소프트 구성 모델

응용 수학에서 소프트 구성 모델(SCM)은 표본 ^[1]그래프의 정도 시퀀스에 대한 예상에 따른 제약 조건 하에서 최대 엔트로피의 원리를 따르는 랜덤 그래프 모델이다.컨피규레이션모델(CM)은 특정 정도 시퀀스의 랜덤그래프를 균등하게 샘플링하지만 SCM은 모든 네트워크 실현에 걸쳐 평균적으로 지정된 정도 시퀀스를 유지합니다.이 점에서 SCM은 CM에 비해 매우 완화된 제약('샤프'가^[2] 아닌 '소프트' 제약)을 가지고 있습니다. $크기가 n$ 인 그래프에 $n$ 대한 SCM은 $n인 그래프$ 를 샘플링할 확률이 0이 아닌 반면 CM은 정확하게 규정된 연결 구조를 가진 그래프로만 제한됩니다.

모형 제작

SCM은 { $\{v_{j}\}_{j=1}^{n}=V(G)$ $\{v_{j}\}_{j=1}^{n}=V(G)$ $\{v_{j}\}_{j=1}^{n}=V(G)$ $\{v_{j}\}_{j=1}^{n}=V(G)$ $\{v_{j}\}_{j=1}^{n}=V(G)$ $\{v_{j}\}_{j=1}^{n}=V(G)$ $\{v_{j}\}_{j=1}^{n}=V(G)$ $n=|V(G)|$ ( \ $displaystyle$ n ) $\{v_{j}\}_{j=1}^{n}=V(G)$ = $V$ ( $=$ 1 n = $V$ ( $G$ ) $라벨$ 이 $붙은$ $랜덤$ 그래프G ( \ $displaystyle$ $n=|V(G)|$ )의 $G$ 통계적 앙상블이다. $hcal {G}}_{n}($ $크기$ n ${displaystyle$ n $}$ 의 그래프 세트).앙상블에 부과되는 $제약조건$ 은 $n$ $n개$ 입니다.즉, 모든 $v_{j}\in V(G)$ $v_{j}$ {\ $v_{j}\in V(G)$ ( $v_{j}\in V(G)$ ) \ $display$ $style$ $v$ $_$ { $v_{j}$ $j$ } ${\widehat {k}}_{j}$ ${\widehat {k}}_{j}$ k $k_{j}$ ^ ${\widehat {k}}_{j}$ j \ $display$ ${\widehat {k}}_{j}$ style { $k } _$ { $j$ $v_{j}\in V(G)$ } 。 $V(G$ 모델은 크기 $n$ (\ $displaystyle$ n $)$ 과 $n$ 예상 정도 시퀀스 $\{{\widehat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ { $\{{\widehat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ ^ $\{{\widehat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{{\widehat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{{\widehat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{{\widehat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{{\widehat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ (\ $displaystyle \{\widehat {k}\}_{j=1}^{n$ 에 의해 완전히 파라미터화됩니다.이러한 제약조건은 로컬(각 정점과 관련된 하나의 제약조건)과 소프트(특정 관측 가능한 양의 앙상블 평균에 대한 제약조건) 모두이며, 따라서 광범위한 수의 ^[2]제약조건을 가진 표준 앙상블을 산출한다.조건 $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j}$ $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j}$ j $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j}$ $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j}$ $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j}$ ^ $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j}$ \ $displaystyle \displayle k_{j}\rangle$ = $widewidehat {k}_{j}$ 는 $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j}$ 라그랑주 승수법에 의해 앙상블에 부과된다(최대 엔트로피 랜덤 그래프 모델 참조).

확률 분포의 도출

$\mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)$ P $\mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)$ ( $\mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)$ $)\displaystyle \mathbb {P}_{\text{\$ text} $그래프$ G를 생성하는 SCM의 SCM $}(G)$ 은 $\mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)$ $G$ 제약조건 $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j},\ j=1,\ldots ,n$ $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j},\ j=1,\ldots ,n$ j $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j},\ j=1,\ldots ,n$ $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j},\ j=1,\ldots ,n$ ^ $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j},\ j=1,\ldots ,n$ $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j},\ j=1,\ldots ,n$ , $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j},\ j=1,\ldots ,n$ $=$ , $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j},\ j=1,\ldots ,n$ , $\langle k_{j}\rangle ={\widehat {k}}_{j},\ j=1,\ldots ,n$ \ $displaystyle \le$ k_ ${j\$ hatle }의 Gibbs $S[G]$ [ $G](\displaystyle$ S $[G])$ 를 $S[G]$ 최대화하여 구한다. $\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)=1$ $SCM}}(G)=1$ 이는 아래의 다중 제약 조건 라그랑주 함수를 최적화하는 것과 같습니다.

{\mathcal {L}}\left(\alpha,\{\psi _{j}\}_{j=1}^{n}\right)\\[6pt]={}&-\sum _{G\in {mathcal {G}_{n}}\mathbb {P}_{\text{\text}SCM}}(G)\log \mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)+\alpha \left(1-\sum _{G\in {mathcal {G}}_{n}}\mathbb {P}_{\text{\text})SCM}}(G)\오른쪽)+\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}\leftsum\widehat {k}_{j}-\sum _{G\in {mathcal {G}}_{n}\mathbb {P}_{\text}SCM}(G)k_{j}(G)\right),\end{aligned}

$\alpha$ 서 $\alpha$ α(\ $displaystyle \alpha }$ $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{n}$ 및 $\alpha$ { $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{n}$ j $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{n}$ $=$ $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{n}$ (\ $displaystyle \{j}\}_{j$ =1 $}^{n$ })은 $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{n}$ n $n+1$ + $n+1$ (\ $displaystyle$ n $+1$ ) 구속조건 $n+1$ (정규화 및 예상되는 정도 시퀀스)에 의해 고정되는 $n+1$ + $n+1$ (\displaystyle n+ $1})$ 승수입니다 $n+1$ . $\mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)$ $\mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)$ ( G $\mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)$ )\displaystyle $\mathbb {P}_{\text$ {\ $text}$ 에 $\mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)$ 위의 도함수를 0으로 설정합니다. $G\in {\mathcal {G}}_{n}$ $}}(G)}:$ 임의의 $\mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)$ G g $(\$ G $\in(\mathcal {G})_$ 수율

{{displaystyle 0=mathcal {L}}\left(\alpha,\psi _{j}\}_{j=1}^{n}\right){\mathbb {P}_{\text}SCM}}(G)}}}=-\log \mathbb {P} _{\text{SCM}}(G)-1-\alpha -\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\오른쪽 화살표 \mathbb {P}_{\text{\text}SCM}}(G)=secfrac {1}{Z}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right],}

$Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ Z : $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ α + $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ G $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ exp $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ [ $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ - $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ n $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ k $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ ( $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ ) $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ ] $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ 1 $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ i < $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ ( $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ + $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ - ( $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ i + $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ j $Z:=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in {\mathcal {G}}_{n}}\exp \left[-\sum _{j=1}^{n}\psi _{j}k_{j}(G)\right]=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(1+e^{-(\psi _{i}+\psi _{j})}\right)$ ) \ $displaystyle$ Z :=e^{\alpha +1}=\sum _{G\in{\mathcal{G}}_{n}}\exp \left[-\sum_{j=1}^{n}\psi_{j}k_{j}(G=\right]=\prod _ᆮ\left(1+e^{-(\psi_{나는}+\psi_{j})}\right)}[3]고 있는 파티션 기능은 유통 정상화, 위의 지수 표현 모든 G가 ∈ Gn{\displaystyle G\in{{G\mathcal}}_{n}에}적용된다,는hus은확률 분포따라서 { $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{n}$ j $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{n}$ {\ $displaystyle \{\psi$ _ ${j}\}_{j=1}^{n$ 에 $\{\psi _{j}\}_{j=1}^{n}$ 의해 파라미터화된 지수 패밀리가 있으며, 이는 기대도 시퀀스 $\{{\widehat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ { $\{{\widehat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ j $\{{\widehat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ $\{{\widehat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ n {\ $displaystyle \{\widehat {k}_{j$ }\}_ ${j}^{$ n}^{ $n}}}}^{$ n}^{n}}}}}^{n $\{{\widehat {k}}_{j}\}_{j=1}^{n}$ }}}^1}}}}}}}}}}에 의해 다음과 같은 식에 관련됩니다.

{\displaystyle k_{q}\rangle = \sum _ {G\in {mathcal {G}_{n}}k_{q}(G)\mathbb {P}_{\text}SCM}}(G)=-{\frac {\frac \log Z}{\partial \psi _{q}}=\sum _{j\neq}{e^{\psi _{q}+{j}+1}}={\frac {k}_{q},\ldots},\frac {\frac {1}.

레퍼런스

^ van der Hoorn, Pim; Gabor Lippner; Dmitri Krioukov (2017-10-10). "Sparse Maximum-Entropy Random Graphs with a Given Power-Law Degree Distribution". arXiv:1705.10261.
^ ^a ^b Garlaschelli, Diego; Frank den Hollander; Andrea Roccaverde (January 30, 2018). "Coviariance structure behind breaking of ensemble equivalence in random graphs" (PDF).
^ Park, Juyong; M.E.J. Newman (2004-05-25). "The statistical mechanics of networks". arXiv:cond-mat/0405566.

[van_der_Hoorn-1] van der Hoorn, Pim; Gabor Lippner; Dmitri Krioukov (2017-10-10). "Sparse Maximum-Entropy Random Graphs with a Given Power-Law Degree Distribution". arXiv:1705.10261.

[Diego-2] Garlaschelli, Diego; Frank den Hollander; Andrea Roccaverde (January 30, 2018). "Coviariance structure behind breaking of ensemble equivalence in random graphs" (PDF).

[Park-3] Park, Juyong; M.E.J. Newman (2004-05-25). "The statistical mechanics of networks". arXiv:cond-mat/0405566.

[1]

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