퀀텀 함수

확률과 통계에서, 랜덤 변수의 확률 분포와 관련된 수량 함수는 변수의 확률이 해당 값보다 작거나 같을 확률이 주어진 확률과 같도록 랜덤 변수의 값을 지정한다. 직관적으로, 퀀텀 함수는 확률 입력의 범위와 아래에 있는 확률 입력의 범위와 연관된다. 백분위수 함수, 백분위수 함수 또는 역 누적 분포 함수라고도 한다.

정의

연속적이고 엄격히 단조로운 분포함수( $F_{X}\colon R\to [0,1]$ $F_{X}\colon R\to [0,1]$ 변수 X의 $F_{X}\colon R\to [0,1]$ 누적분포함수 F : $F_{X}\colon R\to [0,1]$ → [ $F_{X}\colon R\to [0,1]$ 0 $F_{X}\colon R\to [0,1]$ $F_{X}\colon R\to [0,1]$ ] ${\displaystyle F_{X}\colon R\to$ [ $0,1])$ 와 같이, 퀀텀 함수 Q는 지정된 c.d.f.에서 무작위로 끌어오는 임계값 x보다 낮은 p 퍼센트가 된다.나

분포함수 F의 관점에서, 정량함수 Q는 다음과 같은 값 x를 반환한다.

F_{X}(x):=\Pr(X\leq x)=p.\,

누적분포함수(F(x)로 표시)는 p 값을 q 값의 함수로 제공한다. 퀀텀 함수는 q 값을 p 값의 함수로 제공하는 정반대 역할을 한다.

보다 일반적인 분포 함수(연속적이고 엄격히 단조로운 함수보다)로 확장되는 퀀텀함수를 표현하는 또 다른 방법은 다음과 같다.

Q(p)\,=\,\inf \left\{x\in \mathb {R} :p\leq F(x)\right\}}

확률 0 < 페이지 < 1에 대하여. 여기서 우리는 c.d.f 값이 p를 초과하는 모든 값 중에서 x의 최소값을 반환한다는 사실을 포착하고, 이는 분포가 연속적이라는 이전의 확률문과 동일하다. 분포 함수는 우측 연속적이고 약하게 단조롭게 증가하므로 최소 함수는 최소 함수로 대체할 수 있다는 점에 유의하십시오.

퀀텀은 갈루아 불평등을 만족시키는 고유한 기능이다.

Q(p)\leq x

( p

Q(p)\leq x

)

Q(p)\leq x

Q(p)\leq x

Q(p)\leq x

p\leq F(x)

p\leq F(x)

p\leq F(x)

)

p\leq F(x)

인 경우에만

Q(p)\leq x

해당됨

만약 F함수가 연속적이고 엄격히 단조롭게 증가한다면, 불평등은 평등으로 대체될 수 있고, 우리는 다음과 같은 것을 가지고 있다.

Q=F^{-1

일반적으로 분포함수 F가 좌우 역수를 가지지 못할 수 있지만, 분량함수 Q는 분포함수에 대해 "거의 확실한 왼쪽 역"으로 작용한다.

Q(F(X))=X

(

Q(F(X))=X

(

Q(F(X))=X

)

Q(F(X))=X

=

Q(F(X))=X

{\displaystyle Q(F(X))=

X} 거의

Q(F(X))=X

확실하다.

간단한 예

예를 들어 지수(수치)의 누적분포함수(즉, 강도 λ과 기대치(평균) 1/3)는 다음과 같다.

F(x;\lambda )={\begin{base}e^{-\lambda x}&x\geq 0,\0&x<0.\end{case}}

지수함수(1993)의 계량함수는 $1-e^{-\lambda Q}=p$ - $1-e^{-\lambda Q}=p$ - $1-e^{-\lambda Q}=p$ = $1-e^{-\lambda Q}=p$ ${\displaystyle 1-e^{-\lambda$ Q $}=p}$ 에 대한 Q 값을 찾아 도출한다 $1-e^{-\lambda Q}=p$

Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!

0 ≤ 페이지 < 1에 대하여. 따라서 사분위수는 다음과 같다.

1 사분위수(p = 1/4): $[\displaystyle -\ln(3/4)/\disda \,}$
중위수(p = 2/4): $[\displaystyle -\ln(1/2)/\disda \,}$
3 사분위수(p = 3/4): $[\displaystyle -\ln(1/4)/\disda .\,}$

적용들

Quantile 함수는 통계적 응용과 몬테카를로 방법 모두에서 사용된다.

퀀텀함수는 확률분포를 규정하는 한 가지 방법으로 확률밀도함수(pdf) 또는 확률질량함수, 누적분포함수(cdf) 및 특성함수에 대한 대안이다. 확률 분포의 수량 함수 Q는 누적 분포 함수 F의 역이다. 정량함수의 파생상품, 즉 정량밀도함수는 확률분포를 규정하는 또 다른 방법이다. 그것은 양자 함수로 구성된 pdf의 역수다.

통계적 응용 프로그램의 경우 사용자는 주어진 분포의 주요 백분율 포인트를 알아야 한다. 예를 들어, 분포가 알려진 관측치의 통계적 유의성 평가와 같은 기타 적용에 대해서는 위의 예와 같이 중위수와 25% 및 75% 사분위수를 요구하며, 분계수 입력을 참조한다. 컴퓨터가 대중화되기 전에는 책들이 통계표와 함께 정량함수를 샘플링하는 부록이 있는 경우가 드물지 않았다.^[1] 양자 함수의 통계적 적용은 Gilchrist에 의해 광범위하게 논의된다.^[2]

몬테카를로 시뮬레이션은 다양한 유형의 시뮬레이션 계산에 사용하기 위해 통일되지 않은 무작위 또는 유사 번호를 생성하기 위해 정량적 함수를 사용한다. 주어진 분포에서 추출한 표본은 원칙적으로 균일한 분포에서 추출한 표본에 분량 함수를 적용하여 얻을 수 있다. 현대의 계산 금융에서와 같은 시뮬레이션 방법의 요구는, 코풀라나 준 몬테 카를로 방법^[3] 중 하나를 기반으로 하는 다변량 기법과 금융에서 몬테 카를로 방법 중 하나를 기반으로 한 다변량 기법에서 잘 작동하기 때문에, 퀀텀 기능에 기초한 방법에 대한 관심이 높아지고 있다.

계산

정량적 함수의 평가에는 종종 위의 지수 분포와 같은 수치적 방법이 포함되는데, 이는 폐쇄형 표현식을 찾을 수 있는 몇 안 되는 분포 중 하나이다(다른 분포에는 균일, Weibull, Tukey 람다(로지스틱 포함), 로그 로지스틱 등이 포함된다. cdf 자체가 폐쇄형 식을 갖는 경우 cdf를 반전시키기 위해 항상 bisection 방법 등 수치적 뿌리 찾기 알고리즘을 사용할 수 있다. 수치적 기능 평가를 위한 다른 알고리즘은 수치적 레시피 시리즈 책들에 제시되어 있다. 공통 배포를 위한 알고리즘은 많은 통계 소프트웨어 패키지에 내장되어 있다.

또한 퀀텀마일 함수는 비선형 일반 및 부분 미분 방정식의 해법으로 특징지어질 수 있다. 정규 분포, 학생 분포, 베타 분포 및 감마 분포에 대한 일반적인 미분 방정식이 제공되고 해결되었다.^[4]

정규 분포

정상적인 분포가 아마도 가장 중요한 경우일 것이다. 정규 분포는 위치 척도 패밀리가므로 임의 파라미터에 대한 정량적 함수는 프로빗 함수로 알려진 표준 정규 분포의 정량적 함수의 단순한 변환에서 도출될 수 있다. 불행히도, 이 함수는 기본 대수적 함수를 사용한 폐쇄형 형태 표현이 없다. 그 결과, 대략적인 표현이 주로 사용된다. 철저한 복합적 합리적 및 다항식 근사치가 위추라와^[5] 아클람에 의해 주어졌다.^[6] 비복합적 합리적 근사치는 쇼에 의해 개발되었다.^[7]

정상 퀀텀에 대한 일반 미분 방정식

정상 퀀텀에 대한 비선형 일반 미분 방정식 w(p)가 주어질 수 있다. 그렇다

{\dplaystyle {\frac{d^{2}w}{dp^{2}}=w\좌측\frac {frac}{dp}\우측)^{2}}

중앙(중간) 조건으로

왼쪽(1/2\오른쪽)=0,\,}

w'\left(1/2\오른쪽)={\sqrt {2\pi }}\,

이 방정식은 고전적인 파워 시리즈 접근법을 포함한 몇 가지 방법으로 해결할 수 있다. 임의의 높은 정확도의 이 솔루션으로부터 개발될 수 있다(Steinbrecher 및 Shaw, 2008 참조).

학생의 t-분포

이것은 역사적으로 더욱 난해한 경우 중 하나로서, 매개변수인 ν의 존재는 이성적인 것과 다른 근사치를 사용하는 것을 어색하게 만들었기 때문이다. ν = 1, 2, 4일 때 간단한 공식이 존재하며, ν이 짝수일 때 다항식의 해법으로 문제가 축소될 수 있다. 다른 경우, 퀀텀 기능은 파워 시리즈로 개발될 수 있다.^[8] 간단한 경우는 다음과 같다.

ν = 1 (Cauchy 분포

Q(p)=\tan(\pi(p-1/2)\!

ν = 2: $Q(p)=2(p-1/2){\sqrt {\frac {2}{\alpha }}\!$

ν = 4: $Q(p)=\operatorname {sign}(p-1/2)\,2\,{\sqrt{q-11}\!$

, where

q={\frac {\cos \left\frac {1}{3}}\arccos \left\sqrt {\put }}{\sqrt}}{\sqrt {\put }\}\!

그리고

[\displaystyle \cHB =4p(1-p)]\!}

위의 "신호" 함수는 양의 인수의 경우 +1, 음의 인수의 경우 -1, 0의 경우 0이다. 삼각 사인 함수와 혼동해서는 안 된다.

퀀틸리 혼합물

밀도의 혼합과 유사하게 분포는 정량 혼합물로 정의될 수 있다.

Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)

(

Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)

)

Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)

=

Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)

Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)

=

Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)

Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)

a

Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)

Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)

Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)

( p

Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)

)

{\displaystyle Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p

여기서 $Q_{i}(p)$ $Q_{i}(p)$ ${\displaystyle Q_{i}(p$ $i=1,\ldots ,m$ = 1 $i=1,\ldots ,m$ , $i=1,\ldots ,m$ …, $i=1,\ldots ,m$ ${\displaystyle i=1,\ldots$ $,m$ $}$ 은 $i=1,\ldots ,m$ (는) 계량형 함수이며, $a_{i}$ {\ $displaystyle a_{i$ $i=1,\ldots ,m$ $i=1,\ldots ,m$ = 1 $i=1,\ldots ,m$ , $i=1,\ldots ,m$ = $i=1,\ldots ,m$ }, $displaystysty$ ,\ $dots.$ $Q(p)$ ) $Q(p)$ 이(가) 분량 함수가 되도록 $Q(p)$ $a_{i}$ ${\$ 매개 변수를 선택해야 $a_{i}$ 한다. 카바넨은 정규-폴리놈 양자 혼합물 및 카우치-폴리놈 양자 혼합물인 두 개의 4모수 양자 혼합물을 제시한다.^[9]

계량함수를 위한 비선형 미분방정식

정규 분포를 위해 주어진 비선형 일반 미분 방정식은 두 번째 파생상품이 존재하는 모든 계량형 함수에 사용할 수 있는 방정식의 특별한 경우다. 일반적으로 퀀텀에 대한 방정식인 Q(p)가 주어질 수 있다. 그렇다

{\dplaystyle {\frac{d^{2}Q}{dp^{2}}=H(Q)\왼쪽({\frac {dQ}{dp}\오른쪽)^{2}}

다음과 같은 경우 적절한 경계 조건에 의해 증강됨

H(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)}}}

및 ƒ(x)는 확률밀도함수다. 정상, 학생, 감마 및 베타 분포의 사례에 대한 이 방정식의 형식과 직렬 및 무증상 솔루션에 의한 고전적 분석은 스타인브레처와 쇼(2008)에 의해 설명되었다. 그러한 해결책은 정확한 벤치마크를 제공하며, 학생의 경우, 실제 몬테카를로 사용에 적합한 시리즈를 제공한다.

참고 항목

참조

^ "Archived copy" (PDF). Archived from the original (PDF) on March 24, 2012. Retrieved March 25, 2012.CS1 maint: 제목으로 보관된 복사본(링크)
^ Gilchrist, W. (2000). Statistical Modelling with Quantile Functions. ISBN 1-58488-174-7.
^ Jaeckel, P. (2002). Monte Carlo methods in finance.
^ Steinbrecher, G., Shaw, W.T. (2008). "Quantile mechanics". European Journal of Applied Mathematics. 19 (2): 87–112. doi:10.1017/S0956792508007341.CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
^ Wichura, M.J. (1988). "Algorithm AS241: The Percentage Points of the Normal Distribution". Applied Statistics. Blackwell Publishing. 37 (3): 477–484. doi:10.2307/2347330. JSTOR 2347330.
^ 역 정규 누적분포함수를 계산하기 위한 알고리즘 2007년 5월 5일 웨이백머신에 보관
^ 전산금융 : 몬테카를로 재활용을 위한 미분방정식
^ Shaw, W.T. (2006). "Sampling Student's T distribution – Use of the inverse cumulative distribution function". Journal of Computational Finance. 9 (4): 37–73.
^ Karvanen, J. (2006). "Estimation of quantile mixtures via L-moments and trimmed L-moments". Computational Statistics & Data Analysis. 51 (2): 947–956. doi:10.1016/j.csda.2005.09.014.

추가 읽기

Abernathy, Roger W. and Smith, Robert P. (1993) *"F-distribution의 백분위수를 찾기 위해 시리즈 확장을 역 베타 분포에 적용" ACM Transition. 수학. 소프트w, 9(4), 478–480 doi:10.1145/168173.168387
정상 퀀텀의 정교화
새로운 "학생" T 분포 관리 방법
ACM 알고리즘 396: 학생의 t-Quantiles

[1] "Archived copy" (PDF). Archived from the original (PDF) on March 24, 2012. Retrieved March 25, 2012.CS1 maint: 제목으로 보관된 복사본(링크)

[2] Gilchrist, W. (2000). Statistical Modelling with Quantile Functions. ISBN 1-58488-174-7.

[3] Jaeckel, P. (2002). Monte Carlo methods in finance.

[4] Steinbrecher, G., Shaw, W.T. (2008). "Quantile mechanics". European Journal of Applied Mathematics. 19 (2): 87–112. doi:10.1017/S0956792508007341.CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)

[5] Wichura, M.J. (1988). "Algorithm AS241: The Percentage Points of the Normal Distribution". Applied Statistics. Blackwell Publishing. 37 (3): 477–484. doi:10.2307/2347330. JSTOR 2347330.

[6] 역 정규 누적분포함수를 계산하기 위한 알고리즘 2007년 5월 5일 웨이백머신에 보관

[7] 전산금융 : 몬테카를로 재활용을 위한 미분방정식

[8] Shaw, W.T. (2006). "Sampling Student's T distribution – Use of the inverse cumulative distribution function". Journal of Computational Finance. 9 (4): 37–73.

[9] Karvanen, J. (2006). "Estimation of quantile mixtures via L-moments and trimmed L-moments". Computational Statistics & Data Analysis. 51 (2): 947–956. doi:10.1016/j.csda.2005.09.014.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

hide v t 확률분포 이론
확률 질량 함수(pmf) 확률밀도함수(pdf) 누적분포함수(cdf) 계량 함수
생시 중심 순간 심술궂다 분산 표준 편차 왜도 첨도 L-moment
모멘트 생성 함수(mgf) 특성 함수 확률 생성 함수(pgf) 뭉클한 콤비네

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