시무라 품종

수론에서, 시무라 품종은 Q 위에 정의된 환원 대수군의 합동 부분군에 의해 에르미트 대칭 공간의 몫 다양성으로 발생하는 모듈러 곡선의 고차원 유사체이다.시무라 품종은 대수적 품종이 아니라 대수적 품종이다.시무라 곡선은 1차원 시무라 품종입니다.힐베르트 모듈러 표면과 시겔 모듈러 품종은 시무라 품종의 가장 잘 알려진 클래스 중 하나입니다.

시무라 고로의 복소수 곱셈 이론의 일반화 과정에서 시무라 고로 품종의 특수한 예가 소개되었다.시무라씨는 당초 해석적으로 정의되었지만, 시무라종의 반사장인 숫자장에 대해 정의된 모델을 인정한다는 의미에서 산술적 대상이라는 것을 보여주었다.1970년대에 피에르 들랭은 시무라 작품의 자명한 틀을 만들었다.1979년, 로버트 랭글랜즈는 시무라 품종이 랭글랜즈 프로그램에서 가정한 동기적 기능과 자동적 L 기능 사이의 동등성을 시험할 수 있는 자연적인 예시를 형성한다고 언급했다.시무라 품종의 코호몰로지로 실현된 자기형태는 일반 자기형태보다 연구하기 쉽고, 특히 ^[1]갈로아 표현을 붙이는 구조가 있다.

정의.

시무라 데이텀

S = Res_C/Rm G를 복소수에서 실수까지의 곱셈기의 Weil 제한이라고 하자.R점군 S(R)는^* C, C점군은 C×C인^** 실대수군이다.시무라 데이텀은 유리수의 필드 Q에 걸쳐 정의된 (연결된) 환원 대수군 G와 다음 공리를 만족하는 동형사상 h: S → G의_R G(R)-공역 클래스 X로 이루어진 쌍(G, X)이다.

• X의 모든 h에 대해, g에서_C 가중치(0,0), (1,-1), (-1,1)만 발생할 수 있다. 즉, G의 복잡한 Lie 대수는 직합으로 분해된다.

${{displaystyle {mathfrak {g}}\otimes {c}=mathfrak {k}\oplus {mathfrak {p}^+}\oplus {mathfrak {p}^{-}}}$

여기서 임의의 z s S에 대해 h(z)는 첫 번째 summand와 z${\$ {\$bar$ {z}}($$$각각$ $z{\displaystyle \stackrel{}{}}$$bar$/ z ${\$displaystyle ${z}/z$를 $통해{\displaystyle }$ 두 번째 summand와 z$$ / ${\displaystyle z}$ {\$displaystyle$ {z}/${\displaystyle z\stackrel{}{}}$$}$를 통해 3차적으로 작용한다.

• h(i)의 인접 액션은 G의 인접_R 그룹에서 Cartan 변환을 유도합니다.
• G의 인접_R 그룹은 H에 대한 h의 투영이 사소한 Q에 대해 정의된 요인 H를 인정하지 않습니다.

이러한 공리에서 X는 모든 표현에_R 대해 G → GL(V)에 대해 호지 구조의 정형군이며, 더욱이 호지 구조의 변이를 형성하고, X는 대칭 은둔 영역의 유한 불연속 결합인 복잡한 다양체의 고유한 구조를 가지고 있다는 것을 알 수 있다.

시무라 품종

A를 Q의 유한 아델의 고리라고 하자_ƒ.G(A_ƒ)의 충분히 작은 콤팩트 오픈 부분군 K에 대하여, 이중 코세트 공간

$\displaystyle Sh_{K}(G,X)=G(\mathbb {Q})\backslash X\times G(\mathbb {A} _{f})/K}$

is a finite disjoint union of locally symmetric varieties of the form ${\displaystyle \Gamma _{i}\backslash X^{+}}$, where the plus superscript indicates a connected component.다양성_K Sh(G,X)는 복소수 다양성으로 충분히 작은 콤팩트 열린 부분군 K에 대해 역계를 형성한다.이 역계

$(\displaystyle(Sh_{K}(G,X))_{K})$

G(A_ƒ)의 당연한 권리행동을 허용한다.시무라 데이텀(G, X)과 관련된 시무라 품종이라고 불리며, Sh(G, X)로 표기된다.

역사

특수 유형의 은둔 대칭 영역과 일치 부분군의 경우, 1960년대에 Goro Shimura의 일련의 논문에서 δ \ X = Sh_K(G,X) 형태의 대수적 다양성과 그 콤팩트화가 도입되었다.후에 그의 논문으로 제시된 시무라 씨의 접근법은 대체로 현상학적이었고, 복잡한 곱셈 이론의 상호 법칙 공식의 가장 광범위한 일반화를 추구했다.돌이켜보면, 「시무라 버라이어티」라고 하는 이름은, 델리그네가 시무라 이론의 역할을 하는 추상적인 특징을 분리하기 위해서 도입한 것입니다.Deligne의 공식에서 Shimura 품종은 특정 유형의 Hodge 구조의 매개변수 공간입니다.따라서 수평구조를 가진 타원곡선의 모듈리 공간으로 보이는 모듈러 곡선의 자연스러운 고차원 일반화를 형성한다.많은 경우, 시무라 품종이 해결 방법인 모듈리 문제도 확인되었다.

예

F를 완전 실수장, D를 F 위의 4분할 대수라고 하자.곱셈군^× D는 규범적인 시무라 품종을 낳는다.차원 d는 D가 분할되는 무한 장소의 수입니다.특히 d = 1이면(예를 들어 F = Q, D r R m₂ M(R)), 충분히 작은^× 산술 부분군 D를 고정하면 시무라 곡선을 얻을 수 있으며, 이 구조에서 발생하는 곡선은 이미 콤팩트(예: 투영)하다.

명시적으로 알려진 방정식을 사용한 시무라 곡선의 예는 낮은 속성의 후르비츠 곡선에 의해 제시된다.

• 클라인 4진수(일반 3)
• 맥비트 표면(일반 7)
• 첫 번째 후르비츠 삼중주 (제14호)

7도 ^[2]페르마 곡선에 의한 것입니다.

시무라 품종의 다른 예로는 피카르 모듈러 표면과 힐베르트-블루멘탈 품종으로 알려진 힐베르트 모듈러 표면이 있습니다.

표준 모델 및 특수 사항

각 시무라 품종은 리플렉스 필드라고 불리는 정준수 필드 E에 걸쳐 정의할 수 있다.시무라에 의한 이 중요한 결과는 선험적으로 복소다양체인 시무라 품종이 대수적 정의장을 가지고 있기 때문에 산술적 의미가 있음을 보여준다.그것은 산술적으로 정의된 특정 특수점에 의해 중요한 역할을 하는 상호 법칙의 공식화에서 출발점을 형성한다.

시무라 품종의 특수점 집합의 자리스키 폐쇄의 질적 특성은 앙드레-오르트 추측으로 설명된다.이 추측에 대한 조건부 결과는 일반화 리만 ^[3]가설을 가정하여 얻어졌다.

Langlands 프로그램에서의 역할

시무라 품종은 랭글랜드 프로그램에서 뛰어난 역할을 하고 있다.시제품 정리인 아이클러-시무라 합동관계는 모듈러 곡선의 하세-바일 제타 함수가 무게 2의 모듈러 형태와 관련된 L-함수의 산물임을 암시한다.실제로 시무라 고로가 그의 품종을 도입하고 그의 상호 법칙을 증명한 것은 이 정리의 일반화 과정이었다.아이클러, 시무라₂, 쿠가, 사토, 이하라에 의해 다른 수장에 대한 군 GL과 그 내부 형태(즉, 4분위 대수의 곱셈군)에 관련된 시무라 품종의 제타 함수를 연구하였다.그 결과에 기초하여, 로버트 랭글랜즈는 숫자 필드에 대해 정의된 모든 대수적 품종 W의 하세-바일 제타 함수는 자기동형 L 함수의 양의 곱과 음의 곱, 즉 자기동형 ^[1]표현의 집합에서 생겨날 것이라고 예측했다.아무리 철학적으로 당연하다고 해도 W가 시무라 ^[4]품종일 때만 증명된 것이다.Langlands의 표현:

시무라 품종과 관련된 모든 L-함수, 즉 시무라 품종에 의해 정의된 모든 동기에 대해 [1970년 논문]의 자기동형 L-함수로 표현될 수 있음을 보여주는 것은 모든 동기적 L-함수가 그러한 L-함수와 동일하다는 것을 보여주는 것보다 더 약하고 심지어 훨씬 약하다.게다가 보다 강력한 기술이 유효할 것으로 기대되지만, 내가 아는 한, 모든 동기부여의 L-함수가 시무라 ^[5]품종에 부가될 것이라고 기대할 만한 설득력 있는 이유는 없다.

메모들

레퍼런스