이분 그래프

그래프 이론의 수학 분야에서, 이분 그래프(또는 빅그래프)는 정점을 2개의 분리된 독립된 $집합{\displaystyle }$U(\$displaystyle$U)와$$V(\$displaystyle$V$)$로 나눌 수 있는 그래프입니다.즉, 모든 에지는$$U(\$displaystyle$ U$)$의 정점과 V$(\$$displaystyle$ V$)$의 정점을 연결합니다.$ystyle$ U$}$ $및$ V$(\style$ V$)$는 보통 그래프의 일부로 불립니다.마찬가지로, 초당 그래프는 홀수 길이의 ^[1][2]주기를 포함하지 않는 그래프입니다.

두 $세트$($디스플레이$ 스타일$$ $)$와 V($디스플레이$ 스타일$$V)는 두 가지 색상의 그래프 컬러링으로 간주할 수 있습니다. 한 세트가 U$(\displaystyle$U$$)의 모든 노드와$$V(\$displaystyle$V$$)의 모든 노드의 색상은 그래프 컬러링 ^[3][4]문제에서 요구되는 것처럼 서로 다른 색상의 끝점을 가집니다.이와는 대조적으로 삼각형과 같은 비비파타이트 그래프의 경우 이러한 색칠은 불가능하다: 한쪽 노드가 파란색, 다른 한쪽 노드가 녹색으로 착색된 후 삼각형의 세 번째 정점은 양쪽 색상의 정점에 연결되어 어느 한쪽 색상으로도 할당되지 않는다.

$흔히{\displaystyle }$ G ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle U}$ ,${\displaystyle V}$$$ ,$E$) { $displaystyle$ $G$$$$=$ ( $U$, $V$, E )$display$ g g 、 g g$$g g $one{\displaystyle }$ 、 display has of$$of$$of 、$$$of$$of$ of$$ of of one $of{\displaystyle }$ one one one one one one one one 。초당 그래프가 연결되어 있지 않은 경우 여러 개의 ^[5]초당 그래프가 있을 수 있습니다.${\displaystyle 이}$ 경우${\displaystyle }$(${\displaystyle U,}$ V${\displaystyle ,}$ $)\$displaystyle ($U,$V, E)\$displaystyle (U,$ V, E$)\$displaystyle (U, E)\displaystyle (U, V, E$)\backslash {\displaystyle }$displaystyle (U, E) 표기법을$$ 사용하면 응용 프로그램에서 중요한 특정 초당 그래프를 지정할 수 있습니다.U ${\displaystyle =}{\displaystyle V}$ {$displaystyle$ U =$$V $\}$인 ${\displaystyle 경우}$, 즉 두 서브셋의 카디널리티가 동일하면$$G {\$displaystyle$ G$}$를 균형 이분 ^[3]그래프라고 합니다.양분파의 같은 쪽에 있는 모든 정점이 같은 차수를 갖는 경우$,$ $G{\displaystyle }$(\$displaystyle$ G$)$를 복선이라고 합니다.

예

두 가지 다른 등급의 객체 사이의 관계를 모델링할 때, 초당 그래프는 매우 자주 자연적으로 발생한다.예를 들어, 축구선수와 클럽의 그래프는 선수가 그 클럽에서 뛴 적이 있다면 그 선수와 클럽 사이에 엣지가 있는 것은 소셜 네트워크 ^[6]분석에 사용되는 일종의 초당적 그래프인 제휴 네트워크의 자연스러운 예이다.

초당파 그래프가 자연스럽게 나타나는 또 다른 예는 (NP-완전) 철도 최적화 문제이며, 입력은 열차와 열차의 정차 시간표이며, 목표는 모든 열차가 최소한 하나의 역을 방문할 수 있도록 가능한 한 작은 기차역 세트를 찾는 것입니다.이 문제는 각 열차와 각 역에 대한 정점과 해당 ^[7]역에 정차하는 기차역과 열차의 각 쌍에 대한 엣지를 갖는 초당 그래프에서 지배적인 집합 문제로 모델링될 수 있습니다.

세 번째 예는 화폐학의 학문 분야이다.고대 동전은 디자인의 두 가지 긍정적인 인상(앞면과 뒷면)을 사용하여 만들어집니다.화폐학자들이 동전 생산을 나타내기 위해 만들어내는 차트는 초당 ^[8]그래프이다.

보다 추상적인 예는 다음과 같습니다.

• 모든 나무는 ^[4]초당적이다.
• 짝수 정점이 있는 주기 그래프는 ^[4]양분됩니다.
• 면의 길이가 짝수인 모든 평면 그래프는 ^[9]양분됩니다.이것의 특별한 경우로는 격자 그래프와 사각 그래프가 있는데, 여기서 모든 내부 면은 4개의 가장자리로 구성되고 모든 내부 정점은 4개 이상의 ^[10]이웃을 가진다.
• K로 표시된_n,m m과 n개의 정점에 대한 완전한 초당 그래프는 초당 $그래프{\displaystyle }$ G$=$ (${\displaystyle U}$ ,${\displaystyle V}$, E ) {$style$ G = ($U$ , V , $E )$입니다$.$ 여기서 U와 V는 각각 m과 n 크기의 분리된 집합이며, E는 V의 모든 정점과 U의 모든 정점을 연결합니다.따라서 K에는 ^[11]mn의 가장자리가 있습니다_m,n.완전한 초당 그래프와 밀접하게 관련된 것은 완전 ^[12]일치의 가장자리를 제거함으로써 완전한 초당 그래프로 형성된 크라운 그래프이다.
• 하이퍼큐브 그래프, 부분 큐브 및 중위수 그래프는 양분됩니다.이러한 그래프에서 정점은 대응하는 비트벡터가 1개의 위치에서 다른 경우에만 2개의 정점이 인접하도록 비트벡터에 의해 라벨링될 수 있다.비트벡터가 짝수 1을 가지는 정점과 홀수 1을 가지는 정점을 분리하는 것으로, 양분할을 형성할 수 있다.나무와 정사각형 그래프는 중위수 그래프의 예를 구성하며, 모든 중위수 그래프는 부분 ^[13]입방체입니다.

특성.

특성화

이분 그래프는 몇 가지 다른 방법으로 특징지을 수 있다.

• 그래프는 홀수 ^[14]주기를 포함하지 않는 경우에만 양분됩니다.
• 그래프는 2색일 경우에만(즉, 색수가 ^[3]2보다 작거나 같은 경우) 양분된다.
• 그래프는 모든 에지가 홀수 수의 결합에 속하는 경우에만 그래프의 ^[15]구성 요소 수를 증가시키는 최소 에지 하위 집합인 경우에만 양분됩니다.
• 그래프는 그래프의 스펙트럼이 ^[16]대칭인 경우에만 양분됩니다.

쾨니히의 정리 및 완전 그래프

초당 그래프에서, 최소 정점 커버의 크기는 최대 일치의 크기와 같다. 이것은 쾨니그의 ^[17][18]정리이다.이 정리의 다른 동등한 형태는 최대 독립 집합의 크기와 최대 일치의 크기가 정점의 수와 같다는 것입니다.분리된 정점이 없는 그래프에서 최소 가장자리 커버의 크기와 최대 일치의 크기는 ^[19]정점의 수와 같습니다.이 등식을 Kőnig의 정리와 결합하면, 초당 그래프에서 최소 에지 커버의 크기는 최대 독립 집합의 크기와 같고, 최소 에지 커버의 크기와 최소 정점 커버의 크기는 정점의 수와 같다는 사실이 도출된다.

다른 클래스의 관련 결과는 완벽한 그래프와 관련이 있다. 모든 초당 그래프, 모든 초당 그래프의 보완, 모든 초당 그래프의 선 그래프 및 모든 초당 그래프의 보완은 모두 완벽하다.초당 그래프의 완벽성은 쉽게 알 수 있지만(색상은 2이고 최대 클리크 크기는 2이다), 초당 그래프의 보완성의 완벽성은 덜 사소한 것이며, 쾨니그의 정리를 다시 기술한 것이다.이것은 완벽한 ^[20]그래프의 초기 정의에 동기를 부여한 결과 중 하나였다.완전 그래프의 선 그래프의 보수는 쾨니히의 정리를 다시 쓴 것이고, 선 그래프의 완전성은 모든 초당 그래프가 최대 정도와 같은 수의 색을 사용하여 가장자리 색을 갖는 쾨니히의 초기 정리를 다시 쓴 것이다.

강력한 완전 그래프 정리에 따르면, 완전 그래프는 이분 그래프와 유사한 금지 그래프 특성을 가진다. 즉, 그래프는 부분 그래프로서 홀수 사이클이 없는 경우에만 이분 그래프이며, 홀수 사이클 또는 유도 부분 그래프로서의 보완이 없는 경우에만 완전하다.양분 그래프, 양분 그래프의 선 그래프 및 이들의 보수는 강력한 완전 그래프 ^[21]정리의 증명에 사용되는 5가지 완전 그래프의 기본 클래스 중 4개를 형성한다.

도

정점의 경우 인접한 정점의 수를 정점의 도라고 하며 도${\displaystyle (}$deg${\displaystyle )}$ ($)$ {$displaystyle \deg(v)})$라고 합니다$.$초당 그래프의 정도 합 공식은 다음과 같이 기술한다^[22].

$\displaystyle \sum _{v\in V}\deg(v)=\sum _{u\in U}\deg(u)=E,}$

목록의 예를 들어, 완전한 양분 그래프 K3,5 정도 시퀀스(5,5,5),(3,3,3,3,3){\displaystyle(5,5,5),(3,3,3,3,3)}이 있는 양분 그래프의 정도는 순서는 한 짝은 각 두 부품 U{U\displaystyle}과 V{V\displaystyle}의 각도가 있다..Isomorphic 2부로 구성된 그래프다.월e도 시퀀스는 동일합니다.그러나 정도 시퀀스는 일반적으로 초당 그래프를 고유하게 식별하지 않는다. 일부 경우, 비동형적인 초당 그래프는 동일한 정도 시퀀스를 가질 수 있다.

초당적 실현 문제는 두 개의 자연수 리스트가 주어진 단순한 초당적 그래프를 찾는 문제이다. (트레일링 0은 적절한 수의 고립된 정점을 디그래프에 추가함으로써 3차적으로 실현되기 때문에 무시될 수 있다.)

하이퍼그래프 및 유도 그래프와의 관계

초당 그래프$({\displaystyle U,}$ ${\displaystyle V,}$ $)$의 생체 인접 행렬($U,$ V,$E)$은 ${\displaystyle 크기}$가${\displaystyle }$U ×${\displaystyle }{\displaystyle V}$(\$displaystyle$U \$times$ V$)$인 (0,1) 행렬로, 인접한 각 정점 쌍에 대해 하나씩, 인접하지 않은 ^[23]정점에 대해서는 0을 가진다.쌍방향 그래프, 하이퍼그래프 및 방향 그래프 간의 동등성을 설명하기 위해 바이애시 매트릭스를 사용할 수 있다.

하이퍼그래프는 무방향 그래프와 마찬가지로 꼭지점과 모서리가 있지만 꼭지점을 정확히 두 개 가질 필요는 없는 임의의 꼭지점 집합일 수 있는 조합 구조입니다.U는 ${\displaystyle \mathrm{하이퍼그래프}}$의 ${\displaystyle \mathrm{정점}}$ 세트$,$ V는 하이퍼그래프의$$정점 $세트, E는 하이퍼그래프$ 정점$$ v에서 하이퍼그래프 엣지 e까지의 엣지를 포함하는 하이퍼그래프 모델링에 초당 그래프$({\displaystyle U,}$V, E$)$를 사용할 수 있다.이 대응관계 하에서, 초당 그래프의 생체간접행렬은 정확히 대응하는 하이퍼그래프의 발생행렬이다.초당 그래프와 하이퍼그래프 사이의 이러한 대응의 특별한 경우로서, 모든 멀티그래프(같은 두 정점 사이에 둘 이상의 에지가 있을 수 있는 그래프)는 일부 하이퍼그래프가 동일한 엔드포인트 세트를 갖는 하이퍼그래프로 해석될 수 있으며, 다중 인접관계와 하이퍼그래프가 없는 초당 그래프로 표현될 수 있다.양분파의 한쪽에 있는 꼭지점들은 모두 ^[24]2차원을 가진다.

인접행렬의 유사한 재해석은 (자체 루프를 가능하게 하는 라벨이 부착된 특정 수의 정점에 대한) 방향 그래프와 균형잡힌 초당 그래프 사이의 일대일 대응관계를 보여주기 위해 사용될 수 있다.n개의 정점이 있는 방향 그래프의 인접행렬은 $크기{\displaystyle }$n ×$$ {\$display style$n\$times$n$\}$의 임의의 (0,1) 행렬이 될 수 있으며, 그 행렬은 그 ^[25]양쪽에 n개의 정점이 있는 초당 그래프의 인접행렬로 재해석될 수 있다.이 구성에서, 초당 그래프는 방향 그래프의 초당 이중 커버이다.

알고리즘

초당성 테스트

그래프가 초당인지 여부를 테스트하고 깊이 우선 검색을 사용하여 선형 시간으로 2색(양단인 경우) 또는 홀수 주기(양단인 경우)를 반환할 수 있습니다.주요 아이디어는 깊이 우선 탐색 포리스트의 상위 색상과 다른 색상을 각 정점에 할당하고 깊이 우선 탐색 포리스트의 사전 순서 트래버스에서 색상을 할당하는 것입니다.이렇게 하면 꼭지점을 부모에게 연결하는 가장자리로 구성된 스패닝 포레스트의 2가지 색상이 제공되지만 포레스트 이외의 일부 가장자리는 적절히 색칠되지 않을 수 있습니다.깊이 우선 검색 포레스트에서는 모든 비포레스트 가장자리의 두 끝점 중 하나가 다른 끝점의 상위이며 깊이 우선 검색이 이 유형의 가장자리를 발견하면 이 두 정점의 색상이 서로 다른지 확인해야 합니다.그렇지 않으면 포레스트의 상위에서 하위로의 경로가 잘못된 색상의 가장자리와 함께 홀수 주기를 형성하고, 이는 그래프가 초당적이지 않은 결과와 함께 알고리즘에서 반환됩니다.단, 알고리즘이 이 유형의 홀수 사이클을 검출하지 않고 종료할 경우 모든 에지는 적절히 색칠되어야 하며 알고리즘은 그래프가 초당적이라는 ^[26]결과와 함께 색칠을 반환합니다.

또는 깊이 우선 탐색 대신 폭 우선 탐색에서도 유사한 절차를 사용할 수 있다.다시 말하지만, 각 노드에는 검색 포레스트의 상위 노드와는 폭 우선 순서로 반대 색상이 지정됩니다.정점이 색칠되어 있을 때, 같은 색상의 정점에 연결하는 가장자리가 존재하는 경우, 이 가장자리는 두 끝점을 가장 낮은 공통 상위 항목에 연결하는 너비 우선 검색 포레스트의 경로와 함께 홀수 주기를 형성합니다.이 방법으로 홀수 주기를 찾지 않고 알고리즘이 종료된 경우 적절한 색상을 찾아야 하며 그래프가 ^[27]초당적이라고 안전하게 결론을 내릴 수 있습니다.

유클리드 평면에서 n개의$$\$style$n개의 선분 또는 기타 단순한 형상의 $교차{\displaystyle }$ 그래프의 경우 그래프가 초당인지 테스트할 수 있으며 그래프 자체의 최대${\displaystyle }$O(${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$$log$ n$)$ {{$displaystyle$ O$(n$${\displaystyle \backslash }$$log$ n)} 시간 $O{\displaystyle (n}$ log${\displaystyle n}$n$)\}$에서 2색 또는 홀수 사이클을 반환할 수 있습니다.$\displaystyle$ O$\left(n^{2}\right)}$개의$$ 가장자리.^[28]

홀수 사이클 횡단

홀수 주기 횡단은 그래프 G = (V,E)와 숫자 k가 주어졌을 때, 결과 그래프를 ^[29]양분할 수 있는 k개의 정점 집합이 존재하는지 여부를 묻는 NP-완전 알고리즘 문제이다.문제는 고정 매개 변수 추적 가능하며, 이는 실행 시간이 그래프 크기의 다항식 함수에 더 큰 함수의 ^[30]k를 곱한 값으로 제한될 수 있는 알고리즘이 있다는 것을 의미한다.홀수 사이클 횡단이라는 이름은 홀수 사이클이 없는 경우에만 그래프가 양분된다는 사실에서 유래했습니다.따라서 그래프에서 정점을 삭제하려면 "모든 홀수 사이클을 히트"하거나 소위 홀수 사이클 횡단 집합을 찾아야 합니다.그림에서는 그래프의 모든 홀수 사이클이 파란색(맨 위) 정점을 포함하므로 이러한 정점을 제거하면 모든 홀수 사이클이 중지되고 초당 그래프가 남습니다.

에지 초당화 문제는 그래프를 초당화하기 위해 가능한 한 적은 에지를 삭제하는 알고리즘 문제이며 그래프 수정 알고리즘에서도 중요한 문제입니다.이 문제는 고정 파라미터 추적도 가능하며 시간$O$(${}^{}{}^{}$ $)(\$ O$\left(2^{k}m^{2}\right$^[31]k는 삭제할 에지 수, m은 입력 그래프의 에지 수)로 해결할 수 있습니다.

매칭

그래프에서 일치하는 부분은 끝점을 공유하는 두 개의 모서리 부분 집합입니다.다항식 시간 알고리즘은 최대 일치(가능한 한 많은 에지를 사용하는 일치 찾기), 최대 무게 일치 및 안정적인 ^[32]결합 등 일치에 대한 많은 알고리즘 문제로 알려져 있습니다.대부분의 경우 매칭 문제는 비 바이파타이트 ^[33]그래프보다 초당 그래프에서 해결하기가 더 간단하며 최대 카디널리티^[34] 매칭을 위한 홉크로프트-카르프 알고리즘과 같은 많은 매칭 알고리즘은 초당 입력에서만 올바르게 작동합니다.

간단한 예로, 한 $세트$의 P$(디스플레이 스타일$ P$)$가 모두 J$(디스플레이 스타일$ J$)$의 일 중에서 일자리를 찾고 있으며, 모든 사람들이 모든 일에 적합한 것은 아니라고 가정해 보자.이 상황은 엣지가 각 구직자와 각 적합한 ^[35]직업을 연결하는 초당 그래프$({\displaystyle P}$,${\displaystyle J}$ ,${\displaystyle E}$)(\$displaystyle (P, J$, $E))$로 모델링할 수 있습니다.완벽한 매칭은 모든 구직자를 만족시키는 동시에 모든 일자리를 채우는 방법을 설명합니다. 홀의 결혼 정리는 완벽한 매칭을 허용하는 초당적 그래프의 특성을 제공합니다.National Resident Matching Program은 이 문제를 해결하기 위해 미국의 의대생 구직자와 병원 레지던트 ^[36]직업에 그래프 매칭 방법을 적용한다.

Dulmage-Mendelson 분해는 최대 ^[37]일치를 찾는 데 유용한 초당 그래프의 구조 분해이다.

기타 응용 프로그램

초당 그래프는 현대 부호화 이론, 특히 채널로부터 수신된 코드워드를 해독하기 위해 광범위하게 사용된다.요인 그래프와 태너 그래프가 그 예입니다.태너 그래프는 초당파의 한쪽에 있는 정점은 코드워드의 숫자를 나타내고 다른 쪽에 있는 정점은 오류 ^[38]없이 코드워드에서 0으로 합칠 것으로 예상되는 숫자의 조합을 나타내는 초당 그래프입니다.인자 그래프는 LDPC 및 터보 ^[39]코드의 확률론적 디코딩에 사용되는 밀접하게 관련된 신념 네트워크입니다.

컴퓨터 과학에서 페트리 네트는 동시 시스템의 분석과 시뮬레이션에 사용되는 수학적 모델링 도구입니다.시스템은 두 세트의 노드를 가진 초당 방향 그래프로 모델링됩니다.리소스를 포함하는 "플레이스" 노드 세트 및 리소스를 생성하거나 소비하는 "이벤트" 노드 세트.노드 및 가장자리에는 시스템의 동작을 제약하는 추가 제약이 있습니다.페트리 네트는 시스템의 ^[40]시뮬레이션을 쉽게 구현하면서 시스템의 동작을 수학적으로 증명하기 위해 초당 방향 그래프의 특성과 다른 속성을 활용합니다.

투영 기하학에서 Levi 그래프는 구성에서 점과 선 사이의 발생을 모델링하는 데 사용되는 이분 그래프의 한 형태입니다.Levi 그래프는 최대 두 선이 한 점에서 만나고 두 점이 한 선으로 연결되는 점과 선의 기하학적 특성에 대응하므로 길이가 4인 주기가 반드시 포함되어 있지 않으므로 둘레가 ^[41]6 이상이어야 합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 초당 차원, 주어진 그래프가 결합되어 있는 완전한 초당 그래프의 최소 수
• 이분 이중 커버, 정점을 두 배로 하여 그래프를 이분 그래프로 변환하는 방법
• 초당 하이퍼그래프, 하이퍼그래프에 대한 초당성의 일반화입니다.
• 이분 그래프의 그래픽 매트로이드를 포함하는 매트로이드 클래스인 초당 매트로이드
• 초당 네트워크 투영, 초당 네트워크에 대한 정보를 압축하기 위한 가중치 기술
• 볼록 이분 그래프, 정점이 인접하도록 정렬할 수 있는 이분 그래프
• 다중 파티 그래프, 두 개 이상의 꼭지점 하위 집합으로 이분 그래프를 일반화함
• 패리티 그래프, 동일한 두 점 사이의 유도 경로 각각이 동일한 패리티를 갖는 이분 그래프의 일반화
• 단자가 독립된 집합을 형성하는 Steiner 트리 문제 인스턴스의 일종인 준 바이파타이트 그래프, 초당 그래프에 대해 일반화하는 근사 알고리즘
• 분할 그래프: 정점을 두 개의 부분 집합으로 분할할 수 있는 그래프. 하나는 독립적이고 다른 하나는 클리크입니다.
• 금지된 하위 그래프가 있는 초당 그래프의 최대 에지 수에 대한 Zarankiewicz 문제

레퍼런스

외부 링크

• "Graph, bipartite", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 그래프 클래스와 그 포함에 관한 정보 시스템: 이분 그래프
• Weisstein, Eric W., "Bipartite Graph", MathWorld
• 시스템 생물학 및 의학 분야 양분 그래프