국소 제타 함수

수 이론에서 국소 제타 함수 Z(V, s) (일종의 합체 제타 함수라고도 함)는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle Z(V,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\inflit }{\frac{N_}}}}{m^{-s}}}}{m}^{m}\right)}$

여기서 V는 q 원소를 가진 필드 F에_q 대한 비-노수 n차원 투영 대수적 다양성이고, N은_m F의_q 유한장 확장 F에_q^m 대해 정의된 V 지점 수입니다.변수 변환 u = q^−s, 제공

${\displaystyle {\mathit{Z}(V,u)=\exp \left(\sum _{m=1}^{n_{m}{\fract{u^{m}}}{m}\오른쪽)}$

변수 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$의 공식 파워 시리즈로$$.

동등하게 국소 제타 함수는 때때로 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle(1)\ \\mathit {Z}(V,0)=1\,}$

${\displaystyle (2)\\{du}}\log {\mathitt{Z}(V,u)=\sum _{m=1}^{n_{m-1}\}$

즉, 유한장 F에_q 계수가 있는 국소 제타함수 Z(V, u)는 로그파생물이 도 m 확장자 F에서_q^m V를 정의하는 방정식의 해법 숫자_m N을 생성하는 함수로 정의된다.null

공식화

한정된 필드 F를 주어, 이소모르프까지, 오직 하나의 필드_k F를 가지고 있다.

${\$$F]=k$

k = 1, 2, ... F에 대해 정의된 일련의 다항식 - 또는 대수적 다양성 V -을 고려할 때, 우리는 숫자를 셀 수 있다.

${\displaystyle N_{k}\,}$

F의_k 솔루션과 생성 함수를 생성한다.

${\$$N_{1}t+N_{2}t^{2}/2+N_{3}t^{3}/3+\cdots \,}$.

Z(t)에 대한 올바른 정의는 로그 Z를 G와 동일하게 설정하는 것이므로

$[\displaystyle Z=\exp(G(t)\,},}$

및 Z(0) = 1, G(0) = 0, Z(t)는 형식적인 파워 시리즈에 선행하므로null

로그파생상품

$[\displaystyle Z'(t)/Z(t)\,}$

생성함수와 동일함수

${\displaystyle G^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= N ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$+ N ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$ ${\$}{3}t^{2}+{2}+{2}t^{2$}+\cdots$ $\backslash ,\}.$

예

예를 들어, 모든 N이_k 1이라고 가정해 보십시오. 예를 들어 X = 0과 같은 방정식으로 시작하여 기하학적으로 V를 포인트로 삼을 경우,그러면.

$[\displaystyle G(t)=-\log(1-t)}$

로그의 확장이다(t < 1의 경우).이 경우 우리는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)}\ .}$

좀 더 흥미로운 것을 얻기 위해, V를 F보다 투사적인 라인으로 삼아라.F에 q 원소가 있으면 무한대의 1점을 포함하여 q + 1점이 있다.그러므로, 우리는

${\displaystyle N_{k}=q^{k}+1}$

그리고

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)}$

충분히 작아서, 그래서.

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}\ .}$

이러한 기능에 대한 첫 번째 연구는 1923년 에밀 아르틴의 논문이었다.그는 과대망상곡선의 경우에 대한 결과를 얻었고, 곡선에 적용되는 이론의 추가 요점을 추측했다.그 후 F. K. 슈미트와 헬무트 하세가 이 이론을 발전시켰다.^[1]지방 제타 함수의 가장 초기의 알려진 비종교적 사례는 칼 프리드리히 가우스의 <산수> 제358조에 내포되어 있었다.거기서, 복합 곱셈이 있는 유한한 분야에 걸친 타원곡선의 특정한 예들은 그 점들을 사이클 절개법으로 계산한다.^[2]null

정의 및 일부 예는 을 참조하십시오.^[3]null

동기부여

G와 Z의 정의 사이의 관계는 여러 가지 방법으로 설명할 수 있다.(예: 아래 Z에 대한 무한 제품 공식을 참조하십시오.)실제로 그것은 Z를 t의 합리적인 함수, 즉 V의 경우에도 흥미 있는 것으로 한정된 영역에 대한 타원곡선을 만든다.null

글로벌 제타 기능을 얻기 위해 곱하기 위해 고안된 것은 Z 기능이다.여기에는 서로 다른 한정된 필드(예: p가 모든 소수에서 실행되는 필드 Z/pZ의 전체 제품군)가 포함된다.그 연결에서 변수 t는 p로^−s 대체된다. 여기서 s는 전통적으로 디리클레 시리즈에서 사용되는 복합 변수다. (자세한 내용은 Hasse-Weil zeta 함수 참조)null

그러한 이해와 함께 사례로 사용된 두 사례에서 Z의 제품은 $\zeta {\displaystyle }$( ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle \zeta (s)}$과 ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle s}$- $)${\$displaystyle \zeta (s)\zeta (s-1)$로 나온다$.$

유한 필드에 걸친 곡선에 대한 리만 가설

비노래형인 투영 곡선 C over F의 경우 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle Z(t)={\frac {P(t)}{{(1-t)(1-qt)}}\,}$

p(t)를 p(t)로 하고, 여기서 g는 c의 속이다.재작성

${\displaystyle P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\,}$

유한장 상태에 걸친 곡선에 대한 리만 가설

${\displaystyle \omega_{i} =q^{1/2}\ .}$

예를 들어 타원곡선의 경우 뿌리가 두 개인데 뿌리의 절대값이 q라는^1/2 것을 쉽게 알 수 있다.Hasse의 정리는 그들이 같은 절대값을 가지고 있다는 것이다; 그리고 이것은 포인트 수에 즉각적인 결과를 가져온다.null

안드레 웨일은 1940년경 일반 사례에 대해 이것을 증명했다(Competes Rendus note, 1940년 4월). 그는 관련된 대수 기하학을 작성한 후 수년 동안 많은 시간을 보냈다.이것이 그를 웨일 장군의 추측으로 이끌었다.알렉산더 그로텐디크는 이것들을 해결하기 위해 계획 이론을 개발했다.한 세대 후 피에르 들랭은 그 증거를 완성했다.(일반 이론의 기본 공식은 Etal cohomology를null

제타 함수에 대한 일반 공식

그것은 프로베니우스 형태론에 대한 렙체츠 미량 공식의 결과물이다.

${\displaystyle Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q} H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.}$

한정된 형식의 유한 체 F에 q{\displaystyle q}요소로 X{X\displaystyle}은 별거 중인 음모, Frobq 기하학적 프로베니우스ℓ{\displaystyle \ell}-adicétale cohomology에서 X의 소형 지원({\displaystyle{\overline{X}}}, X{X\displaystyle}의 리프트와 함께 행동하고 있다.F 필드의 대수학적 폐쇄까지.이는 제타 함수가 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$의 합리적인 함수임을 보여준다$.$

Z${\displaystyle (X}$, t${\displaystyle }$) ${\displaystyle Z(X,t)}$에 대한 무한 제품 공식은$$

${\displaystyle Z(X,t)=\prod \(1-t^{\deg(x)}^{-1}.}$

여기서 X의 모든 닫힌 지점 x와 deg(x)의 범위가 x의 수준이다.로컬 제타 함수 Z(X, t)는 변수 q의^−s 변화를 통해 복합 변수 s의 함수로 간주된다.

X가 위에서 논의한 품종 V인 경우 닫힌 지점은 ${{\${\$overline{V}}$의 P 지점의 동등 등급 x=[P]이며$,$ 여기서 두 지점은 F를 합친 경우 동등하다.x의 정도는 P의 좌표에 의해 생성된 F의 필드 확장 정도를 말한다.무한상품 Z(X, t)의 로그파생물은 위에서 논의한 생성함수, 즉, 생성함수라고 쉽게 볼 수 있다.

${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ 2 ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ 3 ${\displaystyle {t\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$ ${\$1}+{2}t^{$1}+N_{3}t^{$2}+{$2}+\cdots$ $\backslash ,\}.$

참고 항목

• 제타 함수 목록
• 웨일 추측
• 타원곡선

참조