랑게빈 방정식

물리학에서 Langevin 방정식(Paul Langevin의 이름을 따서 명명)은 결정론적 힘과 변동("랜덤") 힘의 조합에 의거했을 때 시스템이 어떻게 진화하는지 설명하는 확률론적 미분 방정식이다. Langevin 방정식의 종속변수는 일반적으로 시스템의 다른(마이크로스코픽) 변수에 비해 느리게만 변화하는 집합적(거시적) 변수들이다. 빠른(마이크로스코픽) 변수는 란제빈 방정식의 확률적 성질을 책임진다. 한 가지 응용은 브라운 모션에 적용되는데, 브라운 모션은 유동체 속의 작은 입자의 요동치는 움직임을 모형화하는 것이다.

원형으로서의 브라운 모션

원래의 Langevin 방정식은^[1][2] 브라운 운동, 즉 유체의 분자와의 충돌로 인해 유체 내 입자가 무작위로 움직이는 것으로 보이는 운동을 기술하고 있다.

${\dplaystyle m{\frac {d\mathbf {v}}{dt}=-\mathbf \mathbf {v} +{\mathbol {\eta}}}\왼쪽(t\오른쪽)}$

여기서 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은$($는) 입자의 속도, $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은 그 질량이다. 입자에 작용하는 힘은 입자의 속도(스톡스의 법칙)에 비례하는 점성력의 합으로 쓰여 있으며, 유체의 분자와 충돌하는 효과를 나타내는$$ 소음 용어 $){\${\$boldsymbol{\eta}}}\왼쪽(t\$right$)$이 있다. 힘 $\eta {\displaystyle \mathit{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\$오른쪽$)$은 상관 함수와$$ 함께 가우스 확률 분포를 가진다.

$\displaystyle \left\langle \eta _{i}\왼쪽(t\right)\eta _{j}\left(t^{\primate }\right)\rigle =2\lambda k_{B}T\delta _{i,j}\delta \left(t-t^{\premy }\오른쪽),}$

where ${\displaystyle k_{B}}$ is Boltzmann's constant, ${\displaystyle T}$ is the temperature and ${\displaystyle \eta _{i}\left(t\right)}$ is the i-th component of the vector ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$. $시간$ 상관관계의 $\Delta {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\delta$ $}$ - 함수$$ 형태는 한 $번$에 힘이 미치는 힘이 다른$$ 시간에 힘과 상관 없음을 의미한다$.$ 이것은 근사치 입니다: 실제 무작위 힘은 분자의 충돌 시간에 해당하는 0이 아닌 상관관계 시간을 가진다. 그러나 랭귀빈 방정식은 훨씬 더 긴 시간 척도에서 "거시적" 입자의 움직임을 설명하기 위해 사용되며, 이 한계에서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$ - 상관관계와$$ 랭귀빈 방정식은 사실상 정확해진다.

랭게빈 방정식의 또 다른 공통적인 특징은 무작위 힘의 상관 함수에서$$ 댐핑 계수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 발생인데, 평형계에서는 아인슈타인 관계의 표현이다.

수학적 측면

엄격히 ${\displaystyle \delta}$ -상관$$ 관련 변동 힘 $){\$는 일반적인 수학적 의미에서 함수가 아니며$$ 파생 $/d$ t ${\mathbf}/dt}$도 이 한계에서 정의되지 않는다$$. 란제빈 방정식이 m v =${\displaystyle {}^v}$ t (${\displaystyle }$- ${\displaystyle \lambda \mathbf{}}$ v${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \eta \mathit{}}$ (${\displaystyle t}$) ${\displaystyle t}$. . ${\displaystyle m\m\mathbf$ {v}$=\int ^{t}\(-\lambda \mathbf$ {v} +{\$boldsymboll)}}}}}}}}}\{\{\{\eta 왼쪽({{\$eta)$dt)$로 $기록$되면 이 문제가 사라진다$.$$}$ 그러므로$$ 미분형식은 시간적분형(time integrity)의 약자에 불과하다. 이 유형의 방정식에 대한 일반적인 수학 용어는 "스토크스틱 미분 방정식"이다.

Langevin 방정식에 대한 또 다른 수학적 모호성이 발생하는데, 이는 ${\displaystyle v\mathit{}}$ ( t${\displaystyle }$)$){\displaystyle {\boldsymbol{v}(t){\boldsymbol{\eta$ 곱셈 노이즈가 시스템에 내재된 경우, 스트라토노비치- 또는 이토 계략(이토 미적분 참조)에 따라 해석하는 것이 동등하게 유효하기 때문에 그 정의가 모호하다. 그럼에도 불구하고 물리적 관찰은 방정식을 조작할 때 후자를 일관되게 적용한다면 해석과는 무관하다. 해석 방식에 따라 미적분학의 상징적 규칙이 다르기 때문에 이것이 필요하다. 소음이 시스템 외부에 있는 경우 적절한 해석은 스트라토노비치(Stratonovich)이다.^[3][4]

일반 랑게빈 방정식

고전 역학에서 일반적인 랭귀빈 방정식의 형식적인 유래가 있다.^[5][6] 이 일반 방정식은 임계 역학 이론과 ^[7]다른 비정형 통계 역학의 영역에서 중심적인 역할을 한다. 위의 브라운 운동 방정식은 특별한 경우다.

파생에서 필수적인 단계는 자유도를 느리고 빠른 범주로 나누는 것이다. 예를 들어 액체의 국소 열역학적 평형은 몇 번의 충돌 시간 내에 도달하지만 질량이나 에너지와 같은 보존된 양의 밀도가 평형까지 이완되려면 훨씬 더 오랜 시간이 걸린다. 그러므로 보존된 양의 밀도, 특히 그 장파장 성분은 느린 가변 후보군이다. 이 중분류는 Zwanzig 프로젝션 운영자와 함께 공식적으로 표현할 수 있다.^[8] 그럼에도 불구하고 그 파생은 엄격한 증거가 결여된 가정에 의존하고, 그 대신 물리적 시스템의 그럴듯한 근사치로만 정당화되기 때문에 수학 물리학 관점에서 완전히 엄격한 것은 아니다.

Let $A{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle A=\{A_{i}\}}}$은(는) 느린 변수를 나타낸다$$. 그런 다음 일반 Langevin 방정식을 읽는다.

${\displaystyle {\frac {dA_{i}}{dt}=k_{B}T\sum \limits _{j}{\left[{{]A_{i},A_{j}}\right]{\frac {{d}{\mathcal {H}}}{dA_{j}}}}-\sum \limits _{j}{\lambda _{i,j}\left(A\right){\frac {d{\mathcal {H}}}{dA_{j}}}+}\sum \limits _{j}{\frac {d{\lambda _{i,j}\left(A\right)}}{dA_{j}}+\eta _{i}\왼쪽(t\오른쪽).}$

변동 힘 ${\displaystyle \mathrm{force}}$ ${\displaystyle i_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$t${\displaystyle }$) ${\$오른쪽$)}$은 상관 함수와 함께 가우스 확률 분포를 따른다$$.

${\displaystyle \left\langle {\eta _{i}\왼쪽(t\right)\eta _{j}\premy }\eta _{j}\lambda _2\lambda _{ni,j}\reft^{\primypright}\langledelpright.}$

This implies the Onsager reciprocity relation ${\displaystyle \lambda _{i,j}=\lambda _{j,i}}$ for the damping coefficients ${\displaystyle \lambda }$. The dependence ${\displaystyle d\lambda _{i,j}/dA_{j}}$ of ${\displaystyle \lambda }$ on ${\displaystyle A}$ 대부분의 경우 무시할 수 있다. The symbol ${\displaystyle {\mathcal {H}}=-\ln \left(p_{0}\right)}$ denotes the Hamiltonian of the system, where ${\displaystyle p_{0}\left(A\right)}$ is the equilibrium probability distribution of the variables ${\displaystyle A}$. Finally, ${\displaystyl$$e [A_{i}},$$A_{j}]}$은(는) 느린 변수 ${\displaystyle A_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 및$$ $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 포아송 브래킷을 느린 변수 공간에$$ 투영하는 것이다$$.

브라운 모션 케이스에서 $H{\displaystyle \mathcal{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$/ (${\displaystyle 2m\mathrm{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $){\$ {$H}=\mathb$ {$p} ^{2}/\좌측(2mk_{B})$이 있을 것이다.$T\right)}$, ${\displaystyle A=\{\mathbf {p} \}}$ or ${\displaystyle A=\{\mathbf {x} ,\mathbf {p} \}}$ and ${\displaystyle [x_{i},p_{j}]=\delta _{i,j}}$. The equation of motion ${\displaystyle d\mathbf {x} /dt=\mathbf {p} /m}$ for $$${\displaystyle \mathbf{x}}$ ${\$정확$$: 변동하는 힘 ${\displaystyle x_{}}$x {\$displaystyle \eta_{$x}} 및 감쇠$$ 계수 $coefficient{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x,}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$\ \$da _{x,p$

예

전기 저항기의 열 소음

위에서 논의한 패러다임 브라운 입자와 저항기의 열변동에 의해 발생하는 전기 전압인 존슨 노이즈 사이에는 밀접한 유사성이 있다.^[9] 오른쪽 다이어그램은 저항 R과 캐패시턴스 C로 구성된 전기 회로를 보여준다. 느린 변수는 저항기 끝 사이의 전압 U이다. 해밀턴인은 $H{\displaystyle \mathcal{}}$= ${\displaystyle E}$/ ${\displaystyle k{}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= C ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$ k ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {H}=E/k_{B}T=CU^{2}/(2k_{B}T$를 읽고 란제빈 방정식이 된다.

${\displaystyle {\frac {dU}=-{\frac {U}{RC}+\eta \left(t\right)\;\\left\langle \eta \left(t^{\premium }\right)\eta \reft({2k_{du_{B})T}{RC^{2}}:\delta \left(t-t^{\premy }\오른쪽).}$

이 방정식은 상관 함수를 결정하는 데 사용될 수 있다.

$\displaystyle \왼쪽\langle U\left(t\오른쪽)U\좌측(t^{\premy }\오른쪽)\우측\랑글 =\좌측(k_{B}T/C\우측)\exp \좌측(-\좌측\vert t-t^{}\premy }\우측\ret /RC\우측)\약 2Rk_{B}T\delta \left(t-t^{\premy }\오른쪽),}$

캐패시턴스 C가 무시할 정도로 작아지면 백색 노이즈(존슨 노이즈)가 된다.

임계 역학

두 번째 순서 위상 전환의$$ 순서 매개 변수 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi$}의 역학관계는 임계점 근처에서 느려지며 랜지빈 방정식으로 설명할 수 있다.^[7] 가장 간단한 경우는 비보정 스칼라 순서 매개변수를 가진 보편성 등급 "모델 A"로, 예를 들어 축방향 페로마네트에서 실현된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\partial \varphi \left(\mathbf{x},t\right)}{\partial지}}&=-\lambda{\frac{\delta{{H\mathcal}}}{\delta \varphi}}+\eta \left(\mathbf{x},t\right),\\{{H\mathcal}}&=\int d^ᆱx\left[{\frac{1}{2}}r_{0}일 경우\varphi ^{2}+u\varphi ^{4}+{\frac{1}{2}}(\nabla \varphi)^{2}\right],\\\left\langle \eta \left(\m.athbf{)}},t\오른쪽)\eta \left(\mathbf {x} ',t'\right)\rigle &=2\mathda \reft(\mathbf {x} -\x} '\right)\reft \reft(t-t'\right).\end{정렬}}}$

다른 보편성 클래스(명칭은 "모델 A",..., "모델 J")에는 확산 순서 매개변수, 여러 구성요소를 가진 순서 매개변수, 다른 임계 변수 및/또는 포아송 괄호로부터의 기여가 포함된다.^[7]

유체 내 조화 발진기

${\displaystyle m{\frac {dt}=-\dt}=-\data v+\eta(t)-kx}$

유체의 입자는 잠재적 에너지함수, 감쇠력, 변동 소산 정리에 의해 주어지는 열변동을 가진 랜지빈 방정식으로 설명된다. 전위가 2차인 경우 상수 에너지 곡선은 그림에서와 같이 타원이다. 소산이 있지만 열 소음이 없는 경우 입자는 환경에 지속적으로 에너지를 잃으며, 시간에 의존하는 위상 초상화(속도 대 위치)는 0속도를 향한 내부 나선에 해당한다. 이와는 대조적으로, 열적 변동은 입자에 에너지를 지속적으로 더하고 그것이 정확히 0 속도에 도달하는 것을 막는다. 오히려 초기 확률적 오실레이터의 앙상블은 맥스웰-볼츠만 분포에 따라 속도와 위치가 분산되는 안정된 상태에 접근한다. 아래 그림(그림 2)에서 고조파 전위($U{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle {2k\mathrm{}}^{}}$ x ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$2}}kx$^{2$의 긴 시간 속도 분포(주황색)와 위치 분포(파란색)를 볼츠만 확률로 표시한다. 특히 늦은 시간 행동은 열평형을 그린다.

자유 브라운 입자의 궤적

다음에 설명된 움직임 방정식과 함께$$ 질량 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$의 자유 입자를 고려하십시오.

${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v}}{dt}=-{\frac {\mathbf {v}}{\mu }+{\mutsymbol {\eta }},}$

where ${\displaystyle \mathbf {v} =d\mathbf {r} /dt}$ is the particle velocity, ${\displaystyle \mu }$ is the particle mobility, and ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}(t)=m\mathbf {a} (t)}$ is a rapidly fluctuating force whose time-average vanishes over a characteristic timescale $$${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$ 입자 충돌, 즉 $\eta {\displaystyle \stackrel{}{\mathit{}}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ {\\displaystyle ${\\\displaysymbol{\\eta}}}}}=0$ 운동 방정식에 대한 일반적인 해결책은

${\displaystyle \mathbf {v}=\mathbf {v}e^{-t/\tau }+\int _{0}^{t}\mathbf {a}(t')e^{-(t-t')/\tau }dt',},}}$

여기서 $\tau {\displaystyle }$= ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \tau =m\mu }$은(는) 소음 항의 상관 시간이다. 또한 입자 속도 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 자기 상관 함수가 다음과$$^[10] 같이 제공됨을 알 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}R_{vv}(t_{1},t_{2})&\equiv \langle \mathbf {v} (t_{1})\cdot \mathbf {v} (t_{2})\rangle \\&=v^{2}(0)e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }+\int _{0}^{t_{1}}\int _{0}^{t_{2}}R_{aa}(t_{1}',t_{2}')e^{-(t_{1}+t_{2}-t_{1}'-t_{2}')/\tau }dt_{1}'dt_{2}'\\&\simeq v^{2}(0)e^{- t_{2}-t_{1} /\tau }+{\bigg [}{\frac {3k_{B}T}{m}}-v^{2}(0){\bigg ]}{\Big [}e^{-{_-t_{1} /\tau }-e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }{\Big ],\end{liged}}}}}}$

where we have used the property that the variables ${\displaystyle \mathbf {a} (t_{1}')}$ and ${\displaystyle \mathbf {a} (t_{2}')}$ become uncorrelated for time separations ${\displaystyle t_{2}'-t_{1}'\gg t_{c}}$. Besides, the value of ${\displaystyle \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}⟨v^2}$${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\langle v^{2}(t)\rangle =\lim _{t\to \infty }R_{vv}(t,t)}$ is set to be equal to ${\displaystyle 3k_{B}T/m}$ such that it obeys the equipartition theorem. If the system is initially at thermal equilibrium already with ${\displaystyle v^{2}(0)=3k_{B}T/m}$, then ${\displaystyle \langle v^{2}(t)\rangle =3k_{B}T/m}$ for all ${\displaystyle t}$, meaning that the system remains at equilibrium at all times.

브라운 입자의 $속도$ v${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathbf {v}(t)}$을(를) 통합하여 $궤적{\displaystyle \mathbf{}}$ r${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathbf {r}(t)}$을(를) 산출할 수 있다$.$ 처음에 확률 1로 원점에 위치했다면 결과는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {v} (0)\tau {\big (}1-e^{-t/\tau }{\big )}+\tau \int _{0}^{t}\mathbf {a} (t'){\Big [}1-e^{-(t-t')/\tau }{\Big ]}dt'.}$

Hence, the average displacement ${\displaystyle \langle \mathbf {r} (t)\rangle =\mathbf {v} (0)\tau {\big (}1-e^{-t/\tau }{\big )}}$ asymptotes to ${\displaystyle \mathbf {v} (0)\tau }$ as the system relaxes. 평균 제곱 변위는 다음과 유사하게 결정될 수 있다.

${\displaystyle \langle r^{2}(t)\rangle =v^{2}(0)\tau ^{2}{\big (}1-e^{-t/\tau }}}^{2}-{\frac {3k_{B}T}{m}}\tau ^{{2} {\big (}1-e^{-t/\tau }{\big )}{\big (}3-e^{-t/\tau }}}}+{\frac {6k_{B}}T}{m}\tau t.}$

This expression implies that ${\displaystyle \langle r^{2}(t\ll \tau )\rangle \simeq v^{2}(0)t^{2}}$, indicating that the motion of Brownian particles at timescales much shorter than the relaxation time ${\displaystyle \tau }$ of the system is (approximately) time-reversal invariant. 한편,${\displaystyle {}^{}}$ r ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gg }$ ${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{k}}$ ${\displaystyle {}_{}\tau }$ ${\displaystyle t}$ /${\displaystyle m}$ = ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ T ${\displaystyle t}$ = 6 d t =$\langle$ r^{2}($t\g \$tau )\$rangle \simeq 6k_{$B}$T\tau t/m=6\mu k_{B}Tt=6Dt$ 되돌릴 수 없는 소멸 프로세스를 나타낸다.

볼츠만 통계 복구

외부 전위가 보수적이고 소음 용어가 열 평형 저장소에서 파생되는 경우, 란제빈 방정식의 장기간 용액은 열 평형 입자의 확률 분포 함수인 볼츠만 분포로 감소해야 한다. 과대감압된 역학의 특수한 경우, 입자의 관성은 감쇠력에 비해 무시할 수 있으며, 궤적 $x{\displaystyle }$( $){\displaystyle x (t)}$는 과대감압된 랭게빈 방정식으로 설명된다$$.

${\displaystyle \lambda {\frac {dx}{dt}=-{\frac {\partial V(x)}{\partial x}\eta(t)\equiv -{\partial v(x)}{\partial x}+{\sqrt{2\lambda k_{B}T}}{dB_{t} \overdt}}$

여기서 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 댐핑 상수입니다. 용어 $\eta {\displaystyle (t}$ ${\displaystyle )}${\$displaystyle \eta$${\displaystyle (}$$t)}$은(는) 백색 노이즈로$$, $⟨({\displaystyle {}^{}{)}^{}\eta (\mathrm{t}}$ ) = ${\displaystyle {2k}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ Δ${\displaystyle (t}$ - ${\displaysty \langle \eta(t)\right\rangle =2k_{B}$$T\lambda \delta (t-t')}($공식적으로는 Wiener 프로세스). 이 방정식을 푸는 한 가지 방법은 $테스트{\displaystyle }$ 함수 f ${\displaystyle f}$를 도입하여 평균을 계산하는$$ 것이다. $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle f(x(t)}$의 평균은 $유한{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ x$(t)}$에 대해 시간 독립적이어야 하며$$$,$ 이 경우

${\d}표시 스타일 {d\좌측\langle f(x(t)\right\rangele }{dt}=0,}$

Itô 표류-확산 프로세스 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ t ${\displaystyle t{}_{}}$ ${\displaystyle t}$ t${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ t ${\displaystyle t_{}}$ t ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$에 대한 itô의 보조자는 두$$ 가지 구별 가능한 함수 f(t,x)의 차이가 주어진다.

${\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.}$

이것을 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle f(x(t)\angle }$의 계산에 적용하면 다음과$$ 같은 결과가 나온다.

${\displaystyle \left\langle -f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}+k_{B}}Tf'(x)\right\rangele =0.}$

이 평균은 $확률밀도함수{\displaystyle }$ p${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle p(x$를 사용하여 작성할 수 있다.

${\displaystyle \int \left(-f'){\frac {\partial V}{\p}p(x)+{k_{B}T}f"(x)(x)p(x)\right)dx=\int \left(-f'){\frac {\prac {\partial v}{\p}p(x)-{k_{B}T'(x)p'\right)dx=0,}$

여기서 두 번째 용어는 부품에 의해 통합되었다(부정 신호에 따라). 이는 임의 $함수{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle f$에 해당하므로 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}p(x)+{k_{B{}T}p'(x)=0,}$

따라서 볼츠만 분포 복구

${\displaystyle p(x)\propto \exp \left({-{\frac {V(x)}{k_{B}T}}\오른쪽).}$

등가 기법

어떤 상황에서는 특정 소음의 실현을 위한 해결책과는 달리 주로 랜지빈 방정식의 소음 평균 행동에 관심이 있다. 이 절에서는 란제빈 방정식에 내재된 확률적 미적분학과는 구별되지만 이와 동등한 평균적 행동을 얻기 위한 기법을 설명한다.

포커-플랑크 방정식

Fokker-Planck 방정식은 확률 변수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 시간 의존 확률 $밀도{\displaystyle }$ P${\displaystyle (A}$, ${\displaystyle t}$) ${\$에 대한 결정론적 방정식이다$.$ 이 글에서 설명하는 일반 랑게빈 방정식에 해당하는 Fokker-Planck 방정식은 다음과 같다.^[11]

${\displaystyle {\frac {\partial P\left(A,t\오른쪽)}{\partial t}=\sum_{i,j}{\partial A_{i}}}\partial A_}\좌(-k_{B})T\왼쪽[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{j}}}\right)P\왼쪽(A,t\오른쪽)}$

${\displaystyle \mathrm{평형}}$ 분포 $P{\displaystyle }$(${\displaystyle }$A )${\displaystyle }$= p ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{constal}}$× ${\displaystyle \exp (}$( - ${\displaystyle H}$)$${\$displaystyle P(A)=p_{0}(A)={\text{honst}}\time \exp(-{\mathcal{H})}}}}}}}$은 고정용액이다$$.

클라인-크레이머 방정식

밑댐핑된 브라운 입자에 대한 Fokker-Planck 방정식을 클라인-Kramers 방정식이라고 부른다.^[12][13] Langevin 방정식이 다음과 같이 쓰여진 경우

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\frac {\mathbf {p} }{m}}\\{\dot {\mathbf {p} }}&=-\xi \,\mathbf {p} -\nabla V(\mathbf {r} )+{\sqrt {2m\xi k_{\mathrm {B} }T}}{\boldsymbol {\eta }}(t),\qquad \langle {\boldsymbol {\eta }}^{\mathrm {T} }(t){\boldsymbol {\eta }}(t')\rangle =\mathbf {I} \delta (t-t')\end{aligned}}}$

여기서 $p{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은$($는) 모멘텀이고, 해당하는 Fokker-Plank 방정식은

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\mathbf {p} \cdot \nabla _{\mathbf {r} }f=\xi \nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\mathbf {p} \,f\right)+\nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\nabla V(\mathbf {r} )\,f\right)+m\xi k_{\mathrm {B} }T\,\nabla _{\mathbf {p} }^{2}f}$

여기서 $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {r\mathbf{}}_{}}$ ${\$${r$$}}}}$과(와) $∇$$$ {\$displaystyle$\$nabla _${\$mathbf {}{}{}^{p}}}}$는 p에$$ 대한 라플라시안이다.

$R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ $\$mathbb ${R} ^{d}$의 $V{\displaystyle }$( ${\displaystyle r\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{상수}}$ ${\$에 해당하는 d ${\daystyle$ $\mathb$ {R} ^{d}에서$$ 이 방정식을 푸리에 변환을 사용하여 해결할 수 있다$.$ If the particle is initialized at ${\displaystyle t=0}$ with position ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ and momentum ${\displaystyle \mathbf {p} '}$, corresponding to initial condition ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,0)=\delta (\mat$$hbf {r}$ -$\mathbf {r}'\mathbf {p} -\mathbf {p$ 그러면 해결책은^[13][14]

${\displaystyle {\begin}f(\mathbf {r},\mathbf {p},t)={\frac {1}{1}{\pi \sigma_{X}\sigma _{P}{P}{1-\beta ^}}\right)^{d}}}\exp \left[-{\frac {1}{2(1-\beta ^{2})}}\left({\frac { \mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X} ^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac { \mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P} ^{2}}{\sigma _{P}^{2}}}-{\frac {2\beta (\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X})\cdot (\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P})}{\sigma _{X}\sigma _{P}}}\right)\right]\end{aligned}}}$

어디에

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma _{X}^{2}={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m\xi ^{2}}}\left[1+2\xi t-\left(2-e^{-\xi t}\right)^{2}\right];\qquad \sigma _{P}^{2}=mk_{\mathrm {B} }T\left(1-e^{-2\xi t}\right)\&\beta ={\frac {k_{B}T}{\xi \sigma _{X}\sigma _{P}}}\left(1-e^{-\xi t}\right)^{2}\\&{\boldsymbol {\mu }}_{X}=\mathbf {r} '+(m\xi )^{-1}\left(1-e^{-\xi t}\right)\mathbf {p} ';\qquad {\boldsymbol {\mu }}_{P}=\mathbf {p} 'e^{-\xi t}.\end{정렬}}}$

3차원에서 평균 제곱 변위는

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {r} (t)^{2}\rangle &=\int f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} ^{2}\,d\mathbf {r} d\mathbf {p} \\&={\boldsymbol {\mu }}_{X}^{2}+3\sigma _{X}^{2}\end{aligned}}}$

경로 적분

Langevin 방정식과 동등한 경로 적분은 해당하는 Fokker-Plank 방정식을 통해 얻을 수 있으며, 또는 변동하는 힘 $force$의 가우스 확률 분포 $P{\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle {\eta }^{}}$ ) (${\displaystyle {}^{}\eta }$) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\daystyle$ P$^{(\eta )}(\$$eta$$)d\$$eta }}}$을(으$)$를 느린 변수의 확률 분포로$$ 변환하여 얻을 수 있다. schematically ${\displaystyle P(A)dA=P^{(\eta )}(\eta (A))\det(d\eta /dA)dA}$. The functional determinant and associated mathematical subtleties drop out if the Langevin equation is discretized in the natural (causal) way, where ${\displaystyle A(t+\Del$$ta)-A(t)}$은(는) $A{\displaystyle (}$ t${\displaystyle }$) ${\displaystyle A(t)}$에 의존하지만$$ A(${\displaystyle \mathrm{t<img\; alt="A(t)"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0c0905fbce73d8bde912fb882c351e336ab56cca"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:4.392ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="312">}}$ +$$ ${\displaystyle t}$) {\$displaystyle A(t+\Delta$ t$)}$에는 의존하지 않는다$.$ 보조 응답 변수 $~{\$를 도입하는 것이 편리하다는 것이 판명되었다$.$ 그 다음 일반 랜지빈 방정식과 동등한 경로 적분을 읽는다.

${\displaystyle \int P(A,{\tilde{A}})\,dA\,d{\tilde{A}=N\int \exp \left(L(A,{\tilde {A})\right)dA\,d{\tilde},},}$

여기서 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$은(는) 정규화 요인이고

${\displaystyle L(A,{\tilde {A}})=\int \sum _{i,j}\left\{{\tilde {A}}_{i}\lambda _{i,j}{\tilde {A}}_{j}-{\widetilde {A}}_{i}\left\{\delta _{i,j}{\frac {dA_{j}}{dt}}-k_{B}T\왼쪽[A_{i},A_{j}\오른쪽]{\frac {d{\mathcal{H}}{dA_{j}}+\lambda _{i,j}{d}{d}{d}{\mathcal{H}}}-{dA_}-{d_{d\lambda _{i,j}}}{d}{d}{d}{d}}}}{d}}{d}{d}{d}{d}{d}}}{d}{d}}}{d}{d}{d}}}A_{j}}\right\}\right\}\right\}dt.}$

경로 적분 제형은 섭동 및 중성화 그룹 방법과 같은 양자장 이론의 도구를 사용할 수 있다.

참고 항목

• 랜지빈 역학
• 확률형 열역학

참조

추가 읽기

• W. T. Coffey(트리니티 칼리지, 아일랜드 더블린)와 Yu P. Kalmykov(프랑스 퍼피냥, 프랑스 유니버시아드, 랭귀빈 방정식: 물리학, 화학, 전기 공학에서의 확률론적 문제에 대한 적용 (제3판), 현대 화학 물리학의 세계 과학 시리즈 - 제27권.
• 레이프, F. 1965년 맥그로우 힐 뉴욕, 통계 및 열물리학의 기초. 섹션 15.5 Langevin 방정식을 참조하십시오.
• R. Friedrich, J. Peinke, Ch. 레너. 외환시장 통계에 미치는 결정론적 영향과 무작위적 영향을 수량화하는 방법, 물리적. 레트 84, 5224 - 5227(2000년)
• L.C.G. 로저스와 D. 윌리엄스 확산, 마르코프 프로세스 및 마팅갈레스, 캠브리지 수학 라이브러리, 캠브리지 대학 출판부, 캠브리지, 캠브리지, 2차(1994)판, 2000년판 재인쇄.