측정(수학)

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측정은 수학의 기본 개념이다. 측정은 질량, 거리/길이, 면적, 부피, 사건 확률, 그리고 일부 조정 후 전하와 같은 일반적인 개념에 수학적 추상화를 제공한다. 이 겉보기에 뚜렷한 개념들은 본질적으로 매우 유사하며, 많은 경우 수학적으로 구별할 수 없는 것으로 취급될 수도 있다. 측정은 확률론에서 기초적인 것이다. 광범위한 측정 일반화는 일반적으로 양자물리학과 물리학에서 널리 사용된다.

이 개념의 이면의 직관은 아르키메데스가 원의 면적을 계산하려고 했던 고대 그리스로 거슬러 올라간다. 그러나 19세기 후반과 20세기 초가 되어서야 계량 이론이 수학의 한 가지가 되었다. 현대 측량 이론의 기초는 에밀 보렐, 앙리 르베그, 요한 라돈, 콘스탄틴 카라테오도리, 모리스 프레셰 등의 작품에서 세워졌다.

정의

X는 한 세트로 하고 σ-알지브라는 X 위에 놓아라. σ에서 연장된 실수선까지의 함수 μ는 다음과 같은 특성을 만족하면 측정값이라고 한다.

• 비부정성: σ의 모든 E에 대해 μ(E) ≥ 0이 있다.
• Null 빈 세트: $\mu {\displaystyle (}$μ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu(\varnothing )=0}$.
• 셀 수 있는 추가성(또는 σ-additivity): 모든 계산 가능한 컬렉션${\displaystyle }${${\displaystyle {Ek}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_k^{}}$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$}}에 대해$$,
  $${\displaystyle \mu \left(\bigsqcup _{k=1}^{{k}\오른쪽)=\sum _{k=1}^{\inful }\mu(E_{k}).}$$

  

적어도 한 세트 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 측정치가 유한할 경우 μ$$${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \mathrm{\mu }}$ ) =${\displaystyle }$0 ${\displaystyle \mu(\varnothing$ )=$0}$의 요구 조건이 자동으로 충족된다$$. 정말, 셀 수 있는 가식성으로,

$[\displaystyle \mu(E)=\mu(E\cup \varnothy )=\mu(E)+\mu(\varnothy)],}$

따라서 $\mu {\displaystyle \mathrm{(\varnothing }}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \mu(\varnothy)=0.$$}$

비부정성 조건을 생략하고 이 조건 중 두 번째와 세 번째 조건을 충족하고, μ가 ± μ의 값 중 하나에서 차지하는 경우, μ를 부호화된 측정이라고 한다.

쌍(X, σ)을 측정 가능한 공간이라고 하며, σ의 멤버를 측정 가능한 집합이라고 한다. If ${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$ and ${\displaystyle \left(Y,\Sigma _{Y}\right)}$ are two measurable spaces, then a function ${\displaystyle f:X\to Y}$ is called measurable if for every Y-measurable set ${\displaystyle B\in \Sigma _{Y}}$, the inverse image is X-measurable – i.e.: ${\displaystyle f^{(-1)}(B)\in \Sigma _{X}}$. In this setup, the composition of measurable functions is measurable, making the measurable spaces and measurable functions a category, with the measurable spaces as objects and the set of measurable functions as arrows. 또한 다른 설정에 대한 측정 가능한 함수 § 용어 사용 변화를 참조하십시오.

3중(X, σ, μ)을 측정공간이라고 한다. 확률 측정은 총 측정치 1 – 즉 μ(X) = 1. 확률 공간은 확률 측정치가 있는 측정 공간이다.

위상학적 공간인 측정 공간의 경우 측정 및 위상에 대해 다양한 호환성 조건을 배치할 수 있다. 분석(그리고 확률론에서도 많은 경우)에서 실제적으로 충족되는 측정은 대부분 라돈 측정이다. 라돈 측정은 콤팩트한 지지로 연속함수의 국소 볼록한 공간에 선형함수의 관점에서 대안으로 정의된다. 이 접근방식은 부르바키(2004)와 많은 다른 출처에 의해 취해진다. 자세한 내용은 라돈 대책 관련 기사를 참조하십시오.

인스턴스

여기에 몇 가지 중요한 조치들이 열거되어 있다.

• 계수 측정은 μ(S) = S의 원소 수로 정의된다.
• μ에 대한 Lebesgue 측정은 μ([0, 1]) = 1과 같은 ℝ의 간격을 포함하는 al-알게브라에 대한 완전한 번역-변환성 측정이며, 이러한 특성을 가진 모든 측정은 Lebesg 측정을 확장한다.
• 원형 각도 측정은 회전 시 불변하며 쌍곡 각도 측정은 압착 맵핑 시 불변한다.
• 국소 콤팩트 위상학 집단에 대한 하르 측정은 르베그 측정(및 계수 측정 및 원형 각도 측정)의 일반화로서 유사한 고유성을 가지고 있다.
• 하우스도르프 측정은 르베그 측정치를 비정수 치수, 특히 프랙탈 세트와 함께 설정하는 일반화다.
• 모든 확률 공간은 전체 공간에 대해 값 1을 취하는 측정을 발생시킨다(따라서 단위 간격 [0, 1]의 모든 값을 취한다). 그러한 척도를 확률 척도라고 한다. 확률 공리를 참조하십시오.
• Dirac 측정값 Δ_a (cf. 디락 델타 함수)는 Δ_a(S) = χ_S(a)로 주어지며, 여기서 χ은_S S의 지표 함수다. 한 세트가 a 점을 포함하면 1이 되고 그렇지 않으면 0이 된다.

다양한 이론에서 사용되는 그 밖의 '이름있는' 척도는 다음과 같다. 보렐 측정, 요르단 측정, 에르고딕 측정, 오일러 측정, 가우스 측정, 바이어 측정, 라돈 측정, 영 측정, 롭 측정.

물리학에서 측정의 한 예는 질량의 공간적 분포(예: 중력 전위 참조) 또는 보존된 또 다른 음이 아닌 광범위한 재산(이들 목록을 위한 보존법 참조)이다. 음수 값은 서명된 측도로 이어진다. 아래 "일반화"를 참조하십시오.

• Liouville 측정은 공감각 다지관의 자연적 체적 형태로도 알려져 있으며 고전 통계학 및 해밀턴 역학에서 유용하다.
• 깁스 측정은 통계 역학에서 널리 사용되며, 종종 표준 앙상블이라는 이름으로 사용된다.

기본 속성

μ는 측정이 되게 하라.

단조도

E와₁ E가₂ E₁ ⊆ E와₂ 함께 측정 가능한 세트인 경우

${\displaystyle \mu(E_{1})\leq \mu(E_{2}).}$

계수 가능한 유니언 및 교차로 측정

하위additivity

(필수적으로 분리된 것은 아님) urable에서 측정 가능한_n 집합₂ E, E, E₃, ...의 모든 계수 가능한 모든 시퀀스 E₁, E, E, ...

$\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\ft }\mu(E_{i}).}$

아래로부터의 연속성

E₁, E₂, E₃, E, ...${\displaystyle {가}_{}}$ 모든 n에 대해$$ 측정 가능한 집합이고 E $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {En}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle E_{n}\subseteq E_{n+1}}}$인 경우, 집합_n E의 조합은 측정 가능한 것이며,

$\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\inful }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu(E_{i}}=\sup _{i}\mu(E_{i}).}$

위로부터의 연속성

E₁, E₂, E, E₃ ...가 측정 가능한 집합이고, 모든 n에 ${\displaystyle {대해}_{}}$ $E{\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$⊆ ${\displaystyle E_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle E_{n+1}\subseteq E_{n}}},$ 더 나아가 E_n 중 하나 이상의 측정값이 유한하면 E 집합의_n 교차점을 측정할 수 있다$$.

${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infit }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu(E_{i}=\inf _{i}).}$

이 속성은 적어도_n E 중 하나가 유한한 측정치를 가지고 있다는 가정 없이 거짓이다. 예를 들어, 각 n ∈ N에 대해 E_n = [n, ∞) ⊂ R을 무한 레베게 측정하도록 두되 교차점은 비어 있다.

기타 속성

완성도

μ(X) = 0이면 측정 가능한 집합 X를 null 집합이라고 한다. null 집합의 서브셋을 nergyable 집합이라고 한다. 무시할 수 있는 집합은 측정할 필요가 없지만, 모든 측정 가능한 무시 집합은 자동으로 null 집합이다. 모든 무시할 수 있는 집합이 측정 가능한 경우 측정은 완전하다고 불린다.

측정 가능한 집합 X와 무시할 수 있는 집합, 즉 X와 Y의 대칭적인 차이가 null 집합에 포함되도록 하위 집합 Y의 al-알지브라(algebra)를 고려함으로써 측정값을 완전 집합으로 확장할 수 있다. 하나는 μ(Y)를 μ(X)로 정의한다.

μx : f(x)≥t}= μx : f(x)>t}(예)

$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$ -측정 가능한$$ $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle$ f$}$이$({\displaystyle }$가) [${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle \mathrm{}\infty }$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle [0,\fty ]$의 값을 갖는$$ 경우, 그 다음이$$ 된다.

${\displaystyle \mu \{x:f(x)\geq t\}=\mu \{x:f(x)]t\}}}$

Lebesgue 측정에 대한$$ 거의 모든 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$, ${\displaystyle t\in \mathb$ {$R}$에 대해$.$^[1] 이 특성은 르베그 적분(Lebesgue integrated)과 관련하여 사용된다.

증명하다.

Both ${\displaystyle \mu \{x:f(x)>t\}}$ and ${\displaystyle \mu \{x:f(x)\geq t\}}$ are monotonically non-increasing functions of ${\displaystyle t,}$ so both of them are continuous almost everywhere, relative to the Lebesgue measure. 모든 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$에 대해 {: ( > = ${\displaystyle \mu \{x:f(x)}t\}=\infult }$이면, 그 다음$,$ 긍정성과 부정성으로, 부정성으로, ${\displaystyle \mu \{x:f(x)\geq t\}=\mu \{x:f(x)]t\}+\mu \{x:f(x)=t\}=\inflt ,}$ 필요에 따라 만약, 반대로,μ{x:f())>는 과목은}≠ ∞,{\displaystyle\mu\와 같이{x:f())>, t\}\neq \infty,}일부에,{\displaystyle t,}는 독특한 t0∈{− ∞}∪용은 0, ∞){\displaystyle t_{0}\in \{-\infty)}\cup는 경우에는 0,\infty)}가 이 기능에선{\displaystyle지}의 왼쪽(는 무한하다. 캐논ly는 t ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle t_{0}\geq 0)}$이(가) 오른쪽에$$ 유한할 때 발생한다. 위와 같이 논쟁하면서, <${\displaystyle }$ {\$displaystyle$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \backslash \mathrm{mu}}$$\{x:f(x)\geq$ t$\}=\infuly }$ t < 0.{\$displaystyt$ t$<t_{0}.$$}$ > ${\displaystyle t>t_{0}}$의 경우 $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$을(를) $t{\displaystyle }$. ${\displaystytle t.}$에 수렴하는 단조로운 비감소 시퀀스가 되도록$$ 한다.$$ 단조롭게 증가하지 않는 시퀀스{: ( x)> ${\displaystyle \{x:f(x)>t_{n}\}}}$ $\mu$의 ${\displaystyle \mu }$ -측정$$ 가능한 세트는 최소 1개의 미세한 $({\displaystytype \mu })$를 가지고 있으며, 측정 가능한$$ 원소가 있다. ${\displaystyle \{x:f(x)\geq t\}=\bigcap _{n}\{n}\{x:f(x)}t_{n}\}.}$ 위로부터의 연속성은 다음을 나타낸다. ${\displaystyle \mu \{x:f(x)\geq t\}=\lim _{t_{n}\uparrow t}\mu \{x:f(x)_t_{n}\}\}.}$ $그러면{\displaystyle }$ t$${\$displaystyle t$}이(가) 연속성 지점이라면$$ 우측은 : f ) ${\displaystyle \mu \{x:f(x)>t\}}}$과 같다.

부가성

대책은 헤아릴 수 없이 첨가되어야 한다. 그러나 다음과 같이 조건을 강화할 수 있다. 모든 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I$${\displaystyle {}_{}}$ 및$$ 비음성 r ${\displaystyle i_{}}$ 집합에 대해 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r_{i},i\in I}$에서 다음을 정의하십시오$$.

${\displaystyle \sum \{i\in I}r_{i}=\supp \left\lbrace \sum _{i\in J}r_{0}J\subseteq I\right\rbrace .}$

${\displaystyle {즉}_{}}$, $r{\displaystyle {}_{}}$ i ${\$의 합을 모든$$ 합계의 최상이라고 정의한다.

A measure ${\displaystyle \mu }$ on ${\displaystyle \Sigma }$ is ${\displaystyle \kappa }$-additive if for any ${\displaystyle \lambda <\kappa }$ and any family of disjoint sets ${\displaystyle X_{\alpha },\alpha <\lambda }$ the following hold:

${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\in \Sigma }$

$\\displaystyle \mu \left(\bigcup _{\alpha \in \lambda }\wright)=\sum _{\alpha \in \lambda }\mu \left(X_{\alpha }오른쪽).}$

두 번째 조건은 null 집합의 이상이 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \kappa }$ -complete라는$$ 문장과 동일하다는 점에 유의하십시오.

시그마-피니처

측정 공간(X, σ, μ)은 μ(X)가 real이 아닌 유한 실수인 경우 유한하다고 한다. 0이 아닌 유한 측정은 어떤 유한 측정 μ가 확률 $측정{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ 1 ${\displaystyle \frac{\mu }{}}$(${\displaystyle \frac{X}{}}$ ) ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\frac 스타일 {\$frac{$1}{\mu (X)}}}}}}}$에 비례한다는 점에서 확률 측정 μ와 유사하다$.$ X가 측정 가능한 유한 측정 집합의 계산 가능한 조합으로 분해될 수 있다면 측정 μ를 called-핀라이트라고 한다. 이와 유사하게 측정공간의 집합은 유한한 측정으로 계산 가능한 집합의 조합인 경우 fin-핀라이트 측정치를 갖는다고 한다.

예를 들어, 표준 르베그 측도가 있는 실제 숫자는 fin-핀라이트(finite)이지만 유한하지는 않다. 모든 정수 k에 대해 닫힌 간격[k, k+1]을 고려하십시오. 이러한 간격은 셀 수 없이 많으며, 각각 측정치 1이 있으며, 이들의 조합은 전체 실제 선입니다. 또는 각 유한한 실수 집합에 집합의 점 수를 할당하는 계수 측정값의 실제 수를 고려하십시오. 이 측정 공간은 measure-핀라이트가 아니다. 왜냐하면 유한한 측정치가 있는 모든 세트는 미세하게 많은 점만을 포함하고 있고, 실제 라인 전체를 커버하기 위해서는 셀 수 없이 많은 그러한 세트가 필요하기 때문이다. σ-피니트 측정 공간은 매우 편리한 특성을 가지고 있다; 이러한 점에서 fin-완성은 위상적 공간의 린델뢰프 속성과 비교할 수 있다. 그것들은 측정 공간에 '할 수 없는 측정'이 있을지도 모른다는 생각을 모호하게 일반화한 것으로도 생각할 수 있다.

s-cale 대책

한 척도가 한정된 척도의 계수 가능한 합이라면 s-완료라고 한다. S-Finite 척도는 시그마-Finite 척도보다 일반적이며 확률적 공정 이론에 응용이 있다.

측정할 수 없는 집합

만약 선택의 공리가 사실이라고 가정한다면, 유클리드 공간의 모든 하위 집합이 르베그 측정이 가능한 것은 아니라는 것을 증명할 수 있다; 그러한 집합의 예에는 비탈리 집합과 하우스도르프 역설과 바나흐-타르스키 역설로 가정된 측정 불가능한 집합이 포함된다.

일반화

특정한 목적을 위해서는 값이 음이 아닌 실체나 무한대로 제한되지 않는 "측정"을 갖는 것이 유용하다. 예를 들어 (서명된) 실수에 값을 갖는 가산 집합 함수를 부호화된 측도라고 하는 반면, 복잡한 숫자에 값을 갖는 함수를 복합 측도라고 한다. 바나흐 공간에서 가치를 취하는 조치들은 광범위하게 연구되어 왔다.^[2] 힐버트 공간의 자기 적응형 투영 세트에서 값을 취하는 측정치를 투영 값 측정치라고 하며, 이는 스펙트럼 정리의 기능 분석에 사용된다. 비 음수 값을 취하는 통상적인 조치와 일반화를 구분할 필요가 있을 때는 양성 측정이라는 용어를 사용한다. 양성 측정은 원뿔형 조합에서는 닫히지만 일반 선형 조합에서는 닫히지만, 서명된 측정은 양성 측정의 선형 결합이다.

또 다른 일반화는 내용이라고도 알려진 정밀하게 첨가된 척도 있다. 이것은 계산 가능한 부가성을 요구하는 대신에 유한한 부가성만을 요구하는 것을 제외하고는 조치와 동일하다. 역사적으로 이 정의가 먼저 쓰였다. 일반적으로, 정밀하게 첨가된 측정은 바나흐 한계, L의^∞ 이중화, 스톤-젝의 압축화와 같은 개념과 연관되어 있는 것으로 밝혀졌다. 이 모든 것들은 선택의 공리와 이런저런 방식으로 연결되어 있다. 내용은 기하학적 측정 이론의 특정 기술적 문제에서 여전히 유용하다. 이것이 바나흐 측정 이론이다.

전하란 양방향으로 일반화하는 것이다: 그것은 정밀하게 첨가된 서명된 조치다.

참고 항목

참조

참고 문헌 목록

외부 링크

무료 사전인 Wiktionary에서 측정할 수 있는 것을 찾아 보십시오.

• "Measure", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 자습서: 더미 측정 이론