산술 및 기하학적 평균의 부등식

수학에서 산술과 기하학적 평균의 불평등, 즉 AM-GM 불평등은 비 음의 실수 목록의 산술 평균이 동일한 리스트의 기하학적 평균보다 크거나 같으며, 나아가 리스트의 모든 숫자가 동일한 경우 및 동일한 경우에만 두 평균이 동일하다고 기술하고 있다(이 경우 t).hey는 둘 다 그 숫자다.)

두 개의 음수가 아닌 숫자 x와 y에 대해 두 개 이상의 변수를 갖는 가장 단순한 비견례는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {x+y}{2}}}}\geq {\sqrt {xy}}$

x = y인 경우에만 동등하게. 이 경우는 실수의 제곱이 항상 음이 아닌(0보다 크거나 같음)이라는 사실과 이항식의 기본 사례(a ± b)² = ± 2ab² + b에서² 확인할 수 있다.

${\displaystyle {\signified}0&\leq (x-y)^{2}\\\&=x^{2}-2xy+y^{2}\\&=x^{2}+2xy+y^{2}-4xy\\&=(x+y)^{2}-4xy.\end{정렬}}}$

따라서 (x + y)² ≥ 4xy, (x - y)² = 0, 즉 x = y일 때 정확하게 동일하다. AM-GM 불평등은 양쪽의 양의 제곱근을 취한 다음 양쪽을 2로 나누는 것에서 비롯된다.

기하학적 해석의 경우, 길이가 x와 y인 직사각형을 고려하십시오. 따라서 둘레는 2x + 2y이고 영역은 xy이다. 마찬가지로, 길이가 xxy인 사각형은 둘레가 4xxy이고 사각형과 동일한 면적을 가진다. AM-GM 불평등의 가장 단순한 비견례는 2x + 2y 4 4xxy이며 사각형만이 동일한 면적의 모든 직사각형 중에서 가장 작은 둘레를 가지고 있다는 것을 의미한다.

AM-GM 불평등의 확장은 가중치 또는 일반화 수단을 포함할 수 있다.

배경

n 숫자 x, x₁₂, . , x는 n으로_n 나눈 숫자의 합이다.

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}.}$

기하 평균은 음수가 아닌 실제 숫자의 리스트에 대해서만 정의되며, 추가 및 분할 대신 곱셈과 루트를 사용한다는 점을 제외하면 유사하다.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}.}$

x₁, x₂, . . ., x_n > 0일 경우, 이는 숫자의 자연 로그에 대한 산술 평균의 지수화와 같다.

${\displaystyle \exp \left\frac {\ln {x_{1}+\ln {x_{n}}}{n}}\ln 오른쪽).}$

불평등

수학 표기법을 사용하여 불평등을 재작성하면, n개의 비음수 실수 x₁, x_2n, . . . . x,

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}{n}}\geq {\\\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{n}}\cdots x_{n}}\}}\}}\}}}}}}}}}}}\}}}}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고₁ 그 평등은 x = x₂ = · · · x인_n 경우에만 유지된다.

기하학적 해석

2차원에서 2x₁ + 2x는₂ 길이 x와₁ x의₂ 변이 있는 직사각형의 둘레다. 마찬가지로 4xxxx는₁₂ 그 직사각형과 동일한 면적 xx의₁₂ 사각형의 둘레다. 따라서 n = 2의 경우 AM–GM 불평등은 해당 사각형이 사각형인 경우 특정 영역의 사각형이 가장 작은 둘레를 갖는다고 명시한다.

완전한 불평등은 이 사상을 n차원으로 확장한 것이다. n차원 박스의 모든 꼭지점은 n개의 가장자리에 연결된다. 이러한₂ 가장자리의 길이가 x₁, x, . . . . x인_n 경우₁ x + x₂ + + · · + x는_n 정점에 입사하는 가장자리의 총 길이입니다. 정점이 2개ⁿ 있기 때문에 우리는 이것을ⁿ 2로 곱한다; 그러나 각 가장자리는 두 개의 정점을 충족하기 때문에, 모든 가장자리는 두 번 계산된다. 따라서 우리는 2로 나누어 2nⁿ⁻¹ 엣지가 있다고 결론짓는다. 각 길이와 n 길이에는 가장자리가 똑같이 많다. 따라서 각 길이에 두 개의 가장자리가ⁿ⁻¹ 있고 모든 가장자리 길이의 합계가 2ⁿ⁻¹(x₁ + x₂ + + · · + x_n)이다. 다른 한편으로는

${\displaystyle 2^{n-1}(x_{1}+\ldots +x_{n})=2^{n-1}n{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

동일한 부피의₁ n차원 입방체에서 정점에 연결된 가장자리의 총 길이(이 경우 x=...)=x_n. 불평등이 말하듯이

${\displaystyle {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n} \over n}\geq {\\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x{n}}}}}},}$

그것은 n2를^n–1 곱하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle 2^{n-1}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})\geq 2^{n1}n{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}}}}}}}}.$

x₁ = x₂ = · · · · = x인_n 경우에만 동등하게.

따라서 AM-GM 불평등은 동일한 부피의 모든 n차원 상자 중에서 각 꼭지점에 연결된 가장자리 길이의 최소 합계를 n-큐브만 가지고 있다고 명시한다.^[2]

적용 예

함수를 고려하십시오.

${\displaystyle f(x,y,z)={\frac {x}{y}}+{\sqrt{z}}+{\sqrt[{3}]{\frac {x}}}}}}}}$

모든 양의 실수 x, y, z에 대해. 이 기능의 최소값을 찾기를 원한다고 가정합시다. 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y,z)&=6\cdot {\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}{6}}\\&=6\cdot {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}}{6}\end{정렬}}$

와 함께

${\displaystyle x_{1}={\frac {x}{y}},\qquad x_{2}=x_{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}},\qquad x_{4}=x_{5}=x_{6}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.}$

n = 6에 AM-GM 불평등을 적용하면

${\displaystyle{\begin{정렬}(x,y,z)&, \geq 6\cdot{\sqrt[{6}]{{\frac{)}{y}}\cdot{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{y}{z}}}\cdot{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{y}{z}}}\cdot{\frac{1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac{z}{)}}}\cdot{\frac{1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac{z}{)}}}\cdot{\frac{1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac{z}{)}}}}}\\&,=6\cdot{\sqrt[{6}]{{\frac{1}{2\cdot.2\cdot 3\cdot 3}{\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {}}}{x}}\&=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}}.\end{정렬}}}$

또한 평균의 모든 항이 동일한 경우 두 개의 항이 정확히 동일하다는 것을 안다.

${\displaystyle f(x,y,z)=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}\quad {\mbox{when}}\quad {\frac {x}{y}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.}$

이러한 조건을 만족하는 모든 점(x, y, z)은 원점에서 출발하는 반선 위에 놓여 있으며, 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle (x,y,z)={\biggr (}t,{\sqrt[{3}]{2}}:{\sqrt{3}}}{{3}}},{\biggr}}}\box{\mbox}\mwith}\biggr t>0.}$

실용적 응용

금융 수학에서 중요한 실용적 적용은 수익률을 계산하는 것이다: 기하 평균을 통해 계산된 연간 수익률이 산술 평균으로 계산된 평균 연간 수익률보다 작다(또는 모든 수익률이 같을 경우 동일). 이는 평균 수익률이 누적 효과를 과대평가하기 때문에 투자 분석에 중요하다.

AM-GM 불평등의 증거

젠센의 부등식을 이용한 증거

젠센의 불평등은 산술 평균의 오목함수 값이 함수 값의 산술 평균보다 크거나 같다고 말한다. 로그 함수는 오목하므로, 우리는

${\displaystyle \log \left\frac {\sum_{i}x_{n}}\gueq \sum {\frac {1}{n1}\log x {n}=\sum \left(\log x_{i}^{1/n}\rig)=\log \left.}$

왼쪽 끝과 오른쪽 끝의 안티로그를 취하면 AM-GM의 불평등이 나타난다.

평균 산술 평균을 통한 증명

라는 것을 보여줘야 한다.

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}{n}}\geq {\\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

모든 숫자가 같을 때만 평등하게. x_i ≠ x인_j 경우 x와_i x를_j 모두 (x_i + x_j)/2로 교체하면 왼쪽의 산술 평균은 변경되지 않지만 오른쪽의 기하 평균은 증가하기 때문에

${\displaystyle {\Bigl (}{\frac {x_{i}+x_{j)2}}:{2}}:{\Bigr )}^{2}-x_{i}x_{j}={\Bigl (}{\frac {x_{i}-x_{j}}}{2}}:{\Bigr )^{2}}}0.}$

따라서 모든 x가_i 산술 평균과 같을 때 오른쪽이 가장 커진다.

${\displaystyle \cHB ={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}},}$

따라서 이것이 표현의 오른쪽 가장 큰 값이기 때문에, 우리는

${\displaystyle {\frac_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}}{n}}}=\n}=\\sqrt[{n}]{\cdots \cdots \}}}}}{x_{1}x_{n}}}}}}}}.}$

이는 사례 n = 2에 대한 유효한 증거지만, 반복적으로 쌍으로 평균을 취하는 절차는 사례 n ≥ 3에서 동일한 숫자를 생성하지 못할 수 있다. 이 경우의 예로는₁ x₂ = x x₃ x: 두 개의 다른 숫자를 평균하면 두 개의 동일한 숫자가 생성되지만 세 번째 숫자는 여전히 다르다. 따라서, 우리는 실제로 세 개의 동일한 숫자의 기하학적 평균과 관련된 불평등을 결코 얻지 못한다.

일반적인 경우 위의 평균 공정은 동일한 숫자에 치우쳐 AM-GM을 증명한다.

We can see this by noting that one of ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$ is negative, and that if ${\displaystyle \alpha }$ is the average of all ${\displaystyle n}$ numbers, we can measure the variance by considering ${\displaystyle (x_{i}-\alpha )^{2}+(x_{j}-\al$$pha )^{2$ 이 용어는 항상 ${\displaystyle {양}_{}}$이며, 변환 $x{\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ ${\displaystyle i\frac{{}_{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ j ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$ ${\$j_{$j$}\to}에 0이 되는 경향이 있다.$}}{2}}}$:

, , d= x -> ${\displaystyle d_{i}=x_{i}-\alpha >0}$ 및 = x -< ${\displaystyle d_{j}=x_{j}-\alpha <0}$.

그러면

${\displaystyle 2\왼쪽 사진\frac {x_{i}+x_{j2}}:{2}}-\alpha \오른쪽)^{2}}$

${\displaystyle =2\left\frac {x_{i}-\properties }{2}}+{x_{j}-\properties }{2}}\오른쪽)^{2}}$

${\displaystyle =2\왼쪽 \frac {d_{i}}{d_{j}}}{d_{j}}}^{2}}:00$

${\displaystyle ={\frac {d_{i}^{2}}+{\frac {d_{j}^{2}}-d_{i}d_{j}}}}}}}$

${\displaystyle \leq {\frac {d_{i}^{2}+d_{j}^{2}}{2}}}$

인덕션

인덕션 #1

비음수 실수 x₁, . . . x_n 중에서 AM-GM 문은 다음과 같다.

${\displaystyle \cHB ^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}$

모든 i에 대해 α = x인_i 경우에만 동등하게, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

다음의 증거에 대해서는 우리는 수학 유도를 적용하고 잘 알려진 산술 규칙만을 적용한다.

유도 기준: n = 1의 경우 이 문장은 동등하게 적용된다.

유도 가설: AM-GM 문장이 n개의 음수가 아닌 실제 숫자로 이루어진 모든 선택 항목에 대해 유지된다고 가정해 보십시오.

유도 단계: n + 1의 음이 아닌 실수 x₁, . . . , x_n+1 , . . . 그들의 산술 평균 α는 만족한다.

${\displaystyle (n+1)\cdn =\x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}.$

만약 모든_i x가 α와 같다면, AM-GM 성명에서 우리는 동등하고 우리는 끝장이다. 일부는 α와 같지 않은 경우, 산술평균 α보다 큰 숫자와 α보다 작은 숫자가 하나 있어야 한다. 일반성의 상실 없이, 우리는 이 두 가지 특정한 원소인_n x > α와_n+1 x < α를 끝에 배치하기 위해 x를_i 재주문할 수 있다. 그러면

${\displaystyle x_{n}-\cHB >0\qquad \nt_{n+1}>0}$

${\displaystyle \property (x_{n}-\property )(\property -x_{n+1})>0\,.\qquad (*)}$

이제 y를 정의하십시오.

${\displaystyle y:=x_{n}+x_{n+1}-\cHB \geq x_{n}-\cHB >0\}$

그리고 n개의 숫자₁ x, . . . . x_n–1, y를 모두 음수가 아닌 것으로 간주한다. 이후

${\displaystyle (n+1)\cds =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}+x_{n+1}:{n+1}:{n+1}:{n+1}1}:{n+1}1}:{n+1}:{n+1}:{n+1}1}$

${\displaystyle n\boards =x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\caps } _{=\,y}$

따라서 α는 n 숫자 x₁, . . , x_n–1, y의 산술 평균이기도 하며, 유도 가설은 함축하고 있다.

${\displaystyle \property \cdot \cdot \geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}y_cdot \\\qquad (**)}$

(*) 때문에 우리는 알고 있다.

${\displaystyle(\underbrace {x_{n}+x_{n+1}-\data.}_{n_{n}x_{n+1}=(x_{n}-\message )(\message -x_{n+1})0,}$

이 때문에

${\displaystyle y\property >x_{n}x_{n+1}\\\qquad({*}{*}{*}})}$

특히 α > 0. 따라서 숫자 x₁, . . . . . . x 중_n–1 적어도 하나가 0이라면, 이미 (***)에 엄격한 불평등이 존재한다. 그렇지 않으면 (***)의 오른쪽이 양성이며 엄격한 불평등은 (***)의 오른쪽 하한을 얻기 위해 추정치(***)를 사용하여 얻는다. 따라서 두 경우 모두 (****)를 (**)로 대체하여 (***)를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \cHB{n+1}x_{1}x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}\...}$

그럼 증거가 완성되는 거지

유도 #2에 의한 증명

우선 우리는 실수의 경우₁ x < 1과 x₂ > 1이 뒤따른다는 것을 증명할 것이다.

${\displaystyle x_{1}+x_{2}}>x_{1}x_{2}+1.}$

실제로 불평등 x₂ > 1 – x의 양쪽을 곱하면 다음과₁ 같다.

${\displaystyle x_{2}-x_{1}x_{2}>1-x_{1},}$

필요한 불평등을 즉시 얻을 때.

자, 이제 우리는 긍정적인 실수₁ x, . . . x 만족_n1 x_n . . . . x = 1에 대해 증명할 것이다.

${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n}\geq n.}$

동등성은₁ x = ...인 경우에만 유지된다. = x_n = 1.

유도 기준: n = 2의 경우 위의 속성 때문에 이 문장이 참이다.

유도 가설: 이 문장이 n – 1까지의 모든 자연수에 대해 참이라고 가정하자.

유도 단계: 자연수 n을 고려하십시오. 즉, 양의 실수 x₁, . . . x_n, hold_n x₁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 적어도_k x < 1이 존재하므로, 적어도_j x > 1이 있어야 한다. 일반성을 상실하지 않고 k =n – 1과 j = n을 허용한다.

또한, 평등 x₁ . . x_n = 1 우리는 (x₁ . . . x_n–2) (x_n–1 x_n) = 1의 형태로 글을 쓸 것이다. 그러면, 그 유도 가설은 암시한다.

${\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{n-2}+(x_{n-1}x_{n})+(x_{n-1})>n-1.}$

다만, 유도 기준 등을 고려해 볼 때,

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+\cdots +x_{n-2}+x_{n-1}+x_{n}&=(x_{1}+\cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}+x_{n})\\&>(x_{1}+\cdots +x_{n-2})+x_{n-1}x_{n}+1\\&>n,\end{aligned}}}$

그럼 증거가 완성되는 거지

긍정적인 실수는 a₁, . . . a_n, 를 가리킵시다.

${\displaystyle x_{1}={\frac {a_{1}{n}}{\sqrt[{n}}}}}{a_{n}}}}, ...,x_{n}={\frac {a_{n}}}{a_{n}}}}}\cdots a_{n}}}}}}}.}$

숫자₁ x, . . . . x는_n 조건₁ x . . . . . . . . 1을_n 만족한다. 그래서 우리는

${\displaystyle {\frac {a_{1}:{n}{n}}{a_{1}}}\cdots a_{n}}+\cdots a_{n}}{\frac {a_{n}}{n}}}{a_{1}}}\cdots a_{n}}\geqn,},}$

얻으면

${\displaystyle {\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}}{n}}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}}}}},}$

a₁ = ... = a_n = a에 대해서만 동일성을 유지하며.

전진-후진 유도를 사용한 Cauchy에 의한 증명

다음의 사례에 의한 증거는 잘 알려진 산술 규칙에 직접적으로 의존하지만 거의 사용되지 않는 전향 유도 기술을 채택하고 있다. 그것은 본질적으로 어거스틴 루이 코치로부터 온 것이며 그의 쿠르스 다날리스에서 찾을 수 있다.^[3]

모든 조건이 동일한 경우

모든 조건이 동일한 경우:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}}$

그리고 나서 그들의 합은 nx이므로₁ 그들의 산술 평균은₁ x이다; 그리고 그들의 생산물은 x이다₁ⁿ, 그래서 그들의 기하 평균은₁ x이다. 따라서, 산술 평균과 기하 평균은 원하는 대로 같다.

모든 조건이 같지 않은 경우

모든 항이 같지 않으면 산술 평균이 기하 평균보다 크다는 것을 보여 주는 것이 남아 있다. 분명히 이것은 n > 1이 되어야 가능하다.

이 사건은 훨씬 더 복잡하고, 우리는 그것을 하위 사건으로 나눈다.

n = 2인 하위 사례

n = 2이면 x와₁ x라는₂ 두 개의 항이 있고, (우리의 가정으로) 모든 항이 동일한 것은 아니기 때문에 다음과 같은 조건을 가진다.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\Bigl (}{\frac {x_{1}+x_{2}2}}:{2}}:{\Bigr )}^{2}-x_{1}x_{2}&={\frac {1}{1}{1}:{4}}}(x_{1}^{1}}+2x_{1}x_{1}x_{2}+x_{2}}}+x_{2}}{2}}}^{2}-x_{1}x_{2}\\&={\frac {1}{1}:{4}}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}}^{2}}\&={\Bigl (}{\frac {x_{1}-x_{2}}:{2}}:{\Bigr )}^{2}>0,\end{arged}}}}}}}$

이 때문에

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}2}}:{2}}:\geq{\sqrt{x_{1}x_{2}}:$

소원대로

n = 2인^k 하위 사례

n = 2인^k 경우 k가 양의 정수인 경우를 고려하십시오. 우리는 수학적 유도를 통해 진행한다.

베이스 케이스의 경우 k = 1이므로 n = 2 우리는 이미 불평등이 n = 2일 때 유지된다는 것을 보여 주었기 때문에 우리는 끝냈다.

자, 주어진 k > 1에 대해, 우리는 불평등이 n = 2를^k−1 유지한다는 것을 이미 보여주었고, 우리는 그것이 n = 2를^k 유지한다는 것을 보여주기를 원한다. 이를 위해, 우리는^k-1 불평등을 2개의 숫자에 두 번, 그리고 2개의 숫자에 한 번 적용하여 다음을 얻는다.

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2}^{k}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {{x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2}^{k-1}}{2^{k-1}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2}^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&,\geq{\frac{{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}}}}}{2}}\\[7pt]&,\geq{\sqrt{{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}}}}x_{2^{k}\cdots}}\\[7pt]&, ={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots{2^ x_ x_{2^{k}\cdots.{k}}}}\end{ligned}}}$

제1차 불평등에서, 양측은 오직 다음과 같은 경우에만 평등하다.

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k-1}}$

그리고

${\displaystyle x_{2^{k-1}+1}=x_{2^{k-1}+2}=\cdots =x_{2^{k}}}}$

(이 경우 첫 번째 산술 평균과 첫 번째 기하 평균은 모두 x와₁ 같고, 두 번째 산술 평균과 두 번째 기하 평균과 유사하다.) 그리고 두 번째 불평등에서는 두 개의 기하 평균이 동일한 경우에만 두 변이 같다. 두 숫자가^k 모두 동일한 것은 아니기 때문에 두 불평등이 모두 동등할 수는 없으므로, 우리는 다음과 같이 알고 있다.

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2}^{k}}{2^{k}}}\geq {\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}}}}}$

소원대로

n < 2가^k 있는 하위 케이스

만약 n이 2의 자연력이 아니라면, 그것은 확실히^k 2, 4, 8, . . 순서가 위에 한없이 묶여 있기 때문에 2의 어떤 자연력보다 적다. 그러므로 일반성을 잃지 않고 n보다 큰 2의 어떤 자연력이 되게 하라.

따라서 항이 n개라면, 그들의 산술 평균을 α로 표시하고, 우리의 항 목록을 다음과 같이 확대하자.

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_{m}=\displaystyle .}$

그 후 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle {\regated}\cdots &={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\{n}\n}\{6pt]&={\frac {{n}}}}}{n}}}}}\frac(x_+{n}}}+}\cdots}\cdots}\cdots)}}{m}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{x_{n}+{n}}+{n}}}}{n}}}}}}\좌측(x_{1}+x_{n}+}+}+}+}+cdots +x_{n}\오른쪽)}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+\left(m-n\right)\alpha }{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&\geq {\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\alpha ^{m-n}}}\,,\end{aligned}}}$

그렇게

${\displaystyle \m}\geq x_{1}x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\cdots ^{n}\cdots ^{m-n}}}$

그리고

${\displaystyle \geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}}}}}}}}}$

소원대로

기초 미적분을 이용한 유도에 의한 증명

다음의 증거는 수학적 유도와 약간의 기본적인 미분적분을 사용한다.

유도 기준: n = 1의 경우 이 문장은 동등하게 적용된다.

유도 가설: AM-GM 문장이 n개의 음수가 아닌 실제 숫자로 이루어진 모든 선택 항목에 대해 유지된다고 가정해 보십시오.

유도 단계: n + 1 비 음의 실수 x₁, . . . . . . x_n, x에_n+1 대한 진술을 증명하기 위해서는 그 사실을 증명할 필요가 있다.

${\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}:{n+1}:{n+1}-({x_{1}}\cdots x_{n}x_{n+1})^{\frac {1}{n+1}}\geq 0}$

모든 n + 1 숫자가 동일한 경우에만 동등하게.

모든 숫자가 0이면 불평등은 평등하게 유지된다. 만약 모든 숫자가 0이 아닌 일부라도 있다면, 우리는 엄격한 불평등을 가지고 있다. 따라서, 우리는 다음에서 모든 n + 1 숫자가 양수라고 가정할 수 있다.

마지막 숫자 x를_n+1 변수로 간주하고 함수를 정의한다.

${\displaystyle f(t)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+t}{n1}-{x_{1}-({x_{1}\cdots x_{n}t})^{\frac {1}{n+1},\qquad t>0.}$

유도 단계를 증명하는 것은 모든 t > 0에 대해 f(t) ≥ 0을 나타내는 것과 같으며, f(t) = 0은 x₁, . . . . x_n, t가 모두 동일한 경우에만 표시된다. 이것은 몇몇 기초 미적분을 이용하여 f의 임계점을 분석함으로써 이루어질 수 있다.

f의 첫 번째 파생상품은 다음과 같다.

${\displaystyle f'(t)={\frac {1}{n+1}-{n1}{n1}{n+1}:{n+1}:{n:1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{n+1}{n}{n+1},\qquad t0)^{1}.}$

임계점 t는₀ f′(t₀) = 0을 만족해야 하는데, 이는

${\displaystyle({x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n+1}{0}^{-{\frac {n}{n+1}}=1.}$

작은 재정비 후에 우리는 얻을 수 있다.

${\displaystyle t_{0}^{\frac {n}{n1}{n+1}}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1},}$

그리고 마침내

${\displaystyle t_{0}=({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n},}$

그것은 x₁, . . . x의_n 기하학적 평균이다. 이것이 f의 유일한 임계점이다. 모든 t > 0에 대해 f′(t) > 0이므로 함수 f는 엄격히 볼록하며 t에서 엄격한₀ 전역 최소값을 가진다. 다음으로 우리는 함수의 값을 이 전지구적 최소값으로 계산한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n}})^{1/n}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n(n+1)}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}{\Bigl (}{{\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}}})^{\frac {1}{n1}{n}{{n}}}{{\Bigr )}\&\geq,\end{igned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

유도 가설로 인해 최종 불평등이 지속되는 경우. 이 가설은 또한₁ x, . . . . x가_n 모두 같아야만 평등을 가질 수 있다고 말한다. 이 경우, 그들의 기하학적 평균₀ t는 같은 값을 가지므로, x₁, ., x_n, x가_n+1 모두 동일하지 않는 한, f_n+1(x) > 0이 된다. 이로써 증거가 완성된다.

이 기법은 유클리드 우주 R에서ⁿ 일반화된 AM-GM 불평등과 카우치-슈워즈 불평등을 증명하는 데 같은 방법으로 사용될 수 있다.

지수함수를 이용한 Polya에 의한 증명

조지 폴리야는 다음과 유사한 증거를 제시했다. f(x) = e^x–1 – x를 모든 실제 x에 대해 첫 번째 파생상품 f′(x) = e^x–1 – 1, 두 번째 파생상품 f′′(x) = e^x–1. 모든 실제 x에 대해 f(1) = 0, f f(1) = 0, f 0(x) > 0을 관찰하십시오. 따라서 f는 x = 1에서 절대 최소값과 엄격히 볼록하게 된다. 따라서 x = 1에 대해서만 동일성을 갖는 모든 실제 x에 대해 x ≤ e^x–1.

음수가 아닌 실수 x₁, x₂, . . . . . x_n. 만약 그것들이 모두 0이라면 AM-GM의 불평등은 동등하게 유지된다. 따라서 우리는 산술 평균 α > 0에 대해 다음과 같이 가정할 수 있다. 위의 불평등을 n배 적용함으로써 우리는 다음을 얻는다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{{\frac{x_{1}}{\alpha}}{\frac{{2x_}}{\alpha}};\leq{e^{{\frac{x_{1}}{\alpha}}-1}e^{{\frac{{2x_}}{\alpha}}-1}}}\\& e^{{\frac{x_{n}}{\alpha}}-1\cdots, =\exp{\Bigl(}{{x_{1}}{\alpha}}-1+{\frac{x_{2}}{\alpha}}-1+\cdots+{\frac{x_{n}}{\alpha}}){\Bigr\frac)},\qquad(*{\frac{x_{n}}{\alpha}}}및 \cdots.)\end{알구릿빛}}$

모든 i ∈ {1, . . , n}에 대해_i x = α인 경우에만 동등하게. 지수함수의 인수는 다음과 같이 단순화할 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}}{\alpha }}-1+{\frac {x_{2}}{\alpha }}-1+\cdots +{\frac {x_{n}}{\alpha }}-1&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{\alpha }}-n\\&={\frac {n\alpha }{\alpha }}-n\\&=0.\end{정렬}}}$

(*)로 돌아가기

${\displaystyle {\frac {x_{1}x_{2}\cdots x_{n}{\n}}{\cdots ^{n}}\leq e^{0}=1,}$

x₁₂^[4] · · · · x_n α를ⁿ 생성하므로

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}\leq \req .}$

라그랑지안 승수별 증명

$x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 중 하나라도 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0$이면 증명할 것이 없다. 따라서 우리는 모든 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 엄격히$$ 긍정적이라고 가정할 수 있다.

Because the arithmetic and geometric means are homogeneous of degree 1, without loss of generality assume that ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}=1}$. Set ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}x_{i}}$, and ${\displaystyle F(x_1}$${\displaystyle {}_{},}$ x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1n}}}$ ${\displaystyle \sum \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$n1}}={\$frac$ {$1}}}{n}}\com ={i=1}^{n}x_{i$ The inequality will be proved (together with the equality case) if we can show that the minimum of ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$ subject to the constraint ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1,}$ is equal to ${\displays$${\displaystyle {tyle\mathrm{}}_{}}$ $1}$, 그리고 최소값은 x $1{\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \cdots }$= ${\displaystyle \mathrm{x}}$ n${\displaystyle {}_{}}$= 1 ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}.$ 제약된 최소화 문제가 글로벌 최소치를 가지고 있다는 것을 먼저 보여주자$.$

Set ${\displaystyle K=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\colon 0\leq x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\leq n\}}$. Since the intersection ${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$ is compact, the extreme value theorem guarantees that the minimum of ${\displaystyle F(x_1}$${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ subject to the constraints ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$ and ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in K}$ is attained at some point inside ${\disp$반면 F=1{F(1,1,\ldots ,1)=1\displaystyle},(1,1,…, 1)∈ K∩{G=1}{\displayst(1,1,…, 1)Laystyle K}. 반면에, 만약 어떤 나입니다. 의 x, n{\displaystyle x_{나는}>, n}, F(x1x2,…,)n)>1{\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})> 1}, 올린다.yle(1,1,\ld$Ots ,1)\K\cap \{G=1$ This means that the minimum inside ${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$ is in fact a global minimum, since the value of ${\displaystyle F}$ at any point inside ${\displaystyle K\cap \{G=1\}}$ is certainly no smaller than the minimum, and the value of ${\displaystyle F}$ at any point ${\displaystyle (y_1}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle }$,$$${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ )${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots,$$y_{n}}$ K {\$displaystyle$ K$}$에 포함되지 않은$$ 값은$$ $최소값보다 작지$ 않다$.$

The method of Lagrange multipliers says that the global minimum is attained at a point ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ where the gradient of ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ is ${\displaystyle \lambda }$ times the gradient of $$${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$, for some ${\displaystyle \lambda }$. We will show that the only point at which this happens is when ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$ and ${\disp$$레이스타일 F(x_{1},x_{2},...,x_{n}=$$1.$$}$

계산$$ ∂ ${\displaystyle \frac{F}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{1n}}{}}$ ${\$ 및

${\displaystyle {\frac {\partial g}{{i}}}=\prod_{j\neq i}x_{j}={\frac {G(x_{1},x_{n},\ldots, }{x_{n}}}}}}}={\frac {1}{x_{i}}}}}}}}}}}}}{x_{x_{x_{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

제약을 받고 따라서 구배를 서로 비례하여 설정하면 $각{\displaystyle }$ i ${\displaystyle i}$에 대해$$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{1n}}{}}$ = ${\displaystyle ∆}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{i_{}}{}}$ ${\displaystyle${\$frac$ {$1}{n}={\frac$ {\$lambda }}}}},$ 따라서$$ ${\displaystyle n}$은${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle n\lambda$=x_${i}.$$}$ Since the left-hand side does not depend on ${\displaystyle i}$, it follows that ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$, and since ${\displaystyle G(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=1}$, it follows that ${\displa$$ystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=1}$ 및 $F$(x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}=1},$ ${\displaystyle \mathrm{원하는}}$ 대로$.$

일반화

가중 AM-GM 불평등

가중 산술 평균과 가중 기하 평균에도 비슷한 불평등이 있다. 구체적으로는 음이 아닌 숫자₁ x, x₂, . x_n, 그리고 음이 아닌 가중치 w₁, w₂, w, . w가_n 주어지도록 한다. w = w₁ + w₂ + w + · · + w를_n 설정한다. w가 0보다 크면 불평등

${\displaystyle {\frac {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}\geq {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}}$

w_k > 0인 모든 x가_k 동일한 경우에만 동등하게 홀딩한다. 여기서는⁰ 0 = 1이라는 관례가 사용된다.

모두 w_k = 1이면, 이는 산술과 기하학적 평균의 위의 불평등으로 줄어든다.

젠센의 부등식을 이용한 증거

자연 로그에 대한 젠센의 불평등의 유한 형태를 이용하여, 우리는 위에 언급된 가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이의 불평등을 증명할 수 있다.

무게_k w = 0인 x는_k 불평등에 영향을 미치지 않기 때문에, 우리는 다음과 같이 모든 가중치가 양수라고 가정할 수 있다. 만약 모든_k x가 같다면, 평등은 유지된다. 따라서 모두 평등하지 않으면 엄격한 불평등을 증명하는 것이 남아 있는데, 우리는 이 또한 다음과 같이 가정할 것이다. 하나 이상의 x가_k 0(전부는 아님)이면 가중 기하 평균은 0인 반면 가중 산술 평균은 양수적이므로 엄격한 불평등은 유지된다. 따라서 우리는 또한 모든 x가_k 양성이라는 것을 가정할 수도 있다.

자연 로그는 엄격히 오목하므로 옌센의 불평등의 유한 형태와 자연 로그의 기능 방정식을 암시한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}}{w}}{\Bigr )}&>{\frac {w_{1}}{w}}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {w_{n}}{w}}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{w}]{x_{1}^{w_{1}}x_{2}^{w_{2}}\cdots x_{n}^{w_{n}}}}.\end{정렬}}}$

자연 로그가 엄격히 증가하고 있기 때문에

${\displaystyle {\frac {w_{1}x_{1}+\cdots +w_{n}x_{n}{n}}}{w}}}{{w_{1}^{1}{1x_{1}^{1}{1}^{1}{1}^{w_}}}}}}}}}}.}$

행렬 산술 기하학적 평균 불평등

산술 기하학적 평균 불평등의 대부분의 행렬 일반화는 $행렬{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$과 B ${\$$displaystyle B}$이(가) 양의 반확정성이 ${\displaystyle \mathrm{아니라서}}$ 단위적으로 불변규범 수준에 적용된다$.$ 정사각형 뿌리 Bhatia와 Kittaneh에서 단위적으로 불변하는 규범 ${\displaystyle \cdot }$ $displaystyle \cdot }$과(와) 양의 반확정 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$$}$과$$B {\$displaystystyle B}$에 대해 다음과 같은 경우를 입증했다.

${\displaystyle AB \leq {\frac {1}{1}:{2}} A^{2}+B^{2} }$

후에, 같은 저자들 속에서, 더 강한 불평등이 증명되었다.

${\displaystyle AB \leq {\frac {1}{1}{4}(A+B)^{2} }$

마지막으로, $다음$과 ${\displaystyle \mathrm{같은}}$ 산술-기하 평균 불평등이 가지는 가장 강력한 행렬 $일반화$로 알려져$$ 있으며, 모든 $n{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle n}$이(가) 유지될 것으로 추측된다.

${\displaystyle (AB)^{\frac {1}{1}:{2}} \leq {\frac {1}{2}} A+B }$

이러한 추측된 불평등은 2012년 스티븐 드루리에 의해 보여졌다. 과연, 그는 증명했다.

${\displaystyle {\sqrt {\sigma _{j}(AB)}\leq {1}{1}{1}}\frac {1}{1}}\lambda _{j}(A+B)\j=1,\ldots,n.}$

S.W. Drury, Bhatia와 Kittaneh의 질문에 대해, Linear Grealge Apply. 437 (2012) 1955–1960.

기타 일반화

산술 및 기하학적 평균의 불평등에 대한 기타 일반화에는 다음이 포함된다.

• 뮤어헤드의 불평등,
• 마클라우린의 부등식
• 일반화란 불평등을 의미한다.
• 복잡한 숫자의 수단.^[8]

참고 항목

• 호프만의 패킹 퍼즐
• 키팬 부등식
• 상품에 대한 젊은이의 불평등

참조

외부 링크

• Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities". Online e-book in PDF format.