{d+1 \over 2}

4 )

C_{d}\sim 3{\sqrt {2 \over \pi d}}({3 \over 4})^{d+1 \over 2}

+

C_{d}\sim 3{\sqrt {2 \over \pi d}}({3 \over 4})^{d+1 \over 2}

2

{ \

displaystyle C_{d}\

sim

3

{ \ sqrt { 2 \

over

\

pi

d

C_{d}\sim 3{\sqrt {2 \over \pi d}}({3 \over 4})^{d+1 \over 2}

( { 3 \

over

4 } )^{

d

+ 1 \

over

2 } 。

일반화 랜덤 기하학 그래프

1988년^[8] 왁스먼은 Gilbert가 제안한 결정론적 함수와 대조적으로 확률론적 연결 함수를 도입하여 표준 RGG를 일반화했다.왁스맨이 도입한 예는 두 개의 $노드$ i $(\displaystyle$ i)와 $i$ j(\ $displaystyle$ j $)$ 가 $j$ ${\textstyle H_{ij}=\beta e^{-{r_{ij} \over r_{0}}}}$ ${\textstyle H_{ij}=\beta e^{-{r_{ij} \over r_{0}}}}$ $=$ ${\textstyle H_{ij}=\beta e^{-{r_{ij} \over r_{0}}}}$ e - ${\textstyle H_{ij}=\beta e^{-{r_{ij} \over r_{0}}}}$ ${\textstyle H_{ij}=\beta e^{-{r_{ij} \over r_{0}}}}$ r $(\$ }=\ $beta$ e $^{-r_{ij}$ \ $over r_$ ${$ 0 ${\textstyle H_{ij}=\beta e^{-{r_{ij} \over r_{0}}}}$ })에 의해 주어진 확률로 연결되는 확장 지수이다. $r_{ij}$ 서 $r_{ij}$ j(\ $displaystyle r_i}$ 는 $r_{ij}$ 것이다. $\beta$ β(\ $displaystyle\displaystyle$ $r_{0}$ 0 $(\$ 은 $r_{0}$ 시스템에 의해 결정되는 파라미터입니다.확률론적 연결 함수가 있는 이러한 유형의 RGG는 종종 소프트 랜덤 기하학 그래프라고 불리며, 현재는 노드 위치(수직)와 링크(에지)의 두 가지 무작위성 소스를 가진다.이 연결 함수는 간섭 없이 무선 네트워크를 연구하기 위해 자주 $사용$ 되는 ${\textstyle H_{ij}=\beta e^{-({r_{ij} \over r_{0}})^{\eta }}}$ $Hi$ ${\textstyle H_{ij}=\beta e^{-({r_{ij} \over r_{0}})^{\eta }}}$ ${\textstyle H_{ij}=\beta e^{-({r_{ij} \over r_{0}})^{\eta }}}$ ${\textstyle H_{ij}=\beta e^{-({r_{ij} \over r_{0}})^{\eta }}}$ e - ( ${\textstyle H_{ij}=\beta e^{-({r_{ij} \over r_{0}})^{\eta }}}$ i j ${\textstyle H_{ij}=\beta e^{-({r_{ij} \over r_{0}})^{\eta }}}$ ${\textstyle H_{ij}=\beta e^{-({r_{ij} \over r_{0}})^{\eta }}}$ ) ${\$ { - ( { r _ { $ij$ } ${\textstyle H_{ij}=\beta e^{-({r_{ij} \over r_{0}})^{\eta }}}$ = \ $beta$ e^ { - ( { r _ { $ij$ } \ $over$ r $_$ { 0} )^{ \ $eta }}$ }에서 ${\textstyle H_{ij}=\beta e^{-({r_{ij} \over r_{0}})^{\eta }}}$ 더욱 일반화되었다.매개 변수 η{\displaystyle \eta}때 η x2{\displaystyle \eta =2}은 자유 공간 η 을 어떻게 신호가 멀리 떨어져 희석되는 것;η<>던 마을(뉴욕 같은=6모델 도시)처럼 2{\displaystyle \eta>2}모델들이 더 어지러운 환경;2{\displaystyle \eta<>2}모델 고도로 반영된 것을 나타냅니다.포위하다ivements. $\eta \to \infty$ $\eta =1$ 1 { $displaystyle \eta = 1$ }은 $\eta =1$ $\eta \to \infty$ Waxman 모델이고, $\eta \to \infty$ → $\eta \to \infty$ { $displaystyle \eta \to$ \infty $}$ ${\textstyle \beta =1}$ ${\textstyle \beta =1}$ $=$ 1 { $textstyle \eta =$ 1}은 ${\textstyle \beta =1}$ 표준 RGG가 있습니다.직관적으로 이러한 유형의 연결 함수는 링크가 생성될 확률이 거리에 따라 어떻게 감소하는지 모델링합니다.

Soft RGG 결과 개요

지수접속기능을 가진 네트워크의 고밀도 제한에서는 격리된 노드의 수는 포아송 분산되며, 그 결과 생성되는 네트워크에는 고유한 거대 컴포넌트와 격리된 노드만 ^[9]포함됩니다.따라서 격리된 노드가 없음을 보증함으로써 고밀도 시스템에서는 네트워크가 완전히 접속됩니다.이는 디스크모델의 결과와 비슷합니다.종종 경계 효과를 의미하는 밀도 $\to \infty$ $∞$ \\ $displaystyle \to \infty$ }로 $\to \infty$ 인해 경계 중심성 및 연결성과 같은 네트워크의 특성이 제한적으로 연구된다.그러나, 네트워크, 비록 여전히 매우 멍청할 수가 있은 유한한 실생활에서 국경 효과 완전한 연결성에;사실상[12]완전한 연결성에 따라 도메인의 corner/face 근처에 노드 덜 연결할 정확에 비해 가능성이 적은 지수 연결 기능과 크게 경계 효과에 의해 영향을 받는다가 이번에 영향을 미칠 것이다그의e는 벌크입니다.그 결과 완전한 접속은 벌크 경계와 지오메트리 경계로부터의 기여의 합으로 표현될 수 있습니다.무선 네트워크에서의 접속 함수의 보다 일반적인 분석에서는 접속 함수의 몇 가지 모멘트와 ^[13]영역 지오메트리에 의해 완전한 접속의 확률이 충분히 근사할 수 있음을 알 수 있었습니다.

레퍼런스

^ Antonioni, Alberto; Tomassini, Marco (28 September 2012). "Degree correlations in random geometric graphs". Physical Review E. 86 (3): 037101. arXiv:1207.2573. Bibcode:2012PhRvE..86c7101A. doi:10.1103/PhysRevE.86.037101. PMID 23031054. S2CID 14750415.
^ Nekovee, Maziar (28 June 2007). "Worm epidemics in wireless ad hoc networks". New Journal of Physics. 9 (6): 189. arXiv:0707.2293. Bibcode:2007NJPh....9..189N. doi:10.1088/1367-2630/9/6/189. S2CID 203944.
^ Penrose, Mathew. (2003). Random geometric graphs. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0198506260. OCLC 51316118.
^ ^a ^b ^c von Looz, Moritz; Strash, Darren; Schulz, Christian; Penschuck, Manuel; Sanders, Peter; Meyer, Ulrich; Lamm, Sebastian; Funke, Daniel (2017-10-20). "Communication-free Massively Distributed Graph Generation". arXiv:1710.07565v3 [cs.DC].
^ Perez, Xavier; Mitsche, Dieter; Diaz, Josep (2007-02-13). "Dynamic Random Geometric Graphs". arXiv:cs/0702074. Bibcode:2007cs........2074D. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
^ Perez, X.; Mitsche, D.; Diaz, J. (2006-07-07). "Sharp threshold for hamiltonicity of random geometric graphs". arXiv:cs/0607023. Bibcode:2006cs........7023D. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
^ Christensen, Michael; Dall, Jesper (2002-03-01). "Random Geometric Graphs". Physical Review E. 66 (1 Pt 2): 016121. arXiv:cond-mat/0203026. Bibcode:2002PhRvE..66a6121D. doi:10.1103/PhysRevE.66.016121. PMID 12241440. S2CID 15193516.
^ Waxman, B.M (1988). "Routing of multipoint connections". IEEE Journal on Selected Areas in Communications. 6 (9): 1617–1622. doi:10.1109/49.12889.
^ ^a ^b Mao, G; Anderson, B.D (2013). "Connectivity of large wireless networks under a general connection model". IEEE Transactions on Information Theory. 59 (3): 1761–1772. doi:10.1109/tit.2012.2228894. S2CID 3027610.
^ Penrose, Mathew D (1997). "The longest edge of the random minimal spanning tree". The Annals of Applied Probability: 340361.
^ Giles, Alexander P.; Georgiou, Orestis; Dettmann, Carl P. (2015). "Betweenness centrality in dense random geometric networks". 2015 IEEE International Conference on Communications (ICC). pp. 6450–6455. arXiv:1410.8521. Bibcode:2014arXiv1410.8521K. doi:10.1109/ICC.2015.7249352. ISBN 978-1-4673-6432-4. S2CID 928409.
^ Coon, J; Dettmann, C P; Georgiou, O (2012). "Full connectivity: corners, edges and faces". Journal of Statistical Physics. 147 (4): 758–778. arXiv:1201.3123. Bibcode:2012JSP...147..758C. doi:10.1007/s10955-012-0493-y. S2CID 18794396.
^ Dettmann, C.P; Georgiou, O (2016). "Random geometric graphs with general connection functions". Physical Review E. 93 (3): 032313. arXiv:1411.3617. Bibcode:2016PhRvE..93c2313D. doi:10.1103/physreve.93.032313. PMID 27078372. S2CID 124506496.

[1] Antonioni, Alberto; Tomassini, Marco (28 September 2012). "Degree correlations in random geometric graphs". Physical Review E. 86 (3): 037101. arXiv:1207.2573. Bibcode:2012PhRvE..86c7101A. doi:10.1103/PhysRevE.86.037101. PMID 23031054. S2CID 14750415.

[2] Nekovee, Maziar (28 June 2007). "Worm epidemics in wireless ad hoc networks". New Journal of Physics. 9 (6): 189. arXiv:0707.2293. Bibcode:2007NJPh....9..189N. doi:10.1088/1367-2630/9/6/189. S2CID 203944.

[3] Penrose, Mathew. (2003). Random geometric graphs. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0198506260. OCLC 51316118.

[:0-4] von Looz, Moritz; Strash, Darren; Schulz, Christian; Penschuck, Manuel; Sanders, Peter; Meyer, Ulrich; Lamm, Sebastian; Funke, Daniel (2017-10-20). "Communication-free Massively Distributed Graph Generation". arXiv:1710.07565v3 [cs.DC].

[5] Perez, Xavier; Mitsche, Dieter; Diaz, Josep (2007-02-13). "Dynamic Random Geometric Graphs". arXiv:cs/0702074. Bibcode:2007cs........2074D. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)

[6] Perez, X.; Mitsche, D.; Diaz, J. (2006-07-07). "Sharp threshold for hamiltonicity of random geometric graphs". arXiv:cs/0607023. Bibcode:2006cs........7023D. {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)

[7] Christensen, Michael; Dall, Jesper (2002-03-01). "Random Geometric Graphs". Physical Review E. 66 (1 Pt 2): 016121. arXiv:cond-mat/0203026. Bibcode:2002PhRvE..66a6121D. doi:10.1103/PhysRevE.66.016121. PMID 12241440. S2CID 15193516.

[8] Waxman, B.M (1988). "Routing of multipoint connections". IEEE Journal on Selected Areas in Communications. 6 (9): 1617–1622. doi:10.1109/49.12889.

[Connectivity_of_large_wireless_netw-9] Mao, G; Anderson, B.D (2013). "Connectivity of large wireless networks under a general connection model". IEEE Transactions on Information Theory. 59 (3): 1761–1772. doi:10.1109/tit.2012.2228894. S2CID 3027610.

[10] Penrose, Mathew D (1997). "The longest edge of the random minimal spanning tree". The Annals of Applied Probability: 340361.

[11] Giles, Alexander P.; Georgiou, Orestis; Dettmann, Carl P. (2015). "Betweenness centrality in dense random geometric networks". 2015 IEEE International Conference on Communications (ICC). pp. 6450–6455. arXiv:1410.8521. Bibcode:2014arXiv1410.8521K. doi:10.1109/ICC.2015.7249352. ISBN 978-1-4673-6432-4. S2CID 928409.

[12] Coon, J; Dettmann, C P; Georgiou, O (2012). "Full connectivity: corners, edges and faces". Journal of Statistical Physics. 147 (4): 758–778. arXiv:1201.3123. Bibcode:2012JSP...147..758C. doi:10.1007/s10955-012-0493-y. S2CID 18794396.

[13] Dettmann, C.P; Georgiou, O (2016). "Random geometric graphs with general connection functions". Physical Review E. 93 (3): 032313. arXiv:1411.3617. Bibcode:2016PhRvE..93c2313D. doi:10.1103/physreve.93.032313. PMID 27078372. S2CID 124506496.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[8]

[9]

[13]

Search