볼츠만 분포

통계역학 및 수학에서 볼츠만 분포(Gibbs^[1] 분포라고도 함)는 시스템이 특정 상태에 있을 확률을 그 상태의 에너지와 시스템의 온도의 함수로 제공하는 확률 분포 또는 확률 척도이다.분포는 다음 형식으로 표시됩니다.

${\displaystyle p_{i}\propto e^{-{\varepsilon _{i}}/{(kT)}}}$

여기서_i p는 시스템이 상태 i에 있을 확률이고, δ는_i 그 상태의 에너지이며, 분포의 상수 kT는 볼츠만 상수 k와 열역학 온도 T의 곱이다.기호$${\(\$textstyle \propto ）$는 비례성을 나타냅니다(비례 상수 분포 참조).

여기서 시스템이라는 용어는 매우 넓은 의미를 가지고 있습니다. 즉, '충분한 수'의 원자 집합(단일 원자는 아님)부터 천연가스 저장 탱크와 같은 거시적 시스템까지 다양합니다.따라서 볼츠만 분포를 사용하여 매우 다양한 문제를 해결할 수 있습니다.이 분포는 낮은 에너지를 가진 상태가 항상 점유될 확률이 높다는 것을 보여줍니다.

두 상태의 확률 비율은 볼츠만 계수라고 하며, 특징적으로 상태의 에너지 차이에만 의존합니다.

${\displaystyle {p_{i}} {p_{j}}=e^{(\varepsilon _{j}-\varepsilon _{i}}/{(kT)}}}$

볼츠만 분포는 1868년 열평형 ^[2]상태의 기체의 통계역학에 대한 연구 중에 처음 공식화한 루드비히 볼츠만의 이름을 따서 명명되었다.볼츠만의 통계 작업은 그의 논문 "열역학 이론의 제2기초정리와 열평형 ^[3]조건에 관한 확률 계산 사이의 관계에 대하여"에서 입증된다.그 분포는 ^[4]1902년 조시아 윌러드 깁스에 의해 현대의 일반적인 형태로 광범위하게 조사되었다.

볼츠만 분포는 맥스웰-볼츠만 분포 또는 맥스웰-볼츠만 통계량과 혼동해서는 안 된다.볼츠만 분포는 시스템이 ^[5]그 상태의 에너지의 함수로서 특정 상태에 있을 확률을 제공하는 반면, 맥스웰-볼츠만 분포는 이상적인 기체의 입자 속도 또는 에너지의 확률을 제공합니다.

배포

볼츠만 분포는 분포가 ^[6]적용되는 시스템의 에너지와 온도의 함수로서 특정 상태의 확률을 제공하는 확률 분포입니다.라고 되어 있다

${\displaystyle p_{i}=subfrac {1}{Q}}{e^{-{i}/(kT)}=subfrac {e^{-{\varepsilon}_{i}/(kT)}}{\sum _j=1}{M}{e_{\varepsilon}$

여기서_i p는 상태 i의 확률, θ_i 상태 i의 에너지, k는 볼츠만 상수, T는 시스템의 절대 온도, M은 ^[6][5]관심 시스템이 접근할 수 있는 모든 상태의 수입니다.정규화 분모 Q(일부 저자에 의해 Z로 표시됨)는 표준 파티션 함수입니다.

$({displaystyle Q={i=1}^{M}{e^{-{\varepsilon}_{i}/(kT)}}})$

이는 액세스 가능한 모든 상태의 확률이 최대 1이어야 한다는 제약조건에서 비롯됩니다.

볼츠만 분포는 엔트로피를 최대화하는 분포입니다.

$\displaystyle H(p_{1},p_{2},\cdots,p_{M}=-\sum _{i=1}^{M}p_{i}\log _{2}p_{i}$

정규화 제약 조건과$\theta {}_{}$ $p_{}$ i$$i {\$textstyle \sum {p_{$i}{\$varepsilon }_{$i}}}이$$(가) 특정 평균 에너지 값과 같다는 제약 조건에 따라 달라집니다(라그랑주 승수를 사용하여 증명할 수 있습니다).

분할 함수는 관심 시스템이 접근할 수 있는 상태의 에너지를 알고 있다면 계산할 수 있다.원자의 경우 분할 함수 값은 NIST 원자 스펙트럼 ^[7]데이터베이스에서 확인할 수 있다.

이 분포는 에너지가 낮은 상태가 에너지가 높은 상태보다 항상 점유될 확률이 높다는 것을 보여줍니다.그것은 또한 점유되는 두 상태의 확률 사이의 양적 관계를 우리에게 줄 수 있다.상태 i와 j에 대한 확률의 비율은 다음과 같이 주어진다.

$({displaystyle {p_{i}}{p_{j}}=e^{({\varepsilon}_{j}-{\varepsilon}_{i}/(kT)})})$

여기서_i p는 상태 i의 확률_j, p는 상태 j의 확률, θ와_i θ는_j 각각 상태 i와 j의 에너지이다.에너지 수준 인구의 상응하는 비율 또한 그들의 퇴화를 고려해야 한다.

볼츠만 분포는 종종 원자나 분자와 같은 입자가 접근할 수 있는 경계 상태에 있는 입자의 분포를 설명하기 위해 사용됩니다.만약 많은 입자로 이루어진 시스템이 있다면, 입자가 상태 i에 있을 확률은 실질적으로 우리가 그 시스템에서 임의의 입자를 골라 어떤 상태에 있는지 확인한다면, 그 입자가 상태 i에 있다는 것을 알 수 있는 확률입니다.이 확률은 상태 i에 있는 입자의 수를 시스템 내 입자의 총 수로 나눈 것과 같습니다. 즉, 상태 i를 차지하는 입자의 비율입니다.

${\displaystyle p_{i}=black {N_{i}}{N}}$

여기서_i N은 상태 i에 있는 입자의 수이고 N은 시스템의 총 입자 수입니다.볼츠만 분포를 사용하여 지금까지 살펴본 바와 같이 상태 i에 있는 입자의 비율과 동일한 확률을 찾을 수 있습니다.따라서 상태 i에 있는 입자의 비율을 그 상태의 에너지의 함수로 제공하는 방정식은

$({displaystyle {N_{i}}{N}=sum frac {e^{-{\varepsilon}_{i}/(kT)}}}{\sum _{j=1}^{M}{e^{-{\varepsilon}_{j}/(kT)}}}}}}}}}}}}}$

이 방정식은 분광학에서 매우 중요하다.분광학에서 우리는 한 상태에서 다른 ^[5][8]상태로 이행하는 원자 또는 분자의 스펙트럼 라인을 관찰한다.이것이 가능하기 위해서는 첫 번째 상태의 입자가 있어야 합니다.우리는 첫 번째 상태에서 입자의 분율을 발견함으로써 이 조건이 충족된다는 것을 알 수 있다.무시할 수 있는 경우 계산이 수행된 온도에서 천이가 관찰되지 않을 가능성이 높습니다.일반적으로 첫 번째 상태에 있는 분자의 비율이 클수록 두 번째 ^[9]상태로의 이행 횟수가 많아집니다.이것은 더 강한 스펙트럼 라인을 제공한다.그러나 스펙트럼 라인의 강도에 영향을 미치는 다른 요인들(예: 허용 또는 금지 전환에 의해 발생하는지 여부)이 있다.

기계 학습에서 일반적으로 사용되는 소프트맥스 함수는 볼츠만 분포와 관련이 있습니다.

${\displaystyle (p_{1},\ldots,p_{M})=\operatorname {softmax}(-{\varepsilon}_{1}/(kT),\ldots,-{\varepsilon}_{M}/(kT)})})}$

일반화 볼츠만 분포

서식의 배포

$\displaystyle \Pr \left(\Omega \right)\propto \exp [\sum _ {\eta =1}^{n}{\frac {X_{\eta }x_{\eta }^{\left(\ope \right)}}{k_{B}T}-{\frac {E^{\left(\obega\right)}}{k_{B}T}}\right]}$

일부 ^[10]저자들에 의해 일반화 볼츠만 분포라고 불립니다.

볼츠만 분포는 일반화된 볼츠만 분포의 특수한 경우입니다.일반화 볼츠만 분포는 통계역학에서 표준 앙상블, 그랜드 표준 앙상블 및 등온-등압 앙상블을 설명하기 위해 사용된다.일반화 볼츠만 분포는 보통 최대 엔트로피의 원리에서 도출되지만, 다른 ^[10][11]도출이 있습니다.

일반화 볼츠만 분포에는 다음과 같은 특성이 있습니다.

• 깁스 엔트로피 공식에 의해 정의된 엔트로피가 고전 ^[10]열역학에서 정의된 엔트로피와 일치하는 유일한 분포입니다.
• 상태 함수가 앙상블 평균으로 설명되는 기본적인 열역학 관계와 수학적으로 일치하는 유일한 분포입니다.^[11]

통계역학에서

볼츠만 분포는 열평형(에너지 교환에 관한 평형)에 있는 고정된 구성의 닫힌 시스템을 고려할 때 통계역학에서 나타난다.가장 일반적인 경우는 정규 앙상블에 대한 확률 분포입니다.일부 특수한 경우(정규 앙상블에서 파생 가능)는 다양한 측면에서 볼츠만 분포를 보여준다.

표준 앙상블(일반 케이스)

정준 앙상블은 열욕과 열평형 상태에서 고정된 부피의 닫힌 시스템의 다양한 가능한 상태의 확률을 제공합니다.표준 앙상블은 볼츠만 형식의 상태 확률 분포를 가진다.

서브시스템 상태의 통계 빈도(비인터랙티브 컬렉션 내)

관심 시스템이 작은 서브시스템의 수많은 비인터랙티브 복사본의 집합인 경우, 수집 중 특정 서브시스템 상태의 통계 빈도를 찾는 것이 유용할 수 있습니다.표준 앙상블은 이러한 컬렉션에 적용되었을 때 분리 가능성의 특성이 있습니다. 즉, 비상호작용 서브시스템이 고정된 구성을 가지고 있는 한, 각 서브시스템의 상태는 다른 서브시스템과 독립적이며 표준 앙상블에 의해 특징지어집니다.그 결과, 서브시스템 상태의 예상 통계 주파수 분포는 볼츠만 형태를 가진다.

Maxwell-Boltzmann의 고전 가스 통계(비상호작용 입자 시스템)

입자 시스템에서 많은 입자들이 같은 공간을 공유하고 서로 정기적으로 위치를 바꿉니다. 즉, 그들이 차지하는 단일 입자 상태 공간은 공유 공간입니다.Maxwell-Boltzmann 통계는 평형 상태에서 비상호작용 입자의 고전적인 기체에서 주어진 단일 입자 상태에서 발견되는 예상 입자 수를 나타낸다.이 예상 수 분포는 볼츠만 형식을 갖습니다.

이러한 경우들은 매우 유사하지만 중요한 가정을 변경할 때 서로 다른 방식으로 일반화되므로 구별하는 것이 도움이 된다.

• 시스템이 에너지 교환과 입자 교환에 대해 열역학적 평형 상태에 있을 때 고정 조성의 요건은 완화되며 정준 앙상블이 아닌 대정준 앙상블을 얻을 수 있다.반면 구성과 에너지가 모두 고정된 경우에는 마이크로캐노닉 앙상블이 대신 적용됩니다.
• 집합 내의 서브시스템이 서로 상호작용하는 경우 서브시스템 상태의 예상 빈도는 더 이상 볼츠만 분포를 따르지 않으며 심지어 분석 솔루션을 ^[12]가지지 않을 수도 있습니다.그러나 표준 앙상블은 전체 시스템이 열평형 상태에 있을 경우 전체 시스템의 집합 상태에 여전히 적용될 수 있다.
• 양자 가스가 평형 상태에 있을 때, 주어진 단일 입자 상태에서 발견된 입자의 수는 맥스웰-볼츠만 통계를 따르지 않으며, 정준 앙상블에서 양자 가스에 대한 단순한 닫힌 형태 표현은 없다.그랜드 표준 앙상블에서 양자 가스의 상태 채우기 통계는 입자가 각각 페르미온인지 보손인지에 따라 페르미-디락 통계 또는 보스-아인슈타인 통계로 설명된다.

수학에서

보다 일반적인 수학적 설정에서 볼츠만 분포는 깁스 측도로도 알려져 있습니다.통계학 및 기계 학습에서는 로그 선형 모델이라고 합니다.딥 러닝에서 볼츠만 분포는 볼츠만 기계, 제한된 볼츠만 기계, 에너지 기반 모델 및 딥 볼츠만 기계와 같은 확률적 신경망의 샘플링 분포에 사용된다.딥 러닝에서 볼츠만 기계는 비지도 학습 모델 중 하나로 간주된다.딥러닝에서의 볼츠만 머신 설계에서는 노드 수가 증가함에 따라 실시간 어플리케이션 구현의 어려움이 중요해져 Restricted Boltzmann 머신이라는 다른 아키텍처가 도입되었습니다.

경제학에서

Boltzmann 분포는 배출권 ^[13][14]거래에서 허가를 할당하기 위해 도입될 수 있다.볼츠만 분포를 사용하는 새로운 할당 방법은 여러 국가에서 배출허가의 가장 가능성이 높고 자연적이며 편견이 없는 분포를 설명할 수 있다.

볼츠만 분포는 다항 로짓 모형과 동일한 형태를 가집니다.이산 선택 모델로서, 이것은 Daniel McFadden이 무작위 효용 ^[15]극대화에 대한 연결을 만든 이후 경제학에서 매우 잘 알려져 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 보스-아인슈타인 통계
• 페르미-디락 통계
• 마이너스 온도
• Softmax 함수

레퍼런스