토션 추측

대수 기하학 및 숫자 이론에서, 아벨리아 품종의 토션 지점에 대한 토션 추측 또는 균일한 경계 추측에 따르면, 아벨리아 품종의 토션 그룹의 순서는 숫자 분야와 수 영역의 치수 측면에서 경계할 수 있다.추측의 더 강한 버전은 비틀림이 품종의 치수와 숫자장의 정도 면에서 경계를 이루고 있다는 것이다.타원곡선의 경우 비틀림 추측이 완전히 해결되었다.

타원 곡선

타원곡선에 대한 비틀림 추측

밭	수 이론
에 의해 추측:	베포 레비
추측:	1908
에 의한 첫 번째 증명	배리 마주르 쉘던 카미엔니 뢰크 메렐
첫 번째 증빙 인	1977–1996

1906년부터 1911년까지 베포 레비는 타원형 곡선상의 점들이 이성들을 넘어서는 유한한 순서로 나타날 수 있는 가능성을 연구하는 논문을 연재했다.^[1]그는 다음과 같은 비틀림 그룹을 가진 이성들 위로 타원곡선이 무한히 많다는 것을 보여주었다.

• 1_n ≤ n ≤ 10인 C. 여기서 C는_n n 순서의 순환 그룹을 나타낸다.
• C₁₂;
• C_2n × C₂, 1 n n 4 4 여기서 ×는 직접 합을 나타낸다.

1908년 로마에서 열린 국제수학대회에서 레비는 이것이 이성계를 넘는 타원곡선을 위한 비틀림 그룹의 완전한 목록이라고 추측했다.^[1]타원형 곡선에 대한 타원형 곡선의 토션 추측은 트라이그브 나겔(1952년)과 앤드류 오그(1971년)에 의해 독립적으로 재구성되었고, 그 추측이 일반적으로 오그의 추측으로 알려지게 되었다.^[1]

앤드류 오그(1971)는 타원곡선에 대한 토션 추측과 고전적인 모듈러 곡선 이론 사이의 연관성을 그렸다.^[1]1970년대 초 제라드 리고자트, 다니엘 쿠베르, 배리 마주르, 존 테이트의 작품에서는 타원곡선의 토션 포인트가 이성들을 넘어 오면서 n의 여러 작은 값들이 발생하지 않는다는 것을 보여주었다.^[1]배리 마주르(1977, 1978년)는 타원형 곡선의 타원형 곡선에 대한 전체 토션 추측을 증명했다.그의 기술은 카미엔니(1992년)와 카미엔니&마주르(1995)에 의해 일반화되었는데, 이들은 각각 기껏해야 8개의 학위 분야와 학위 분야로 균일한 경계를 얻었다.마지막으로, Lorelc Merel(1996)은 어떤 숫자 필드에 걸쳐 타원곡선에 대한 추측을 증명했다.^[1]

수 필드의 정도 측면에서 토션 그룹의 크기에 대한 유효 바운드는 상위(1999년)에 의해 주어졌다.또한 2차 수 필드에 걸친 타원 곡선에 대해 가능한 비틀림 그룹의 전체 목록이 제공되었다.4분위수 및 5분위수 필드에 대해 상당한 부분적인 결과가 있다(Sutherland 2012).

참고 항목

• 봄비에리랑 추측
• 기간 전 포인트에 대한 균일한 경계성 추측
• 합리적인 포인트에 대한 균일한 경계성 추측

참조

참고 문헌 목록

• Kamienny, Sheldon (1992). "Torsion points on elliptic curves and ${\displaystyle q}$-coefficients of modular forms". Inventiones Mathematicae. 109 (2): 221–229. Bibcode:1992InMat.109..221K. doi:10.1007/BF01232025. MR 1172689. S2CID 118750444.
• Kamienny, Sheldon; Mazur, Barry (1995). With an appendix by A. Granville. "Rational torsion of prime order in elliptic curves over number fields". Astérisque. 228: 81–100. MR 1330929.
• Mazur, Barry (1977). "Modular curves and the Eisenstein ideal". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 47 (1): 33–186. doi:10.1007/BF02684339. MR 0488287. S2CID 122609075.
• Mazur, Barry (1978), with appendix by Dorian Goldfeld, "Rational isogenies of prime degree", Inventiones Mathematicae, 44 (2): 129–162, Bibcode:1978InMat..44..129M, doi:10.1007/BF01390348, MR 0482230, S2CID 121987166
• Merel, Loïc (1996). "Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres" [Bounds for the torsion of elliptic curves over number fields]. Inventiones Mathematicae (in French). 124 (1): 437–449. Bibcode:1996InMat.124..437M. doi:10.1007/s002220050059. MR 1369424. S2CID 3590991.
• Nagell, Trygve (1952). "Problems in the theory of exceptional points on plane cubics of genus one". Den 11te Skandinaviske Matematikerkongress, Trondheim 1949, Oslo. Johan Grundt Tanum forlag [no]. pp. 71–76.
• Ogg, Andrew (1971). "Rational points of finite order on elliptic curves". Inventiones Mathematicae. 22: 105–111.
• Ogg, Andrew (1973). "Rational points on certain elliptic modular curves". Proc. Symp. Pure Math. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 24: 221–231. doi:10.1090/pspum/024/0337974. ISBN 9780821814246.
• Parent, Pierre (1999). "Bornes effectives pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres" [Effective bounds for the torsion of elliptic curves over number fields]. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (in French). 1999 (506): 85–116. arXiv:alg-geom/9611022. doi:10.1515/crll.1999.009. MR 1665681.
• Schappacher, Norbert; Schoof, René (1996), "Beppo Levi and the arithmetic of elliptic curves" (PDF), The Mathematical Intelligencer, 18 (1): 57–69, doi:10.1007/bf03024818, MR 1381581, Zbl 0849.01036
• Sutherland, Andrew V. (2012), Torsion subgroups of elliptic curves over number fields (PDF)