확률적 프로세스 및 경계 값 문제

수학에서는 확률적 분석 방법을 사용하여 일부 경계값 문제를 해결할 수 있다.아마도 가장 유명한 예는 카쿠타니 시즈오가 1944년 브라운 운동을 이용한 라플라스 운영자를 위해 디리클레 문제를 해결한 것이다.그러나, 많은 종류의 반엘립틱 2차 부분 미분 방정식의 경우 연관된 디리클레 경계 값 문제는 연관된 확률적 미분 방정식을 해결하는 Ito 프로세스를 사용하여 해결할 수 있는 것으로 밝혀졌다.

소개: 고전적인 디리클레 문제에 대한 카쿠타니의 해결책

Let ${\displaystyle D}$ be a domain (an open and connected set) in ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$. Let ${\displaystyle \Delta }$ be the Laplace operator, let ${\displaystyle g}$ be a bounded function on the boundary ${\displaystyle \partial D}$, and consider the problem:

${\displaystyle {\begin}-\Delta u(x)=0,&x\in D\\\displaystyle {\lim_{y\}u(y)=g(x), \x\in \partial D\end{case}}}}}}}}}}}$

It can be shown that if a solution ${\displaystyle u}$ exists, then ${\displaystyle u(x)}$ is the expected value of ${\displaystyle g(x)}$ at the (random) first exit point from ${\displaystyle D}$ for a canonical Brownian motion starting at ${\displaystyle x}$. See theorem 3 in Kakutani 1944, p. 710.

디리클레-포아송 문제

Let ${\displaystyle D}$ be a domain in ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ and let ${\displaystyle L}$ be a semi-elliptic differential operator on ${\textstyle C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$ of the form:

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}}$

여기서 계수 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$i}$와 ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$}}$는 연속 함수이며 행렬$$ $\alpha {\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle i_{}}$ $($)의 모든 $고유값은 음수$가 아니다$$$.$$f$ $\in$ $C$($D;$ $R\mathbb{}$) ${\textstyle f\in C(D;\mathb${$R\mathbb{}$$})}$ 및 $g$ $\in$ $C$( $\mathrm{\partial }$ $D;$ R$$) ${\textstyle g\in C(\partial$ D$;\mathb {R} )}$을(를)로 두십시오$.$ 포아송 문제를 고려하십시오.

${\displaystyle {\begin}-Lu(x)=f(x),&x\in D\\\\displaystyle {\lim\to x}u(y)=g(x), \x\in \partial D\end{case}\quad}\\\mbox{(P1)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.$

이 문제를 해결하기 위한 확률적 방법의 발상은 다음과 같다.First, one finds an Itō diffusion ${\displaystyle X}$ whose infinitesimal generator ${\displaystyle A}$ coincides with ${\displaystyle L}$ on compactly-supported ${\displaystyle C^{2}}$ functions ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$. For example, ${\disp$$레이스타일 X}$을(를) 확률적 미분 방정식의 해결책으로 삼을 수 있다$$.

${\daystyle \mathrm {d}X_{t}=b(X_{t}),\mathrm {d}t+\sigma(X_{t}),\mathrm {d}B_{t}}}$

여기서 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은$($는) n차원 브라운 운동이고, $b{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle b_{i}$는 위와 같이$$ $구성{\displaystyle {}_{}}$ 요소 ${\displaystyle b_{}}$i {\displaystyle b_{i}를$$ 가지며, 행렬 필드 $\sigma {\displaystyle }${\$displaystyle \sigma}$을(으)로 선택하여$$ 다음과 같이 한다.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma(x)\sigma(x)^{}}{}}}\top }=a(x),\quad \forall x\in \mathb {R}^{n}}}}}$

For a point ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, let ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$ denote the law of ${\displaystyle X}$ given initial datum ${\displaystyle X_{0}=x}$, and let ${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$denote expectation with respect to ${\$$displaystyle \mathb{P} ^{x$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$는 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle D$에서 $X{\displaystyle }$ ${\\displaystyle X}$의 첫 번째 출구 시간을 나타낸다.

이 표기법에서 (P1)의 후보 해법은 다음과 같다.

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\cdot \chi _{\{\tau _{D}<+\infty \}}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

$g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가) 경계 함수이고 다음과 같은 경우:

${\displaystyle \mathb {E}^{x}\왼쪽[\int _{0}^{\tau_{D}{D}{\big }f(X_{t}}}}}}}{\big }\big }\mathrm {d}t}t\ft}<+\ftft}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

다음 중 한 가지 조건이 더 필요한 것으로 나타났다.

${\displaystyle \mathb {P} ^{x}{\big (}\\tau _{D}<\flothy {\big )}=1,\quad \forall x\in D}$

모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 대해$,$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 시작하는$$ 프로세스 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) $거의$ 유한한 시간에$$ D ${\\displaystyle D}$을(를) 떠난다.이러한 가정 하에서 위의 후보 솔루션은 다음과 같이 감소한다.

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

그리고 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(${\displaystyle {가\mathrm{}}^{}}$)$$ X ${\displaystyle X}$의 특성 연산자를$$나타내는 경우(C 2 {\$displaystyle$ C$^{2$}}개$$$$ $함수$에서 A ${\displaystystyle A}$과) 다음을 해결한다.

${\displaystyle {\begin{cases}-{\mathcal {A}}u(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{t\uparrow \tau _{D}}u(X_{t})}=g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )},&\mathbb {P} ^{x}{\mbox{-a.s.,}}\;\forall x\in D\end{cases}}\quad {\mbox{(P2)}}}$

또한 $v$ $\in$ ${C\mathrm{}}^{}$ 2${}^{}$( $D\mathbb{}$; $R$) ${\textstyle v\in C^{2}(D;\mathb {R} )}$이(가) 충족되고 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x\in D}$에 대해 다음과 같은$$ $상수{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$이(가) 있는 경우$:$

${\displaystyle v(x) \leq C\left(1+\mathb {E}^{x}\left[\int_{0}^{\tau_{D}{D}{\big }g(X_{s}){\big }\big },\mathrm {d}s}\rig}\rig}\오른쪽]\d}$

$그러면{\displaystyle }$v = ${\displaystyle u}${\$displaystyle$v=$u$

참조

• Kakutani, Shizuo (1944). "Two-dimensional Brownian motion and harmonic functions". Proc. Imp. Acad. Tokyo. 20 (10): 706–714. doi:10.3792/pia/1195572706.
• Kakutani, Shizuo (1944). "On Brownian motions in n-space". Proc. Imp. Acad. Tokyo. 20 (9): 648–652. doi:10.3792/pia/1195572742.
• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (Sixth ed.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (제9장 참조)