최대 엔트로피 랜덤 그래프 모형

최대 엔트로피 랜덤 그래프 모델은 글로벌, 분포 또는 로컬일 수 있는 구조적 ^[1]제약 조건 하에서 최대 엔트로피의 원리를 따르는 복잡한 네트워크를 연구하기 위해 사용되는 랜덤 그래프 모델입니다.

개요

임의의 랜덤 그래프 모델(고정된 매개변수 값 집합에서)은 그래프에 확률 분포를 가져오며, 고려된 분포 클래스 내에서 최대 엔트로피인 모델은 네트워크^[2] 추론을 위한 최대 치우침이 없는 null 모델이라는 특수성을 가진다(예: 생물학적 네트워크 추론).각 모델 크기 n{n\displaystyle}(각 n을을 위해;n0{\displaystyle n&gt고 일부는 유한한 n0에 n_{0}}{\displaystyle n_{0}})의 그래프의 세트장에, 제약 조건의 컬렉션에 의해 J{J\displaystyle}실제로에 parameterized를 1확률 분포의 가족은{Qj(G)}j을 정의합니다. j $\displaystyle \{Q_{j}(G)\}_{j=1}^{J}$ 각 $\{Q_{j}(G)\}_{j=1}^{J}$ $그래프$ G\{ $displaystyle$ G $}($ 고정 기대 평균 정도, 특정 형태의 정도 분포 또는 특정 정도 시퀀스 등)에 대해 라그랑주 곱셈법에 의한 엔트로피 최대화와 함께 그래프 분포에서 정의된다.이 맥락에서 "최대 엔트로피"는 단일 그래프의 엔트로피가 아니라 랜덤 그래프의 전체 확률론적 앙상블의 엔트로피를 의미한다.

몇몇 일반적으로 공부했다 불규칙망목 모델 사실 예를 들어 최대 엔트로피는 응급실에 그래프 G(n, m){G(n,m)\displaystyle}, 그리고 G){G(n,p)\displaystyle}(각 모서리의 1세계적인 제약 조건이 있), 뿐만 아니라 구성 모델(CM)[3]고 부드러운 구성 모델(SCM)(각 hav에 있다.e $n$ \[ $displaystyle$ n \ ]의 $n$ 로컬 제약, 노드별 정도 값마다 1개씩.위에 언급된 두 쌍의 모델에서 중요한 차이는^[4]^[5] 제약 조건이 샤프(즉, 앙상블에서 확률이 0이 아닌 크기 n $(\displaystyle$ n $)$ $그래프$ 집합의 모든 요소에 의해 충족됨)인지 또는 소프트(즉 전체 앙상블에 걸쳐 평균 충족됨)인지에 있다.전자의 경우는 마이크로 카노닉 ^[6]앙상블에 해당하며, Q $Q_{j}(G)=q_{j}\forall j$ ( $Q_{j}(G)=q_{j}\forall j$ $=$ $Q_{j}(G)=q_{j}\forall j$ j $Q_{j}(G)=q_{j}\forall j$ $Q_{j}(G)=q_{j}\forall j$ { $display Q_{j}(G$ )= $q_{j}\forall$ j}를 $Q_{j}(G)=q_{j}\forall j$ $Q_{j}(G)=q_{j}\forall j$ 하는 $G$ 모든 $그래프$ G { $style$ G $}$ 의 최대 엔트로피 조건은 적합하며, 후자의 경우는 지수 모델(^[7]mergraph)을 생성한다.

모델	제약 조건 유형	제약 변수	확률 분포
ER, $G(n,m)$ ( $G(n,m)$ , $G(n,m)$ ) { $displaystyle$ G ( $n$ , $m$ ) }	샤프, 글로벌	총 에지 $\|E(G)\|$ E ( $\|E(G)\|$ ) $\|E(G)\|$ { $displaystyle$ E ( $G) }$	$1/{\binom {n}{m};\m=E(G)$
ER, $G(n,p)$ ( $G(n,p)$ , $G(n,p)$ ) { $displaystyle$ G ( $n$ , $p$ ) }	소프트, 글로벌	예상되는 총 에지 $\|E(G)\|$ E ( $\|E(G)\|$ ) { $displaystyle$ E ( $G$ ) $}$	$p^{ E(G) }(1-p)^{\binom {n}{2}}- E(G) }$
구성 모델	샤프, 로컬	각 정점의 도 $\{{\hat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ { $\{{\hat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ ^ $\{{\hat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{{\hat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{{\hat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{{\hat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{{\hat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ { $displaystyle$ \ {\ $hat {k}}_{j$ }\} $_{j=1}^{n}$	$(\displaystyle 1/\left\vert \Omega (\{\hat {k}_{j}_{n})\right\vert;\Omega (\{k_{j}\}_{j=1}{n})=\{g\in {mathcal {G}_{n}_{k}{j}\hat_{k}{k}{n}{k}{k}}{k}\}}{hat}{k}}{k}}{hat}{k}}}}}}{hat}}{$
소프트 구성 모델	소프트, 로컬	각 정점의 예상 정도 $\{{\hat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ { $\{{\hat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ ^ $\{{\hat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{{\hat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{{\hat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{{\hat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{{\hat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ ({\ $displaystyle \{\hat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n})$	$Z^{-1}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}(G)\right];\frac \partial \psi _{j}=hat {k}_{j}$

그래프의 표준 앙상블(일반 프레임워크)

$n개의$ 정점이 $있는$ 단순 그래프의 집합 $(\$ $displaystyle$ ${G})$ 에 확률 $\mathbb {P} (G)$ P $G)\$ displaystyle $\$ $mathbb {P}($ $G)}$ 로 $\mathbb {P} (G)$ ${\mathcal {G}}_{n}$ $n$ 구성된 랜덤 그래프 모델을 구축한다고 가정합니다.이 앙상블의 깁스 $S[G]$ S [G $]$ { $displaystyle$ S $[G]}$ 는 $S[G]$ 다음과 같이 주어진다.

\displaystyle S[G]=-\sum _{G\in\mathcal {G}_{n}\mathbb {P}(G)\log \mathbb {P}(G)}

관측 가능한 $\{Q_{j}(G)\}_{j=1}^{J}$ { $\{Q_{j}(G)\}_{j=1}^{J}$ $\{\langle Q_{j}\rangle \}_{j=1}^{J}$ ( $\{Q_{j}(G)\}_{j=1}^{J}$ $\{Q_{j}(G)\}_{j=1}^{J}$ $\{\langle Q_{j}\rangle \}_{j=1}^{J}$ $\{\langle Q_{j}\rangle \}_{j=1}^{J}$ 1 $\{\langle Q_{j}\rangle \}_{j=1}^{J}$ $(\displaystyle Q_{j}\rangle$ \} $\{Q_{j}(G)\}_{j=1}^{J}$ ${j=1}^{J}$ $\{Q_{j}(G)\}_{j=1}^{J}$ $\{Q_{j}(G)\}_{j=1}^{J}$ J $displaystyle$ \{ $Q_j$ }) = 1 J (\displaystyle \ { $Q_{j}$ $\{\langle Q_{j}\rangle \}_{j=1}^{J}$ = { $J}^{J$ }^{J $\{\langle Q_{j}\rangle \}_{j=1}^{J}$ }}}^{ $J}}$ 을 $\{\langle Q_{j}\rangle \}_{j=1}^{J}$ 으)로 하고 싶습니다. $그래프$ 분포에서 스타일 J $}$ "소프트" 제약 조건:

\displaystyle Q_{j}\rangle = \sum _ {G\in {mathcal {G}_{n}}\mathbb {P}(G)Q_{j}(G)=q_{j}

$j=1,...,J$ 서 j $j=1,...,J$ , $j=1,...,J$ . $j=1,...,J$ . , $j=1,...,J$ J {\ $displaystyle$ j $=1,...J}$ 는 $j=1,...,J$ 구속조건에 레이블을 붙입니다. $\langle Q_{j}\rangle =q_{j}$ j $\langle Q_{j}\rangle =q_{j}$ iers $\langle Q_{j}\rangle =q_{j}$ $\langle Q_{j}\rangle =q_{j}$ j \ $displaystyle Q_{j}\rangle =$ q $\langle Q_{j}\rangle =q_{j}$ 를 만족시키면서 $S[G]$ S [ $G ]$ { $displaystyle$ $\mathbb {P}$ ( $G)$ } 를 $\mathbb {P} (G)$ $S[G]$ $S[G]$ 하는 $\mathbb {P} (G)$ P $\mathbb {P} (G)$ ( $)$ { $displaystyle$ \mathbbbb {P} (G) } ) iers iers iers iers iers iers 、 iers iers iers iers iers iers iers iers iers applic applic applic applic applic applic applic applic applic applic applic applic $\displaystyle \sum$ _ ${G\in {mathcal {G}_{n}}\mathbb {P}(G)=1}$ 의 결과는 $\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\mathbb {P} (G)=1$ 다음과 같습니다.^[1]

({displaystyle \mathbb {P} (G) = flac {1} {Z} } \ exp \ left [ - \ sum _ { j = 1 }^{ J } \ psi _ { j } Q _ { j （ G ) \ right ] , ） 。

$Z$ 서Z {\ $displaystyle$ Z $}$ 는 $Z$ 정규화 상수(분할 함수)이고 $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{J}$ {\ $displaystyle$ _ ${j}\}_{j=1}^{J}}$ 는 $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{J}$ 해당 색인 그래프 관측 가능에 결합된 매개변수(라그랑주 승수)이며, 이러한 특성에서 원하는 값을 가진 그래프 샘플을 산출하도록 조정할 수 있습니다.ge; 그 결과는 지수 패밀리 및 표준 앙상블, 특히 ERM을 산출합니다.

Erdis-Rényi $G(n,m)$ G ( $G(n,m)$ , $G(n,m)$ $){$ $displaystyle$ G ( $n$ , $m$ ) }

위의 표준 프레임워크에서는 앙상블의 수량 $\langle Q_{j}\rangle$ $\langle Q_{j}\rangle$ j $\langle Q_{j}\rangle$ { $displaystyle$ \ $special$ Q $_$ { $j$ } \ $rangle$ 에 제약이 가해졌습니다.단, 이러한 속성은 평균적으로 { $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{J}$ j $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{J}$ } $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{J}$ $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{J}$ $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{J}$ J { $displaystyle$ \ { \ $psi$ _ j } \ { j } $=$ { $j$ } $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{J}$ }의 $적절한$ 설정으로 지정할 수 있는 값을 취합니다. ${\$ $displaystyle$ G $}$ 에는 Q $G$ $Q_{j}(G)\neq q_{j}$ j ( $Q_{j}(G)\neq q_{j}$ q $Q_{j}(G)\neq q_{j}$ j ( G )\ $neq Q _$ { j $Q_{j}(G)\neq q_{j}$ }이 $Q_{j}(G)\neq q_{j}$ 되어 있을 수 있습니다.이는 바람직하지 않을 수 있습니다.대신 훨씬 더 엄격한 조건을 부과할 수 있습니다. 확률이 0이 아닌 모든 $Q_{j}(G)=q_{j}$ 는 Q $Q_{j}(G)=q_{j}$ j ( $Q_{j}(G)=q_{j}$ $Q_{j}(G)=q_{j}$ $q$ j $({$ 를 $Q_{j}(G)=q_{j}$ $Q_{j}(G)=q_{j}$ $Q_{j}(G)=q_{j}$ 해야 합니다.이러한 "선명한" 제약 조건 하에서 최대 엔트로피 분포가 결정됩니다.예를 들어 Erdős-Rényi $G(n,m)$ G ( $G(n,m)$ , $G(n,m)$ $){$ $displaystyle$ G ( $n$ , $m$ ) $G(n,m)$ 。

G(n, m){G(n,m)\displaystyle}의 날카로운 제약 조건은 가장자리가 고정된 수로의 모든 그래프 G{G\displaystyle}은 앙상블(확률 P와 표시된, m(G로 인스턴스화){에서 선발에서 E((G))m{\displaystyle \operatorname{E}(G)=m}{m\displaystyle},[8],다는 것은 분명한 사실이다.\di $splaystyle \mathbb {P} _{n,m}(G)}$ 입니다.따라서 샘플 공간은 $(\$ $n$ ${n$ $})(\$ n의 $모든$ 그래프)에서 서브셋 ${\mathcal {G}}_{n,m}=\{g\in {\mathcal {G}}_{n};|\operatorname {E} (g)|=m\}\subset {\mathcal {G}}_{n}$ ${\mathcal {G}}_{n,m}=\{g\in {\mathcal {G}}_{n};|\operatorname {E} (g)|=m\}\subset {\mathcal {G}}_{n}$ ${\mathcal {G}}_{n,m}=\{g\in {\mathcal {G}}_{n};|\operatorname {E} (g)|=m\}\subset {\mathcal {G}}_{n}$ { ${\mathcal {G}}_{n,m}=\{g\in {\mathcal {G}}_{n};|\operatorname {E} (g)|=m\}\subset {\mathcal {G}}_{n}$ math ${\mathcal {G}}_{n,m}=\{g\in {\mathcal {G}}_{n};|\operatorname {E} (g)|=m\}\subset {\mathcal {G}}_{n}$ ; E ${\mathcal {G}}_{n,m}=\{g\in {\mathcal {G}}_{n};|\operatorname {E} (g)|=m\}\subset {\mathcal {G}}_{n}$ ( g ) ${\mathcal {G}}_{n,m}=\{g\in {\mathcal {G}}_{n};|\operatorname {E} (g)|=m\}\subset {\mathcal {G}}_{n}$ m ${\mathcal {G}}_{n,m}=\{g\in {\mathcal {G}}_{n};|\operatorname {E} (g)|=m\}\subset {\mathcal {G}}_{n}$ } ${\mathcal {G}}_{n,m}=\{g\in {\mathcal {G}}_{n};|\operatorname {E} (g)|=m\}\subset {\mathcal {G}}_{n}$ Gn { $displaystyle {G}_n,$ {n} = { $mathcal}$ { $g})$ 로 제한됩니다. $G}_{n$ 이는 시스템이 특정 에너지 값의 모든 상태의 위상 공간에서 얇은 다양체로 제한되는 고전 통계 역학의 마이크로캐노믹 앙상블과 직접 유사하다.

샘플 공간을 ${\mathcal {G}}_{n,m}$ $(\$ { $G}$ _{ ${\mathcal {G}}_{n,m}$ , $m$ 으로 제한한 후, 만족할 외부 제약(정규화 이외)이 없으므로 $G)\displaystyle \mathbb$ { $P}_{n,m}($ G $)$ 을 $\mathbb {P} _{n,m}(G)$ 선택하여 S $DISPLAYLE$ S $]$ 를 $S[G]$ 합니다.외부 제약조건이 없는 경우의 엔트로피 최대화 분포는 표본공간에 걸친 균일한 분포(최대 엔트로피 확률 분포 참조)라는 것은 잘 알려져 있으며, 여기서 우리는 다음과 같은 정보를 얻을 수 있다.

\mathbb {P} _{n,m} (G) = snfrac {1} {\mathcal {G} _ {n,m} } = snbinom {n} {m} {m} {{-1

여기서 이항계수의 마지막 표현은 $m$ 의 $m$ 에지를 ( $n$ 2 $)(\$ $displaystyle$ ${n}{2})$ 가능한 ${\binom {n}{2}}$ 에지에 ${\binom {n}{2}}$ $m$ 하는 방법 수이며, 따라서 ${\mathcal {G}}_{n,m}$ $(\$ 의 카디널리티가 됩니다.

일반화

다양한 최대 엔트로피 앙상블이 단순 그래프의 일반화에 대해 연구되었다.여기에는 예를 들어 ^[9]단순 복합체의 앙상블과 주어진 예상 정도 시퀀스를 갖는 가중 랜덤 그래프가 포함된다.

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레퍼런스

^ ^a ^b Park, Juyong; M.E.J. Newman (2004-05-25). "The statistical mechanics of networks". arXiv:cond-mat/0405566.
^ van der Hoorn, Pim; Gabor Lippner; Dmitri Krioukov (2017-10-10). "Sparse Maximum-Entropy Random Graphs with a Given Power-Law Degree Distribution". arXiv:1705.10261.
^ Newman, Mark (2010). Networks: An Introduction - Oxford Scholarship. doi:10.1093/acprof:oso/9780199206650.001.0001. ISBN 9780199206650.
^ Garlaschelli, Diego; den Hollander, Frank; Roccaverde, Andrea (2018-07-13). "Covariance Structure Behind Breaking of Ensemble Equivalence in Random Graphs". Journal of Statistical Physics. 173 (3–4): 644–662. arXiv:1711.04273. Bibcode:2018JSP...173..644G. doi:10.1007/s10955-018-2114-x. ISSN 0022-4715.
^ Roccaverde, Andrea (August 2018). "Is breaking of ensemble equivalence monotone in the number of constraints?". Indagationes Mathematicae. 30: 7–25. arXiv:1807.02791. doi:10.1016/j.indag.2018.08.001. ISSN 0019-3577.
^ Bianconi, G. (2018-08-21). Multilayer Networks: Structure and Function. Oxford University Press. ISBN 9780198753919.
^ Anand, K.; Bianconi, G. (2009). "Entropy measures for networks: Toward an information theory of complex topologies". Physical Review E. 80 (4): 045102. arXiv:0907.1514. Bibcode:2009PhRvE..80d5102A. doi:10.1103/PhysRevE.80.045102. PMID 19905379.
^ Erdős, P.; Rényi, A. (1959). "On Random Graphs. I" (PDF). Publicationes Mathematicae. 6: 290–297.
^ Zuev, Konstantin; Or Eisenberg; Dmitri Krioukov (2015-10-29). "Exponential Random Simplicial Complexes". arXiv:1502.05032.
^ Hillar, Christopher; Andre Wibisono (2013-08-26). "Maximum entropy distributions on graphs". arXiv:1301.3321.

[Park-1] Park, Juyong; M.E.J. Newman (2004-05-25). "The statistical mechanics of networks". arXiv:cond-mat/0405566.

[van_der_Hoorn-2] van der Hoorn, Pim; Gabor Lippner; Dmitri Krioukov (2017-10-10). "Sparse Maximum-Entropy Random Graphs with a Given Power-Law Degree Distribution". arXiv:1705.10261.

[Newman_2010-3] Newman, Mark (2010). Networks: An Introduction - Oxford Scholarship. doi:10.1093/acprof:oso/9780199206650.001.0001. ISBN 9780199206650.

[4] Garlaschelli, Diego; den Hollander, Frank; Roccaverde, Andrea (2018-07-13). "Covariance Structure Behind Breaking of Ensemble Equivalence in Random Graphs". Journal of Statistical Physics. 173 (3–4): 644–662. arXiv:1711.04273. Bibcode:2018JSP...173..644G. doi:10.1007/s10955-018-2114-x. ISSN 0022-4715.

[5] Roccaverde, Andrea (August 2018). "Is breaking of ensemble equivalence monotone in the number of constraints?". Indagationes Mathematicae. 30: 7–25. arXiv:1807.02791. doi:10.1016/j.indag.2018.08.001. ISSN 0019-3577.

[6] Bianconi, G. (2018-08-21). Multilayer Networks: Structure and Function. Oxford University Press. ISBN 9780198753919.

[Anand-7] Anand, K.; Bianconi, G. (2009). "Entropy measures for networks: Toward an information theory of complex topologies". Physical Review E. 80 (4): 045102. arXiv:0907.1514. Bibcode:2009PhRvE..80d5102A. doi:10.1103/PhysRevE.80.045102. PMID 19905379.

[ER-8] Erdős, P.; Rényi, A. (1959). "On Random Graphs. I" (PDF). Publicationes Mathematicae. 6: 290–297.

[Zuev-9] Zuev, Konstantin; Or Eisenberg; Dmitri Krioukov (2015-10-29). "Exponential Random Simplicial Complexes". arXiv:1502.05032.

[Hillar-10] Hillar, Christopher; Andre Wibisono (2013-08-26). "Maximum entropy distributions on graphs". arXiv:1301.3321.

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그래프의 표준 앙상블(일반 프레임워크)

Erdis-Rényi $G(n,m)$ G ( $G(n,m)$ , $G(n,m)$ $){$ $displaystyle$ G ( $n$ , $m$ ) }

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Erdis-Rényi 모델 G ( n , m ){ displaystyle G ( n , m ) }

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Erdis-Rényi $G(n,m)$ G ( $G(n,m)$ , $G(n,m)$ $){$ $displaystyle$ G ( $n$ , $m$ ) }

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