대수적으로 닫힌 장

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수학에서 F[x](F에 계수가 있는 일변수 다항식 링)의 모든 비정수 다항식이 F에 루트를 갖는 경우 필드 F는 대수적으로 닫힌다.null

예

예를 들어, 다항식 x² + 1 = 0은 모든 계수(1과 0)가 진짜임에도 불구하고 실제 숫자로 해법이 없기 때문에 실수의 필드는 대수적으로 닫히지 않는다.같은 주장은 실제 영역의 하위 영역이 대수적으로 닫히지 않는다는 것을 증명한다; 특히 합리적 수의 분야는 대수적으로 닫히지 않는다.또한 a₁, a₂, ...가 F의_n 요소라면 다항식(x - a₁₂) ⋯(x - a_n) + 1은 F에 0이 없기 때문에 유한장 F는 대수적으로 닫히지 않는다.대조적으로, 대수학의 근본적인 정리는 복잡한 숫자의 장은 대수적으로 닫힌다고 말한다.대수적으로 폐쇄된 분야의 또 다른 예는 (복잡한) 대수적 숫자의 분야다.null

등가 속성

필드 F에 대해 "F는 대수적으로 닫힌다"는 주장은 다른 주장과 동일하다.

수정 불가능한 유일한 다항식들은 학위 1의 그것들이다.

다항 링 F[x]에서 수정 불가능한 다항식만 1도일 경우에만 F 필드가 대수적으로 닫힌다.null

"1급 다항식은 수정할 수 없다"는 주장은 어느 분야에서나 사소한 사실이다.만약 F가 대수적으로 닫히고 p(x)가 F[x]의 불가역 다항식이라면, 그것은 약간의 루트 a를 가지고 있고, 따라서 p(x)는 x - a의 배수가 된다.p(x)는 수정할 수 없으므로, 일부 k에 대한 p(x) = k(x - a)를 의미한다.반면에 F가 대수적으로 닫히지 않으면 F[x]에 뿌리가 없는 일정하지 않은 다항 p(x)가 있다.q(x)를 p(x)의 어떤 돌이킬 수 없는 요소가 되게 하라.p(x)는 F에 뿌리가 없기 때문에 q(x)도 F에 뿌리가 없다.따라서 q(x)는 1도 다항식마다 F에 하나의 루트가 있기 때문에 1도보다 큰 정도를 가진다.null

모든 다항식은 1도 다항식의 산물이다.

계수가 F인 n coefficients 1의 모든 다항식 p(x)가 선형 인자로 분할되는 경우에만 F 필드가 대수적으로 닫힌다.즉 f(x) = k(x - x)(x₂₂ - x) x₁(x - x) ⋯(x - x) x_n(x - x) x(x - x) 필드 F의 원소 k, x₁, ... x가_n 있다.null

F가 이 속성을 가지고 있다면 F[x]의 모든 비정규 다항식은 F에 어느 정도 뿌리를 두고, 다시 말하면 F는 대수적으로 닫힌다.한편, F가 대수적으로 폐쇄된 경우 여기서 언급된 속성은 이전 속성에서 F를 유지한다는 사실과 K[x]의 어떤 다항식도 불가역 다항식의 산물로 작성할 수 있다는 사실을 함께 따른다.null

소수 다항식에는 뿌리가 있다.

만약 모든 다항식이 F에 뿌리를 둔다면, 모든 불변 다항식은 F에 뿌리를 두고 있다.^[1]F prime diague 이상의 모든 다항식이 F에 뿌리를 둔 경우에만 필드가 대수적으로 닫힌다는 것을 따른다.null

그 분야는 적절한 대수적 확장이 없다.

필드 F는 적절한 대수적 확장이 없는 경우에만 대수적으로 닫힌다.null

F가 적절한 대수적 확장이 없는 경우, p(x)를 F[x]의 어떤 수정 불가능한 다항식으로 두십시오.그렇다면 p(x)에 의해 생성된 이상 F[x] 모듈로의 몫은 p(x)의 정도와 동일한 F의 대수적 확장이다.적절한 연장이 아니기 때문에 학위는 1이고 따라서 p(x)의 학위는 1이다.

반면에 F가 어느 정도 적절한 대수적 확장자 K를 가지고 있다면 K \ F에 있는 원소의 최소 다항식은 되돌릴 수 없고 그 정도는 1보다 크다.

그 장은 적절한 유한한 확장이 없다.

필드 F는 적절한 유한연장이 없는 경우에만 대수적으로 닫힌다. 이전 증명 내에서 "알제브라질 확장"이라는 용어가 "완료연장"이라는 용어로 대체된다면, 그 증거는 여전히 유효하기 때문이다.(한정확장은 반드시 대수학이라는 점에 유의하십시오.)null

F의ⁿ 모든 내형성에는 약간의 고유 벡터가 있다.

각 자연수 n에 대해 F에서 그 자체로의ⁿ 모든 선형 지도에 고유 벡터가 있는 경우에만 필드 F가 대수적으로 닫힌다.null

F의ⁿ 내형성은 그것의 특징적인 다항식이 약간의 뿌리를 가지고 있는 경우에만 고유 벡터를 가지고 있다.따라서 F가 대수적으로 닫힐 때 F의ⁿ 모든 내형성은 어느 정도의 고유 벡터를 가지고 있다.한편 F의ⁿ 모든 내형성이 고유벡터를 가지고 있다면 p(x)를 F[x]의 요소가 되게 한다.선행 계수로 나누면 p(x)에 루트가 있는 경우에만 루트가 있는 또 다른 다항식 q(x)를 얻는다.그러나 q(x) = xⁿ + ax_{n − 1}^{n − 1}+ ⋯ + a이면₀ q(x)는 n×n 동반 행렬의 특성 다항식이다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

합리적인 표현식의 분해

한 변수 x의 모든 합리적 함수가 F에 계수가 있는 한 변수 x의 모든 합리적 함수를 a/(x - b)ⁿ 형식의 합리적인 함수를 가진 다항함수의 합으로 기록할 수 있는 경우에만 필드 F는 대수적으로 닫힌다. 여기서 n은 자연수이고 a와 b는 F의 요소다.

만약 F가 대수적으로 닫힌다면, F[x]의 수정 불가능한 다항식은 모두 1도이므로, 위에서 설명한 속성은 부분분수분해 정리에 의해 유지된다.null

반면에, 위에 언급된 속성이 필드 F를 유지한다고 가정한다.p(x)를 F[x]에서 수정할 수 없는 요소가 되게 한다.그러면 합리적인 함수 1/p는 a/(x – b) 형식의 합리적인 함수를 갖는 다항 함수 q의 합으로 기록할 수 있다.ⁿ그러므로 이성적인 표현은

${\displaystyle {\frac {1}{p(x)}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}}}$

분모가 1도 다항식의 산물인 두 다항식의 인수로 쓸 수 있다.p(x)는 수정할 수 없기 때문에 이 제품을 분할해야 하며, 따라서 1도 다항식이어야 한다.null

비교적 주요 다항식 및 뿌리

어떤 필드 F에서든, 두 다항식 p(x),q(x) ∈ F[x]가 비교적 primary이면 공통 루트가 없다. ∈ F가 공통 루트라면 p(x)와 q(x)는 둘 다 x - a의 배수가 되므로 상대적으로 primary가 아니다.역 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적 함축적(즉, 두 다항식의 공통 근이 없을 때마다 상대적으로 원시적)은 정확하게 대수적으로 닫힌 장이다.null

필드 F가 대수적으로 닫힌 경우, p(x)와 q(x)를 상대적으로 원시적이지 않은 두 다항식이 되게 하고 r(x)를 최대 공통점자가 되게 한다.그러면 r(x)가 일정하지 않기 때문에 어느 정도 루트 a를 갖게 되고, 그 다음에는 p(x)와 q(x)의 공통 루트가 된다.null

F가 대수적으로 닫히지 않으면 p(x)가 루트가 없는 최소 1인 다항식이 되도록 한다.그러면 p(x)와 p(x)는 비교적 원수는 아니지만, 공통의 뿌리가 없다(아무도 뿌리를 가지고 있지 않기 때문이다).null

기타 속성

만약 F와 n은 자연수는 대수적으로 닫힌 분야는(정의에 의해)은 다항 xn의 n(반드시 뚜렷한)0− 1. 연장 통합의 뿌리에 의해 생성된에 포함되어 있는 들판 있는 모양체근 절개술의 신전이고 필드의 연장 gener기 때문에 이, F, 통합의 모든 n번째 뿌리가 포함되어 있습니다.a모든 단결의 뿌리에 의해 테드되는 것은 때때로 그것의 사이클로토믹 폐쇄라고 불린다.따라서 대수학적으로 폐쇄된 장은 사이클로토적으로 폐쇄된다.그 반대는 사실이 아니다.형식 xⁿ - a의 모든 다항식이 선형 인자로 분할된다고 가정하더라도 필드가 대수적으로 닫힌다는 것을 보장하기에는 충분하지 않다.null

1차 논리학 언어로 표현할 수 있는 명제가 대수학적으로 폐쇄된 분야에 대해 참이라면, 동일한 특성을 가진 모든 대수학적으로 폐쇄된 분야에 대해 참이다.더욱이 그러한 명제가 특성 0을 가진 대수적으로 닫힌 필드에 유효하다면, 특성 0을 가진 다른 모든 대수적으로 닫힌 필드에 유효할 뿐만 아니라 p > N을 가진 특성 p를 가진 모든 대수적으로 닫힌 필드에 유효할 수 있는 자연수 N도 있다.^[2]

모든 필드 F는 대수적으로 닫힌 어떤 확장자를 가지고 있다.그러한 연장을 대수적으로 닫힌 확장이라고 한다.그러한 모든 확장 중에서 F의 대수적 확장인 하나와 하나밖에 없는 것(이형성까지는 있지만 고유한 이형성까지는 아님)이 있다; F의 대수적 폐쇄라고 불린다.^[3]

대수적으로 폐쇄된 장에 대한 이론은 정량화 제거가 있다.null

메모들

참조