크로네커-베버 정리

대수적 수론에서, 모든 사이클로토믹 필드는 유리수 필드 Q의 아벨 확장이며$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ ${\displaystyle n\mathbb{}}$ Z${\displaystyle ){}^{}}$× ${\$/ $n\mathbb {Z})^{\times}$ 형태의 갈루아 군을 가지고 있음을 보여줍니다$.$ 크로네커-베버 정리는 부분적인 역방향을 제공합니다: Q의 모든 유한 아벨 확장은 일부 사이클로토믹 장 내에 포함됩니다. 즉, 갈루아군이 아벨리안인 모든 대수적 정수는 유리 계수를 갖는 통일성의 근의 합으로 표현될 수 있습니다. 예를들면,

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5},}$ ${\displaystyle {\sqrt {-3}}=e^{2\pi i/3}-e^{4\pi i/3},}$ and ${\displaystyle \sqrt{3}=e^{\pi i/6}-e^{5\pi i/6}.}$${\displaystyle {\sqrt {3}}=e^{\pi i/6}-e^{5\pi i/6}.$$}$

이 정리는 레오폴드 크로네커와 하인리히 마르틴 베버의 이름을 따서 지어졌습니다.

현장이론식

크로네커-베버 정리는 필드와 필드 확장의 관점에서 진술될 수 있습니다. 정확히 말하면, 크로네커-베버 정리는 유리수 Q의 모든 유한 아벨 확장은 순환론장의 부분장입니다. 즉, 대수적 숫자장이 Q 위의 갈루아 군(Abelian group)을 가질 때마다, 그 필드는 유리수들에 대한 통일성의 근을 인접시킴으로써 얻어지는 필드의 부분 필드입니다.

주어진 Q의 아벨 확장 K에 대하여, 그것을 포함하는 최소 사이클로토믹 장이 존재합니다. 이 정리를 통해 K의 전도체를 최소 정수 n으로 정의할 수 있으므로 K는 n번째 합근에 의해 생성된 장 안에 놓입니다. 예를 들어, 2차 필드는 클래스 필드 이론에서 일반화된 사실인 판별의 절대값을 도체로 가지고 있습니다.

역사

이 정리는 크로네커(1853)에 의해 처음 언급되었지만, 그의 주장은 2의 거듭제곱의 확장에 대해 완전하지 않았습니다. 베버(Weber, 1886)는 증명을 발표했지만, 이는 노이만(Neumann, 1981)에 의해 지적되고 수정된 약간의 간극과 오류가 있었습니다. 최초의 완전한 증명은 힐베르트(Hilbert, 1896)에 의해 이루어졌습니다.

일반화

루빈과 테이트(1965, 1966)는 국소적 크로네커-베버 정리를 증명했는데, 이 정리는 국소적 장의 임의의 아벨 확장은 원환체 확장과 루빈-확장명을 지정합니다. 헤이즈윙켈(1975), 로젠(1981), 루빈(1981)은 다른 증거를 제시했습니다.

힐베르트의 12번째 문제는 크로네커-베버 정리를 유리수가 아닌 다른 분야의 기초로 일반화할 것을 요구하고, 그 분야에 대한 통일의 근의 유사성을 요구합니다. 클래스 필드 이론은 아벨 확장에 대한 다른 접근법을 제공합니다.

참고문헌

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외부 링크