로렌츠 곡선

경제학에서 로렌츠 곡선은 소득이나 부의 분배를 그래픽으로 나타낸 것이다. 그것은 맥스 오에 의해 개발되었다. 1905년 재산분배의 불평등을 나타내는 로렌츠.

곡선은 유한한 모집단에 대해서는 엄격하게 사실이 아니지만(아래 참조) 인구의 하위 x%가 차지하는 전체 소득 또는 부의 비율을 나타내는 그래프다. 소득분배를 나타내기 위해 종종 사용되는데, 소득분배를 나타내는 데 사용되는데, 소득분배율은 하위 x%에 대해 전체 소득의 몇 퍼센트(y%)가 있는지 보여준다. 가구 비율은 x축에 표시되며, 소득 비율은 y축에 표시된다. 자산의 분포를 보여주는 데도 사용할 수 있다. 이런 활용에서 많은 경제학자들은 이를 사회적 불평등의 척도로 여긴다.

이 개념은 생물^[1] 다양성 연구와 생태학에서 개인의 크기 사이의 불평등을 설명하는데 유용하며, 생물 다양성의 누적 비율을 기준으로 종들의 누적 비율을 표시한다.^[2] 또한 비즈니스 모델링에서 유용하다. 예를 들어, 소비자 금융에서, 최악의 위험 점수를 받은 사람들의 x%에 기인하는 실제 연체율 y%를 측정하는 것이다.

설명

2005년 자료.

로렌츠 곡선의 포인트는 "모든 가구의 하위 20%가 총소득의 10%를 가지고 있다"와 같은 문구를 나타낸다.

완벽하게 동일한 소득분배는 모든 사람이 동일한 소득을 갖는 분배일 것이다. 이 경우 사회의 하위 N%는 항상 소득의 N%를 가질 것이다. 이것은 "완벽한 평등의 선"이라고 불리는 직선 y = x로 묘사될 수 있다.

이와는 대조적으로, 완벽하게 불평등한 분배는 한 사람이 모든 소득을 가지고 있고 다른 사람은 하나도 없는 분배일 것이다. 이 경우 곡선은 모든 x < 100%에 대해 y = 0%, x = 100%일 때 y = 100%가 된다. 이 곡선은 "완벽한 불평등의 선"이라고 불린다.

지니계수는 완벽한 평등의 선과 관찰된 로렌츠 곡선 사이의 면적과 완벽한 평등의 선과 완전한 불평등의 선 사이의 비율이다. 계수가 높을수록 분포가 불평등하다. 오른쪽의 도표에서 이것은 비율 A/(A+B)로 주어지는데, 여기서 A와 B는 도표에 표시된 지역의 영역이다.

정의 및 계산

로렌츠 곡선은 변수의 분포와 변수의 가상적인 균일 분포를 비교하는 확률도(P–P 그림)이다. 보통 L(F) 함수로 나타낼 수 있는데, 여기서 모집단의 누적 부분인 F는 수평축으로, 총부나 소득의 누적 부분인 L은 수직축으로 나타낸다.

Y의 이산형 분포 값 y1에 의해 결정되는 동안non-decreasing 위해(의 ≤ yi+1)에...,yn과 그들의 확률 f(jy):)Pr(Y)yj){\displaystyle f(y_{j}):=\Pr(Y=y_{j})}로렌츠 곡선은 연속piecewise 선형 함수를 연결하는 포인트(Fi, Li), 나는 조향 개시 0으로, 어디 심하=0, 최근=0, 그리고 나는 갈대 1이다. n:

${\displaystyle F_{i}=\Sigma _{j=1}^{i}\;f(y_{j}),}$

${\displaystyle S_{i}=\Sigma _{j=1}^{i}\;f(y_{j})\,y_{j}\,}$

${\displaystyle L_{i}:=S_{i}/S_{n}\,}$

모든 y가_i 확률 1/n과 동등하게 개연성이 있는 경우 이는 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle F_{i}=i/n\,}$

${\displaystyle S_{i}=1/n\\Sigma _{j=1}^{i}\;y_{j}\,}$

$[\displaystyle L_{i}=S_{i}/S_{n}\,}$

확률밀도함수 f와 누적분포함수 F를 갖는 연속분포의 경우 로렌츠 곡선 L은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle L(F(x))={\frac {\int _{-\infty }^{x}t\,f(t)\,dt}{\int _{-\infty }^{\infty }t\,f(t)\,dt}}={\frac {\int _{-\infty }^{x}t\,f(t)\,dt}{\mu }}}$

여기서 $[\displaystyle \mu }$은(는) 평균을 나타낸다$$. 그런 다음 로렌츠 곡선 L(F)은 함수 파라메트릭(x: L(x) 대 F(x)로 표시할 수 있다. 다른 맥락에서, 여기서 계산된 양은 길이 편향된(또는 크기 편향된) 분포로 알려져 있다; 그것은 갱신 이론에서도 중요한 역할을 한다.

또는 역 x(F)를 갖는 누적분포함수 F(x)의 경우 로렌츠 곡선 L(F)은 다음과 같이 직접 주어진다.

${\displaystyle L(F)={\frac {\int_{0}^{F}x(F_{1}})\,dF_{1}:{1}{0}^{1}:{1}{0}^{1}x(F_{1}})\,dF_{1}:{1}:{1}}}}}}}}}}}:{1}$

누적분포함수에 상수 값의 구간이 있기 때문에 역 x(F)는 존재하지 않을 수 있다. 그러나 x(F)의 정의를 일반화함으로써 이전 공식을 적용할 수 있다.

x(F₁) = inf {y : F(y) ≥ F₁}

로렌츠 곡선의 예는 파레토 분포를 참조하십시오.

특성.

로렌츠 곡선은 항상 (0,0)에서 시작하여 (1,1)에서 끝난다.

로렌츠 곡선은 확률 분포의 평균이 0이거나 무한일 경우 정의되지 않는다.

확률 분포에 대한 로렌츠 곡선은 연속 함수다. 그러나, 불연속 함수를 나타내는 로렌츠 곡선은 확률 분포의 로렌츠 곡선의 한계로 구성될 수 있는데, 완벽한 불평등의 선이 그 예가 된다.

로렌츠 곡선의 정보는 지니계수와 로렌츠 비대칭계수로 요약될 수 있다.^[1]

로렌츠 곡선은 완전한 평등의 선 위로 올라갈 수 없다.

로렌츠 곡선은 두 번째 로렌츠 곡선 아래로 떨어지지 않고 적어도 한 번 이상 그 위를 달리는 로렌츠 곡선은 두 번째 곡선에 대해 로렌츠 지배력을 가진다.^[3]

측정 중인 변수가 음수 값을 취할 수 없는 경우 로렌츠 곡선은 다음과 같다.

• 완전한 불평등의 선 아래로 가라앉을 수는 없다.
• 점점 늘어나고 있다.

그러나 순자산에 대한 로렌츠 곡선은 일부 사람들이 부채로 인해 순자산이 마이너스라는 사실 때문에 마이너스(-)로 출발할 것이라는 점에 유의한다.

로렌츠 곡선은 양의 스케일링에서 불변한다. X가 랜덤 변수인 경우, 임의의 양수 c에 대해 랜덤 변수 c X는 X와 동일한 로렌츠 곡선을 가진다.

로렌츠 곡선은 부정에 의해 한 번은 F = 0.5, 한 번은 L = 0.5로 플립된다. X가 로렌츠 곡선 L_X(F)의 랜덤 변수인 경우 -X는 로렌츠 곡선을 가진다.

L _{− X} = 1 − L _X (1 − F)

로렌츠 곡선은 원래 평균과 변환된 평균의 비율에 비례하여 등차 F - L(F)가 변화하도록 번역에 의해 변경된다. X가 로렌츠 곡선 L _X (F)과 평균 μ를 _X 갖는 랜덤 변수인 경우, 모든 상수 c μ - μ에 _X 대해 X + c는 다음과 같이 정의된 로렌츠 곡선을 가진다.

${\displaystyle F-L_{X+c}(F)={\frac {\mu_{X}}{X}+c}},}$

평균 μ와 (일반화된) 역 x(F)의 누적 분포 함수 F(x)의 경우, 0 < F < 1 :

• 로렌츠 곡선이 다를 수 있는 경우:

${\displaystyle {\frac {dL(F)}{dF}={\frac {x(F)}{\mu }}}}$

• 로렌츠 곡선이 두 배 다를 수 있는 경우 확률밀도함수 f(x)가 그 지점에 존재하며, 다음과 같다.

${\dfracyle {\d^{2}L(F)}{dF^{2}}={\frac {1}{\mu \,f(x(F)}}}},}$

• L(F)이 연속적으로 다를 수 있다면 L(F)의 탄젠트는 F(μ) 지점에서 완전한 평등의 선과 평행하게 된다. 이 점은 로렌츠 곡선과 완벽한 평등의 선 사이의 수직 거리인 평등의 F - L(F)이 가장 큰 지점이기도 하다. 간격의 크기는 상대 평균 절대 편차의 절반과 동일하다.

${\displaystyle F(\mu )-L(F(\mu )={\frac {\text{mean 절대편차}}{2\,\mu }}}}$

참고 항목

• 분포(경제학)
• 부의 분배
• 복지경제학
• 소득불평등 지표
• 지니계수
• 후버 지수(A.K.A.) 로빈 후드 인덱스)
• ROC 분석
• 사회복지(정치학)
• 경제적 불평등
• 지프의 법칙
• 파레토 분포
• 평균 편차

참조

추가 읽기

• Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. Publications of the American Statistical Association, Vol. 9, No. 70. 9 (70): 209–219. Bibcode:1905PAmSA...9..209L. doi:10.2307/2276207. JSTOR 2276207.
• Gastwirth, Joseph L. (1972). "The Estimation of the Lorenz Curve and Gini Index". The Review of Economics and Statistics. The Review of Economics and Statistics, Vol. 54, No. 3. 54 (3): 306–316. doi:10.2307/1937992. JSTOR 1937992.
• Chakravarty, S. R. (1990). Ethical Social Index Numbers. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-52274-3.
• Anand, Sudhir (1983). Inequality and Poverty in Malaysia. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-520153-1.

외부 링크

• WIID: World Income Salfulation Database(세계개발경제연구소, UN대학 부속)가 수집한 불평등 정보의 원천
• glcurve: 로렌츠 곡선을 그리는 Stata 모듈(설치할 Stata 프롬프트에 "findit glcurve" 또는 "ssc install glcurve"를 입력하십시오.
• 불평등 및 빈곤 측정값을 계산하기 위한 STATA의 무료 추가 기능
• 무료 온라인 소프트웨어(계산기)는 지니계수를 계산하고 로렌츠 곡선을 그리고 모든 데이터 집합에 대한 다른 많은 농도 측정값을 계산한다.
• 무료 계산기: 앳킨슨, 지니 및 후버 불평등에 대한 온라인 및 다운로드 가능한 스크립트(Python 및 Lua)
• R 데이터 분석 소프트웨어의 사용자는 지니, 앳킨슨, 테일 등 다양한 불평등 지수를 계산할 수 있는 "ineq" 패키지를 설치할 수 있다.
• 지니, 앳킨슨, 테일 인덱스를 계산하고 로렌츠 곡선을 플로팅하기 위한 코드를 포함한 MATLAB 불평등 패키지. 많은 예를 들 수 있다.
• 로렌츠 곡선을 그래프로 표시하고 지니계수와 변동계수를 계산하는 Excel 스프레드시트를 포함한 다양한 애플리케이션을 포함한 로렌츠 곡선에 대한 완전한 유인물.
• 로렌츠 3.0은 샘플 로렌츠 곡선을 그리고 엑셀 시트의 데이터로부터 지니계수와 로렌츠 비대칭계수를 계산하는 매스매티카 노트북이다.