시프트 공간

기호역학과 수학의 관련 분야에서, 시프트 공간(subshift space)은 이산 체계의 진화를 나타내는 무한한 단어들의 집합입니다.사실, 이동 공간과 기호 동적 시스템은 종종 동의어로 간주됩니다.가장 널리 연구된 이동 공간은 유한 유형의 하위 이동과 소클 이동입니다.

고전적 체계[1]에서, 시프트 공간은 AZ : = { (xi) i ∈ Z : x ∈ i ∈ Z }의 임의의 부분 집합 δ \ displaystyle \Lambda \ \ displaystyle A^{\mathbb {Z} = \{x_{i}_{i}_{i}_{i}_in \ displaystyledisplaystyle {\mathbd}, 여기서 A \mathbd}는 유한하다,이는 티초노프 위상에 대해 닫히고 변환에 의해 불변한다.보다 일반적으로 이동 공간은 $AG의$ 부분 집합 및 변환 불변 부분 집합으로 정의할 수 있습니다 $A^{\mathbb {G} }$ $A$ 서 A $({displaystyle$ A $})$ 는 $A$ 비어 있지 않은 $\mathbb {G}$ 이고 G $({$ 는 $\mathbb {G}$ ^[2]^[3]모노이드입니다.

정의.

G{displaystyle \mathbb {G}를 모노이드로 하고, g, h{displaystyle g,h\in \mathbb {G}가 주어지면 g{displaystyle g}의 연산을 g{displaystyle g}에 의해 h{displaystyle g}로 표시한다. 1G는 G{displaystyle {G}의 동일성을 G}가 비어 있지 않은 집합으로 간주한다 AG를 Gdisplaystyle \mathbb {G}에 의해 색인화된 A({displaystyle A^{\mathbb {G}}) 위의 모든 패턴 집합으로 정의한다. x = (xi) i ∈ G ∈ A ⊂ G a A display \ displaystyle {x} = (x_i}) {i \mathbbbb} 및 G의 경우 N\g\tyleeta\math\bbbeta\tyle n\displaystyle }} $t \mathbb {G$ 우리는 N{\ $displaystyle$ $\mathbf {x}$ 의 $\mathbf {x}$ $N$ $N$ 에 $\mathbf {x}$ x \ $displaystyle$ $\mathbf {x}$ 의 제한을 $\mathbf {x} _{N}:=(x_{i})_{i\in N}$ N : $=$ ( $\mathbf {x} _{N}:=(x_{i})_{i\in N}$ ) i $∈$ $N$ {{N} _ $(x_{i})_{i\in$ N $\mathbf {x} _{N}:=(x_{i})_{i\in N}$ 로 $\mathbf {x} _{N}:=(x_{i})_{i\in N}$ .

$A^{\mathbb {G} }$ {\ $displaystyle$ A $^{\mathbb$ ${G$ $A^{\mathbb {G} }$ 에서 $,$ 우리는 $A^{\mathbb {G} }$ {\ $displaystyle$ A^{\ $mathbb$ { $G}}$ 를 $A^{\mathbb {G} }$ 하우스도르프로 $A^{\mathbb {G} }$ 위상 공간이 완전히 단절된 상태로 만드는 프로이산 토폴로지를 고려합니다.A $({displaystyle$ A $})$ 가 $A$ 유한한 $경우$ , $({$ A $^{\mathbb {G}})$ 는 $A^{\mathbb {G} }$ 소형입니다.그러나 A $({displaystyle$ A})가 $A$ 유한하지 $A^{\mathbb {G} }$ $({$ A $^{\mathbb {G}})$ 는 $A^{\mathbb {G} }$ 국소적으로 압축되지도 않습니다.

이 위상은 G(displaystyle \mathbb {G})가 계수 가능하고, 어떤 경우에도, 이 위상의 기저부는 다음과 같이 정의된 열린/닫힌 집합(실린더라고 함)으로 구성될 경우에만 측정 가능하다: 유한한 인덱스 집합 D ⊂ G\displaystyle D\subset \mathbb{G}와 각 i ∈ D \displaystystyle i\in D, $a_{i}\in A$ $a_{i}\in A$ $({displaystyle a_{i}\in$ A $a_{i}\in A$ 로 $a_{i}\in A$ 합니다.D ${displaystyle$ D $}$ 와 $D$ $(a_{i})_{i\in D}\in A^{|D|}$ $(a_{i})_{i\in D}\in A^{|D|}$ $(a_{i})_{i\in D}\in A^{|D|}$ $(a_{i})_{i\in D}\in A^{|D|}$ $a_{i}_{i\in$ D $}\in$ A $^{D}}$ 에 $(a_{i})_{i\in D}\in A^{|D|}$ $의해$ 주어진 실린더가 집합입니다.

 $표시({style\big [}(a_{i})_{i\in D}{\big ]}_{D}:=\{\mathbf {x} \in A^{\mathbb {G} }:\x_{i}=a_{i},\forall i\in D\}).$

D $=$ { $}{{displaystyle$ D=\{ $g$ 일 때, 우리는 g $[b]_{g}$ g $}$ 에 $g$ 의해 색인화된 $g$ 에서 기호 b ${displaystyle$ b}를 $b$ [b $]$ g{displaystyle $[b]$ 로 고정하는 실린더를 나타냅니다.

즉, 실린더 [(a i) i ∈ D ] D는 AG의 모든 무한 패턴 집합이다.

g $g\in \mathbb {G}$ $G{\$ $displaystyle$ g $\$ $in \$ $mathbb {G}$ 가 $A^{\mathbb {G} }$ 주어졌을 때 $,$ $AG$ 의 g-shift 맵은 $σ$ : A $\sigma ^{g}:A^{\mathbb {G} }\to A^{\mathbb {G} }$ A $\sigma ^{g}:A^{\mathbb {G} }\to A^{\mathbb {G} }$ \ $displaystyle$ \displaystyle $^{g}$ 로 표시됩니다. $A^{\mathbb {G}}\to$ A $^{\mathbb {G}}$ 이며 $\sigma ^{g}:A^{\mathbb {G} }\to A^{\mathbb {G} }$ 다음과 같이 정의됩니다.

 $\sigma ^{g}{\big (}(x_{i})_{i\in \mathbb {G} }{\big )}=(x_{gi})_{i\in \mathbb {G} }$ ◦  $\sigma ^{g}{\big (}(x_{i})_{i\in \mathbb {G} }{\big )}=(x_{gi})_{i\in \mathbb {G} }$  ( $\sigma ^{g}{\big (}(x_{i})_{i\in \mathbb {G} }{\big )}=(x_{gi})_{i\in \mathbb {G} }$ ( $\sigma ^{g}{\big (}(x_{i})_{i\in \mathbb {G} }{\big )}=(x_{gi})_{i\in \mathbb {G} }$  i $\sigma ^{g}{\big (}(x_{i})_{i\in \mathbb {G} }{\big )}=(x_{gi})_{i\in \mathbb {G} }$ )  $\sigma ^{g}{\big (}(x_{i})_{i\in \mathbb {G} }{\big )}=(x_{gi})_{i\in \mathbb {G} }$   $\sigma ^{g}{\big (}(x_{i})_{i\in \mathbb {G} }{\big )}=(x_{gi})_{i\in \mathbb {G} }$ )  $\sigma ^{g}{\big (}(x_{i})_{i\in \mathbb {G} }{\big )}=(x_{gi})_{i\in \mathbb {G} }$ ( $\sigma ^{g}{\big (}(x_{i})_{i\in \mathbb {G} }{\big )}=(x_{gi})_{i\in \mathbb {G} }$   $\sigma ^{g}{\big (}(x_{i})_{i\in \mathbb {G} }{\big )}=(x_{gi})_{i\in \mathbb {G} }$ )  $\sigma ^{g}{\big (}(x_{i})_{i\in \mathbb {G} }{\big )}=(x_{gi})_{i\in \mathbb {G} }$  ∈ G ${\$  \displaystyle $^{g}{\big (}(x_{i)}_{i\in \mathbb {G}}=(x_{gi})_{i\in$  \ $mathbb{G$

알파벳 A({displaystyle A}) 위의 이동 공간은 AG({\displaystyle A^{\mathbb {G})의 위상 아래 닫힌 집합 δG({\displaystyle A^{\mathbb {G})이며, 변환 하에서 불변(즉, δ) δ\displaystyle {\mathbbb\da}에 대한 \da \displaystyle\displaystyle A^{g}이다.[주1]우리는 시프트 공간 Δ{\displaystyle \Lambda}에서 실린더 [(a i) i∈ D ] Δ : = [(a i) i∈ D ] Δ \Displaystyle Big [(a {i_}) {I} {\cap} \lambda} \da \da의 유도 토폴로지를 고려한다.

$k\in \mathbb {N} ^{*}$ k $k\in \mathbb {N} ^{*}$ $k\in \mathbb {N} ^{*}$ ${\mathcal {N}}_{k}:=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N=k}A^{N}$ {\ $displaystyle k\in$ \mathbb ${$ $N}$ 에 대해 ${\mathcal {N}}_{k}:=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N=k}A^{N}$ k : $=$ ${\mathcal {N}}_{k}:=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N=k}A^{N}$ ${\mathcal {N}}_{k}:=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N=k}A^{N}$ G # ${\mathcal {N}}_{k}:=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N=k}A^{N}$ ${\mathcal {N}}_{k}:=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N=k}A^{N}$ A N {displaystyle ${mathcal$ { $N}_{k$ }=\ $bigcup _{N\subset$ \mathb{G} \ $n=k^{}$ 를 ${\mathcal {N}}_{k}:=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N=k}A^{N}$ 합니다. $N$ ${\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N<\infty }A^{N}$ ${\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N<\infty }A^{N}$ ${\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N<\infty }A^{N}$ : ${\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N<\infty }A^{N}$ ${\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N<\infty }A^{N}$ ${\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N<\infty }A^{N}$ ∈ ${\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N<\infty }A^{N}$ ${\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N<\infty }A^{N}$ ${\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N<\infty }A^{N}$ = ${\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N<\infty }A^{N}$ ${\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N<\infty }A^{N}$ ⊂ ${\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N<\infty }A^{N}$ G # ${\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N<\infty }A^{N}$ < ∞ ${\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N<\infty }A^{N}$ {\ $displaystyle$ {{ $mathcal {N}}_{$ $A^{\mathbb {G}}^{f}:=\bigcup_{k\in \mathbb {N}$ }{\ $mathcal {N}_{k$ }=\ $bigcup_{N\subset$ \ $mathbb$ {G} \mathbbb{G} \ $math \#N$ <\ $infty}A^{$ N ${\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}:=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }{\mathcal {N}}_{k}=\bigcup _{N\subset \mathbb {G} \atop \#N<\infty }A^{N}$ 이동 공간을 정의하는 동등한 방법은 금지된 $F\subset {\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}$ 집합 $F\subset {\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}$ $디스플레이 {{{\$ 입니다.A $^{\mathbb {G}}^{f}}$ 이며 $F\subset {\mathcal {N}}_{A^{\mathbb {G} }}^{f}$ 이동 공간을 집합으로 $정의$ 합니다.

 $X_{F}:=\{\mathbf {x} \in A^{\mathbb {G}}:\\\for all G\in \mathbb{G},\\left(\mathbf {x})_{N}=\mathbf {x}_{gN}\notin F\$

직관적으로, 이동 $X_{F}$ $({$ 는 $X_{F}$ F $({displaystyle$ F $F$ 의 금지된 유한 패턴을 포함하지 않는 모든 무한 패턴의 집합입니다.

시프트 공간의 언어

이동 공간 $\Lambda \subset A^{\mathbb {G} }$ ${\$ A $^{\mathbb {G}}$ 와 $\Lambda \subset A^{\mathbb {G} }$ 유한한 $N\subset \mathbb {G}$ 집합 N $N\subset \mathbb {G}$ $W_{\emptyset }(\Lambda ):=\{\epsilon \}$ G ${\$ N $\subset \mathbb {G$ 를 $W_{\emptyset }(\Lambda ):=\{\epsilon \}$ 할 때, $W_{\emptyset }(\Lambda ):=\{\epsilon \}$ ${\}$ {\ $displaystyle W_$ {\emptyset}(\ $Lambda$ =\{\epsilon \}, 여기서 ϵ{{\displaystyle \}는 빈 단어를 나타내며, N에 대해 WN({\neq \emptyset}) ⊂ AN({\Lambda}) A^{N}은 N의 모든 유한한 배열 집합으로, 일부 Lambda의 순서로 나타난다.

 $\"표시 스타일 W_{N}(\Lambda ):=\{(w_{i})_{i\in N}\in A^{N}:\lambda \text{s.t.}x_{i}=w_{i}\for all\in N\in N\}.$

참고로, $M\subset \mathbb {G}$ ${displaystyle \Lambda}$ 가 $\Lambda$ 이동 공간이므로, 만약 M $M\subset \mathbb {G}$ { $displaystyle M\subset$ \ $mathbb$ { $M=gN$ $}$ 가 $M\subset \mathbb {G}$ N ${$ N $\subset \mathbb{G$ $g\in \mathbb {G}$ 즉, $g\in \mathbb {G}$ G $\$ $=$ $G}$ 의 $M=gN$ $변환이라면,$ 그런 $다음$ $(w_{j})_{j\in M}\in W_{M}(\Lambda )$ ( $(w_{j})_{j\in M}\in W_{M}(\Lambda )$ ) $(w_{j})_{j\in M}\in W_{M}(\Lambda )$ $(v_{i})_{i\in N}\in W_{N}(\Lambda )$ $(w_{j})_{j\in M}\in W_{M}(\Lambda )$ W M $(w_{j})_{j\in M}\in W_{M}(\Lambda )$ $(v_{i})_{i\in N}\in W_{N}(\Lambda )$ $W$ _ { $j ) _$ { $j\in$ M $}\in$ W_ ${M}(\Lambda$ $)}$ $(v_{i})_{i\in N}\in W_{N}(\Lambda )$ $(v_{i})_{i\in N}\in W_{N}(\Lambda )$ $(v_{i})_{i\in N}\in W_{N}(\Lambda )$ $(v_{i})_{i\in N}\in W_{N}(\Lambda )$ ∈ $(v_{i})_{i\in N}\in W_{N}(\Lambda )$ N ( $(v_{i})_{i\in N}\in W_{N}(\Lambda )$ λ N ) $(v_{i})_{i\in N}\in W_{N}(\Lambda )$ \ $in$ W _ ${\in$ N } \ $in$ W _ { $N$ } \ in W _ { N } i $(v_{i})_{i\in N}\in W_{N}(\Lambda )$ $w_{j}=v_{i}$ $j=gi$ $j=gi$ ▁) J $w_{j}=v_{i}$ $_$ $j=gi$ $=$ $i$ $(v_{i})_{i\in N}\in W_{N}(\Lambda )$ $j=gi$ 즉, $){displaystyle W_{M}(\Lambda)}$ $W_{N}(\Lambda )$ WN $)({Displaystyle W_{$ N}(\ $Lambda)}$ 에 $W_{M}(\Lambda )$ $W_{N}(\Lambda )$ 동일한 구성 모듈로 변환이 포함되어 있습니다.우리는 세트를 부를 것입니다.

 $W(\Lambda):=\bigcup_{N\subset \mathbb {G} \time \#N<\infty}W_{N}(\Lambda)$

여기서 말하는 일반적인 맥락에서, 이동 공간의 언어는 형식 언어 이론에서의 언어와 동일한 평균을 가지지 않지만, 알파벳 A({displaystyle A})가 유한하고 G({displaystyle \mathbb {G})가 N({displaystyle \mathbb{N}) 또는 Z({displaystyle {G})라고 생각하는 고전적인 틀에서, 즉, 이동 공간의 언어는 형식 언어이다일반적으로 덧셈이 있는 $yle \mathbb {Z},$ 시프트 $\mathbb {Z}$ 공간의 언어는 형식 언어입니다.

고전적 틀

이동 공간에 대한 고전적인 프레임워크는 알파벳 A({displaystyle A})를 유한으로 간주하고, G({displaystyle \mathbb {G})를 일반적인 덧셈이 있는 음이 아닌 정수의 집합(N({displaystyle \mathbb{N})) 또는 모든 정수의 집합(Z{displaystyle \mathbb{Z})으로 간주한다.두 경우 모두 동일 $\mathbf {1} _{\mathbb {G} }$ 1 $({$ 는 $\mathbf {1} _{\mathbb {G} }$ 숫자 0에 해당합니다.또한, G = N {\displaystyle \mathbb {G} = \mathbb {N}일 때, 모든 N {0 } \setminus \{0\}는 숫자 1로부터 생성될 수 있으므로, 다른 모든 n 스타일에 대해 π (x) n = x + 1 \style \display (\mathbf {x}_n= {n})로 주어진 고유한 시프트 맵을 고려하기에 충분하다G = Z의 경우, 모든 Z가 {-1, 1}로부터 생성될 수 있기 때문에, 모든 n \displaystyle \mathbb {Z}는 π (x) n = n + 1 \displaystyle \displaystyle \displaystyle (\mathbf{G} = \mathbbbbb{Z}) = \mathbbb{Z}의 경우, 모든 n에 대해 주어진 두 개의 시프트 맵을 고려하면 된다 $^{-1}(\mathbf {x})_{n}=x_{n-1$

또한 $,$ G({ $displaystyle$ \ $mathbb$ {G $})$ 가 $\mathbb {G}$ N({ $displaystyle \mathbb$ { $\mathbb {Z}$ $})$ 또는 $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ Z $({$ displaystyle \ $mathbb {Z})$ 일 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {G}$ 마다 대수 $구조$ 로 $인해$ $A$ $({$ displaystyle A $}$ 의 카디널리티와 관계없이)의 일반적인 덧셈이 있을 때마다 형식의 실린더만 고려하면 됩니다.

 $표시 스타일 [a_{0}a_{1}...a_{n}]:=\{(x_{i})_{i\in \mathbb {G}}:\ x_{i}=a_{i}\ \forall i=0,..,n\}}$

또한, 이동 공간의 언어 Δ $\Lambda \subset A^{\mathbb {G} }$ ${\$ A $^{\mathbb {G}}}$ 는 $\Lambda \subset A^{\mathbb {G} }$ 다음과 같이 주어진다.

 $W(\Lambda):=\bigcup_{n\geq 0}W_{n}(\Lambda),$

$W_{0}:=\{\epsilon \}$ 서 W $W_{0}:=\{\epsilon \}$ 0 : $=$ { $ϵ$ $}$ {{ $displaystyle W_{0$ }:=\{\ $epsilon$ \} 및 $W_{0}:=\{\epsilon \}$ $\epsilon$ ϵ {{ $displaystyle$ \epsilon $}$ 은 $\epsilon$ 빈 단어를 나타냅니다.

 ${\displaystyle W_{n}(\Lambda):=\{(a_{i})_{i=0, .n}\in A^{n}:\ \lambda \s.t.\x_{i}=a_{i}\forall i=0,...,n\}}.$

마찬가지로, G = Z (디스플레이 스타일 \mathbb {G} = \mathbb {Z}의 경우, 이동 공간 δ = X F (디스플레이 스타일 \Lambda = X_{F})를 정의하기 위해, F (디스플레이 스타일 F)의 금지 단어가 정의된 G (G)의 인덱스를 지정할 필요가 없다,F $F\subset \bigcup _{n\geq 1}A^{n}$ $F\subset \bigcup _{n\geq 1}A^{n}$ ≥ 1 $F\subset \bigcup _{n\geq 1}A^{n}$ 를 $F\subset \bigcup _{n\geq 1}A^{n}$ 하면 됩니다 $.$ \ $displaystyle$ F $\subset \bigcup$ _ ${n\geq$ 1 $}A^{n}$ 다음 $F\subset \bigcup _{n\geq 1}A^{n}$

 $\"표시 스타일 X_{F}=\{\mathbb {x} \in A^{\mathbb {Z}:\\forall i\in \mathbb {Z},\\forall k\geq 0,\(x_{i}...x_{i+k})\notin F\}.$

그러나, 만약 G = N {\displaystyle \mathbb {G} = \mathbb {N}이라면, 만약 우리가 위와 같이 이동 공간 δ = X F = X_{F}를 정의한다면, 단어가 금지된 위치의 색인을 지정하지 않고, 우리는 단지 이동 맵을 통해 불변하는 이동 공간, 즉, δ (X ) = F (X (X_X_{F_X_X_) \styledisplaystyledisplaystyle) \mathbdisplaystyle) \mathbdisplaystyle\{ $F$ 실제로, 이동 $X_{F}\subset A^{\mathbb {N} }$ $X_{F}\subset A^{\mathbb {N} }$ $\sigma (X_{F})\subsetneq X_{F}$ $X_{F}\subset A^{\mathbb {N} }$ {\ $displaystyle$ X_ ${F}\subset$ A $^{\mathbb {N}}$ 을 $X_{F}\subset A^{\mathbb {N} }$ (를) 정의하려면 $\sigma (X_{F})\subsetneq X_{F}$ ( $\sigma (X_{F})\subsetneq X_{F}$ X{{F}\ $displaystyle \sigma (X_{F})\subsetneq X_{F}}$ 가 $\sigma (X_{F})\subsetneq X_{F}$ $F$ $Fdisplaystyle F$ 의 $F$ 에서 금지된 인덱스를 지정해야 합니다 $.$

특히, A({displaystyle A})가 유한하고, G({displaystyle \mathbb {G})가 N({displaystyle \mathbb {N}) 또는 Z({displaystyle \mathbb {Z})인 고전적 틀에서, F({displaystyle F})가 유한한 경우에만 MF가 유한하다는 것을 알 수 있다그러한 이동 공간으로서의 유한 유형의 이동 $\Lambda \subset A^{\mathbb {G} }$ G \ $\Lambda \subset A^{\mathbb {G} }$ A $^{\mathbb {G}},$ 어떤 $유한$ F {\ $displaystyle$ F $F$ 에 대해 $\Lambda =X_{F}$ $\Lambda =X_{F}$ $\Lambda =X_{F}$ \ $Displaystyle \Lambda$ = $X_{F}$ 와 $\Lambda \subset A^{\mathbb {G} }$ $\Lambda =X_{F}$ 같은 이동.

일부 유형의 시프트 공간

여러 유형의 이동 공간 중에서 가장 널리 연구된 것은 유한 유형의 이동과 소음 이동입니다.

알파벳 A({displaystyle A})가 유한한 경우, 이동 공간 δ({displaystyle \Lambda})는 유한한 패턴 F({displaystyle F})의 유한 집합을 취할 수 있는 경우, 유한한 유형의 이동이다. 예를 들어, δ = XF(displaystyle \Lambda = X_{F})는 유한한 유형의 이동이다iding 블록 코드^[1](즉, 모든 ${displaystyle$ g $}-$ shift $g$ 맵에 대해 연속적이고 불변인 맵 ${displaystyle \Phi$ A $({$ $displaystyle$ $\mathbb {G}$ A $A$ })가 $\mathbb {G}$ 하고 $\mathbb {G}$ ({displaystyle $\mathbb$ { $G})$ 가 $\mathbb {G}$ $\mathbb {N}$ N $({$ $\mathbb {Z}$ Z({displaystyle \ $mathbb$ { $Z})$ 인 $\mathbb {Z}$ $경우$ , 이동 $W(\Lambda )$ $({$ $W(\Lambda )$ $\mathbbb$ ${$ Z $})$ 는 $\Lambda$ W $(\Lambda)$ 가 $W(\Lambda )$ 정규 $W(\Lambda )$ 인 경우에만 해당 이동입니다.

"소픽"이라는 이름은 바이스(1973)가 유한성 ^[4]속성의 일반화라는 사실을 언급하기 위해 히브리어로 "유한"을 의미하는 ויפס▁meaning를 기반으로 하여 만들었습니다.

$A$ 가 $A$ $무한$ 할 때 $,$ $유한$ 유형의 이동을 이동 $\Lambda$ 으로 정의하는 것이 가능합니다 $.$ 다음과 같이 금지 단어의 $집합$ F({ $displaystyle$ $F$ $})$ 를 $\Lambda$ $F$ 취할 수 있습니다.

 $M_{F}:=\{g\in \mathbb {G} :\\subset \mathbb {G}({text{s.t.}}g\in N{\text{ and }}(w_{i})_{i\in N}\in F\},$

는 유한하고 $=$ $\Lambda =X_{F}$ \ $Lambda$ = $X_{$ F $\Lambda =X_{F}$ ^[3] 무한 알파벳의 이러한 맥락에서 음향 이동은 특정 클래스의 슬라이딩 블록 ^[3]코드에서 유한 유형의 이동 이미지로 정의됩니다. $({$ 의 유한성과 슬라이딩 블록 코드의 추가 조건 모두 A $({displaystyle$ A})가 $A$ 유한할 $A$ 마다 경미하게 충족됩니다.

시프트 공간에서의 위상 동역학적 시스템

이동 공간은 상징적인 동적 시스템이 일반적으로 정의되는 위상 공간입니다.

이동 공간 $\Lambda \subset A^{\mathbb {G} }$ $({$ \ $lambda A^{\mathbb {G}})$ 와 $\Lambda \subset A^{\mathbb {G} }$ g $({displaystyle$ g $}$ - 이동 $g$ 맵 $\sigma ^{g}:\Lambda \to \Lambda$ g $\sigma ^{g}:\Lambda \to \Lambda$ : $\sigma ^{g}:\Lambda \to \Lambda$ → $\sigma ^{g}:\Lambda \to \Lambda$ { $displaystyle \lambda ^{g})$ 가 주어졌을 때 $\Lambda \to$ 쌍 $(\Lambda ,\sigma ^{g})$ , $(\Lambda ,\sigma ^{g})$ g $(\Lambda ,\sigma ^{g})$ ) \ $displaystyle (\Lambda,\sigma$ ^{ $g})$ 이 $(\Lambda ,\sigma ^{g})$ 위상 동적 시스템이라는 것을 따릅니다.

두 개의 이동 공간 Δ Δ G(표시 스타일 \Lambda \subset A^{\mathbb {G}}}과 Δ BG(표시 스타일 \Gamma \subset B^{\mathbb {G}) Δ G(표시 스타일 g) 이동 맵마다 위상 동적 시스템(Δ, G), G(G), G(Glamma) Δ\da)을 따르는 경우 위상적으로 공집합(또는 단순히 공집합이라고 한다 $displaystyle (\Gamma,\displaystyle$ $\Phi \circ \sigma ^{g}=\sigma ^{g}\circ \Phi$ ^{g})}은 $(\Gamma ,\sigma ^{g})$ 위상적으로 공집합입니다. 즉, $\Phi :\Lambda \to \Gamma$ 인 맵 $\Phi :\Lambda \to \Gamma$ $\Phi \circ \sigma ^{g}=\sigma ^{g}\circ \Phi$ \ $\Phi \circ \sigma ^{g}=\sigma ^{g}\circ \Phi$ $\Phi$ $\Phi \circ \sigma ^{g}=\sigma ^{g}\circ \Phi$ : \ $Lambda \$ $to$ $\Gamma$ \ $to$ \Gamma \\ $Displaystyle$ $\Phi =$ \ $Phi입니다.$ 이러한 맵은 일반화된 슬라이딩 블록 코드 또는 ${displaystyle \Phi}$ 가 $\Phi$ 균일하게 ^[3]연속될 때마다 슬라이딩 블록 코드로 알려져 있습니다.

비록 Δ에서 Δ로의 연속적인 지도 Δ{\displaystyle \Phi}가 그 자체로 정의될 것이지만, 기호 역학에서는 \Lambda \displaystyle \displaystyle A^{\mathbbb {G}가 위상 동역학적인 체계(Δ, Δ)를 정의할 것이다 $모든$ g ${displaystyle$ g}-shift $g$ 맵, 즉 일반화된 슬라이딩 블록 코드인 맵.동적 시스템 $)$ {\ $displaystyle(\Lambda,\Phi)}$ 은 $(\Lambda ,\Phi )$ $\Phi$ '일반화된 셀룰러 오토마톤'( $또는$ $\Phi가$ 균일하게 연속적일 때마다 셀룰러 오토마톤)으로 알려져 있습니다.

예

(유한 유형의) 이동 공간의 첫 번째 사소한 예는 전체 $A^{\mathbb {N} }$ $({$ A $^{\mathbb {N$ 입니다.

A $=$ { $A=\{a,b\}$ $}{style$ A=\{ $a,b$ 를 $A=\{a,b\}$ 합니다.최대 하나의 b를 포함하는 A 위의 모든 무한 단어 집합은 유한한 유형이 아닌 조용한 하위 이동입니다.a 위의 모든 무한 단어들의 집합은 b 형태의 소수 길이 블록이 그리 복잡하지 않습니다 (이것은 펌핑 보조자를 사용하여 나타낼 수 있습니다).

{ $\{0,1\}^{\mathbb {N} }$ $\{0,1\}^{\mathbb {N} }$ { $displaystyle$ \{ $0,1\}^{\mathbb {N}}}$ 두 $\{0,1\}^{\mathbb {N} }$ 글자의 무한 문자열 공간을 베르누이 과정이라고 합니다.이것은 칸토어 집합과 동형입니다.

{ $\{0,1\}^{\mathbb {Z} }$ $\{0,1\}^{\mathbb {Z} }$ { $displaystyle$ \{ $0,1\}^{\mathbb {Z}}}$ 두 $\{0,1\}^{\mathbb {Z} }$ 글자의 이중 무한 문자열 공간은 일반적으로 베이커 맵으로 알려져 있거나 오히려 베이커 맵과 동형입니다.

참고 항목

각주

^ 식 이동 또는 하위 이동만을 사용하여 이동 공간을 참조하는 것이 일반적입니다.그러나 일부 저자는 ${displaystyle$ g}-shift $g$ 맵에서 불변하는 무한 패턴 집합에 대해 shift 및 subshift라는 용어를 사용하고, 이산 토폴로지에 대해서도 닫힌 용어의 shift 공간을 예약합니다.

레퍼런스

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^ Weiss, Benjamin (1973), "Subshifts of finite type and sofic systems", Monatsh. Math., 77 (5): 462–474, doi:10.1007/bf01295322, MR 0340556, S2CID 123440583와이스는 이 단어의 기원을 신어학이라고 부르는 것 외에는 설명하지 않지만, 그것의 히브리어 기원은 MathSciNet 리뷰어 R. L. Adler에 의해 명시됩니다.

진일보한 내용

Ceccherini-Silberstein, T.; Coornaert, M. (2010). Cellular automata and groups Springer Monographs in Mathematics. Springer Verlag. ISBN 978-3-642-14034-1.
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[4] 식 이동 또는 하위 이동만을 사용하여 이동 공간을 참조하는 것이 일반적입니다.그러나 일부 저자는 ${displaystyle$ g}-shift $g$ 맵에서 불변하는 무한 패턴 집합에 대해 shift 및 subshift라는 용어를 사용하고, 이산 토폴로지에 대해서도 닫힌 용어의 shift 공간을 예약합니다.

[:1-1] Lind, Douglas A.; Marcus, Brian (1995). An introduction to symbolic dynamics and coding. Cambridge: Cambridge University press. ISBN 978-0-521-55900-3.

[Ceccherini-Silberstein--Coornaert-2] Ceccherini-Silberstein, T.; Coornaert, M. (2010). Cellular automata and groups Springer Monographs in Mathematics. Springer Monographs in Mathematics. Springer Verlag. doi:10.1007/978-3-642-14034-1. ISBN 978-3-642-14033-4.

[:0-3] Sobottka, Marcelo (September 2022). "Some Notes on the Classification of Shift Spaces: Shifts of Finite Type; Sofic Shifts; and Finitely Defined Shifts". Bulletin of the Brazilian Mathematical Society. New Series. 53 (3): 981–1031. arXiv:2010.10595. doi:10.1007/s00574-022-00292-x. ISSN 1678-7544. S2CID 254048586.

[5] Weiss, Benjamin (1973), "Subshifts of finite type and sofic systems", Monatsh. Math., 77 (5): 462–474, doi:10.1007/bf01295322, MR 0340556, S2CID 123440583와이스는 이 단어의 기원을 신어학이라고 부르는 것 외에는 설명하지 않지만, 그것의 히브리어 기원은 MathSciNet 리뷰어 R. L. Adler에 의해 명시됩니다.

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